Mulțimi și Operații Fundamentale

Mulțimile sunt colecții de elemente cu proprietăți specifice. O mulțime poate fi vidă (fără elemente) sau poate conține unul sau mai multe elemente. Cardinalul unei mulțimi reprezintă numărul elementelor sale.

Cele mai importante mulțimi numerice sunt: N (naturale: 0,1,2...), Z (întregi), Q (raționale) și R (reale). Putem efectua operații între mulțimi precum reuniunea (∪), intersecția (∩), diferența și produsul cartezian.

💡 Ține minte că mulțimile se pot reprezenta prin enumerarea elementelor între acolade sau prin descrierea unei proprietăți comune.

În aritmetică, reține conceptele de bază: numerele pare au forma 2k, cele impare 2k+1. Un pătrat perfect este egal cu pătratul unui număr natural (0,1,4,9,16,25...) și nu poate avea ultima cifră 2,3,7 sau 8.

Operații cu Numere

Pentru fracții zecimale, adunarea și scăderea se fac alinind virgulele, iar înmulțirea și împărțirea urmează reguli simple de calcul cu puteri de 10.

Când lucrezi cu numere întregi, reține regulile de semne: minus cu minus dă plus, plus cu minus dă minus. Opusul unui număr schimbă doar semnul (opusul lui 35 este -35).

La puteri, memorează formulele de calcul: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Pentru radicali, scoaterea factorilor de sub radical se face prin $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Calcul Algebric și Formule

Produsele notabile sunt esențiale pentru calculul algebric:

• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Pentru sisteme de ecuații, poți folosi metoda substituției sau metoda reducerii. La rezolvarea ecuației de gradul doi ($ax^2+bx+c=0$), calculează $\Delta = b^2 - 4ac$ și apoi soluțiile $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Geometria Plană

Unghiurile sunt esențiale în geometrie. Ele pot fi: adiacente (au vârf comun și o latură comună), opuse la vârf (congruente), complementare (suma 90°) sau suplementare (suma 180°).

În triunghiuri, memorează că suma unghiurilor este 180°. Un triunghi poate fi clasificat după laturi (echilateral, isoscel, oarecare) sau după unghiuri (ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic).

💡 În triunghiul dreptunghic, teorema lui Pitagora spune că $a^2 + b^2 = c^2$, unde c este ipotenuza.

Liniile importante în triunghi sunt:

• Bisectoarele - împart un unghi în două părți egale și se întâlnesc în incentru
• Mediatoarele - perpendiculare pe mijlocul laturii și se întâlnesc în circumcentru
• Înălțimile - perpendiculare din vârf pe latura opusă și se întâlnesc în ortocentru
• Medianele - unesc vârful cu mijlocul laturii opuse și se întâlnesc în centrul de greutate

Corpuri Geometrice și Formule

Pentru poligoane, aria se calculează în funcție de tipul figurii. De exemplu, aria triunghiului este $A = \frac{bh}{2}$ (baza × înălțimea / 2) sau cu formula lui Heron: $A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, unde p este semiperimetrul.

Corpurile geometrice sunt clasificate în poliedre (prisma, piramida, trunchiul de piramidă) și corpuri rotunde (cilindru, con, trunchiul de con, sferă). Pentru fiecare, există formule pentru aria laterală, aria totală și volum.

Pentru prisma dreaptă, volumul este $V = A_b \cdot h$ (aria bazei × înălțime), iar pentru piramidă este $V = \frac{A_b \cdot h}{3}$.

În cazul sferei, aria este $A = 4\pi R^2$ și volumul este $V = \frac{4\pi R^3}{3}$, unde R este raza sferei.

Trigonometria ne oferă relații între laturile și unghiurile triunghiurilor. Funcțiile trigonometrice de bază sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta. De exemplu, $\sin \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}$.