Formule vectoriale fundamentale și aplicații

În geometria analitică, putem determina relațiile dintre vectori folosind coordonatele lor. Pentru doi vectori $\vec{u}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ și $\vec{v}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$, avem câteva relații esențiale:

Coliniaritatea și paralelismul vectorilor se verifică prin aceeași condiție: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$. Modulul unui vector se calculează cu formula $|\vec{u}| = \sqrt{x_1^2+y_1^2}$. Pentru perpendicularitate, trebuie să avem $x_1x_2+y_1y_2=0$.

Distanța dintre două puncte A și B se calculează cu formula $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. Iar cosinusul unghiului dintre doi vectori este dat de $\cos\phi(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.

⚡ Reține: Când lucrezi cu vectori, transformă mereu condițiile geometrice (coliniaritate, paralelism, perpendicularitate) în ecuații algebrice folosind coordonatele!

În aplicații practice, de exemplu: pentru puncte A(6,4), B$-2,6$ și condiția $\vec{AC}=\vec{CB}$, scriem vectorii în funcție de coordonatele necunoscute ale lui C(a,1): $\vec{AC}=(a-6)\vec{i}+(1-4)\vec{j}$ și $\vec{CB}=(-2-a)\vec{i}+(6-1)\vec{j}$. Egalând componentele, obținem C(2,5).

Similar, pentru A(0,1), B(2,5), C(6,1) și condiția $\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AD}$, calculăm $\vec{AB}=2\vec{i}+4\vec{j}$ și $\vec{AC}=6\vec{i}$. Adunând acești vectori și egalând cu $\vec{AD}$, găsim punctul D(8,5).