Materii

Knowunity AI

Accesează aplicația

Materii

159

7 feb. 2026

2 pagini

Tabel cu Derivate și Integrale Esențiale

S

Sofia Gavrilovici

@sofiagavrilovic

Acest rezumat prezintă principalele formule de derivare și integrare folosite... Afișează mai mult

Nr.
Derivate
Nr.
Integrale nedefinite
1
c = 0
1
$\int dx = x + C$
2
x'=1
2
$\int xdx = \frac{x^2}{2} + C$
3
$(x^n)' = nx^{n-1}$
3
$\int x^n

Formule de Derivare și Integrale Nedefinite

Formulele de derivare te ajută să găsești rata de schimbare a unei funcții, în timp ce integralele nedefinite îți permit să găsești funcția originală dintr-o derivată. Ambele sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor de analiză matematică.

Dintre cele mai importante derivate, reține: derivata funcției constante este zero, derivata lui xx este 1, iar derivata lui xnx^n este nxn1nx^{n-1}. Pentru funcții exponențiale, (ex)=ex(e^x)' = e^x și (ax)=axlna(a^x)' = a^x \ln a. Funcțiile trigonometrice au și ele reguli specifice, cum ar fi (sinx)=cosx(sin x)' = cos x și (cosx)=sinx(cos x)' = -sin x.

Pentru integrale nedefinite, memorează: dx=x+C\int dx = x + C, xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C și exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C. În cazul funcțiilor trigonometrice: sinxdx=cosx+C\int sin x dx = -cos x + C și cosxdx=sinx+C\int cos x dx = sin x + C.

Atenție! Nu uita să adaugi constanta de integrare CC la fiecare integrală nedefinită. Aceasta reprezintă familii întregi de soluții și este esențială pentru corectitudinea calculelor tale.

Formulele pentru funcțiile raționale sunt de asemenea importante: 1xdx=lnx+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C, iar pentru funcții cu radical, xdx=23xx+C\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C. Stăpânirea acestor formule te va ajuta enorm la rezolvarea integrărilor complexe.

Nr.
Derivate
Nr.
Integrale nedefinite
1
c = 0
1
$\int dx = x + C$
2
x'=1
2
$\int xdx = \frac{x^2}{2} + C$
3
$(x^n)' = nx^{n-1}$
3
$\int x^n

Reguli de Calcul pentru Derivare și Integrare

Operațiile cu funcții ne ajută să derivăm și să integrăm expresii complexe, descompunându-le în părți mai simple. Pentru derivate, regulile de bază includ: (f±g)=f±g(f \pm g)' = f' \pm g', (fg)=fg+fg(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' și (fg)=fgfgg2(\frac{f}{g})' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}.

Formulele pentru funcții compuse și funcții inverse sunt esențiale: (f(u))=f(u)u(f(u))' = f'(u) \cdot u' pentru funcția compusă și (f1(y))=1f(x)(f^{-1}(y))' = \frac{1}{f'(x)} pentru funcția inversă. Aceste formule te vor ajuta să abordezi probleme mai complexe care apar frecvent în teste.

La integrare, principalele reguli sunt: [f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx și αf(x)dx=αf(x)dx\int \alpha \cdot f(x) dx = \alpha \int f(x) dx. Formula Leibniz-Newton este fundamentală pentru calculul integralelor definite: abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

Sfat practic: Când întâlnești o integrală complicată, încearcă metoda de integrare prin părți: abf(x)g(x)dx=f(x)g(x)ababf(x)g(x)dx\int_a^b f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) |_a^b - \int_a^b f'(x) g(x) dx. Este foarte utilă pentru integrarea produselor de funcții.

Schimbarea de variabilă este o altă tehnică importantă: abf(ϕ(x))ϕ(x)dx=ϕ(a)ϕ(b)f(t)dt\int_a^b f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t) dt. Această metodă transformă o integrală complicată într-una mai simplă prin substituție, facilitând rezolvarea multor probleme din programa școlară.



Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

CHESTIONARELE ȘI FLASHCARD-URILE SUNT ATÂT DE UTILE ȘI IUBESC Knowunity AI. E LITERALMENTE CA CHATGPT DOAR CĂ MAI DEȘTEPT!! M-A AJUTAT ȘI CU PROBLEMELE MELE CU MASCARA!! PLUS CU MATERIILE MELE ADEVĂRATE! EVIDENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

CHESTIONARELE ȘI FLASHCARD-URILE SUNT ATÂT DE UTILE ȘI IUBESC Knowunity AI. E LITERALMENTE CA CHATGPT DOAR CĂ MAI DEȘTEPT!! M-A AJUTAT ȘI CU PROBLEMELE MELE CU MASCARA!! PLUS CU MATERIILE MELE ADEVĂRATE! EVIDENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

 

Matematică

159

7 feb. 2026

2 pagini

Tabel cu Derivate și Integrale Esențiale

S

Sofia Gavrilovici

@sofiagavrilovic

Acest rezumat prezintă principalele formule de derivare și integrare folosite în calculul diferențial și integral. Informațiile sunt organizate în tabele ușor de urmărit, oferindu-ți o referință rapidă pentru rezolvarea problemelor de matematică din clasa a XI-a.

Nr.
Derivate
Nr.
Integrale nedefinite
1
c = 0
1
$\int dx = x + C$
2
x'=1
2
$\int xdx = \frac{x^2}{2} + C$
3
$(x^n)' = nx^{n-1}$
3
$\int x^n

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Formule de Derivare și Integrale Nedefinite

Formulele de derivare te ajută să găsești rata de schimbare a unei funcții, în timp ce integralele nedefinite îți permit să găsești funcția originală dintr-o derivată. Ambele sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor de analiză matematică.

Dintre cele mai importante derivate, reține: derivata funcției constante este zero, derivata lui xx este 1, iar derivata lui xnx^n este nxn1nx^{n-1}. Pentru funcții exponențiale, (ex)=ex(e^x)' = e^x și (ax)=axlna(a^x)' = a^x \ln a. Funcțiile trigonometrice au și ele reguli specifice, cum ar fi (sinx)=cosx(sin x)' = cos x și (cosx)=sinx(cos x)' = -sin x.

Pentru integrale nedefinite, memorează: dx=x+C\int dx = x + C, xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C și exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C. În cazul funcțiilor trigonometrice: sinxdx=cosx+C\int sin x dx = -cos x + C și cosxdx=sinx+C\int cos x dx = sin x + C.

Atenție! Nu uita să adaugi constanta de integrare CC la fiecare integrală nedefinită. Aceasta reprezintă familii întregi de soluții și este esențială pentru corectitudinea calculelor tale.

Formulele pentru funcțiile raționale sunt de asemenea importante: 1xdx=lnx+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C, iar pentru funcții cu radical, xdx=23xx+C\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C. Stăpânirea acestor formule te va ajuta enorm la rezolvarea integrărilor complexe.

Nr.
Derivate
Nr.
Integrale nedefinite
1
c = 0
1
$\int dx = x + C$
2
x'=1
2
$\int xdx = \frac{x^2}{2} + C$
3
$(x^n)' = nx^{n-1}$
3
$\int x^n

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Reguli de Calcul pentru Derivare și Integrare

Operațiile cu funcții ne ajută să derivăm și să integrăm expresii complexe, descompunându-le în părți mai simple. Pentru derivate, regulile de bază includ: (f±g)=f±g(f \pm g)' = f' \pm g', (fg)=fg+fg(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' și (fg)=fgfgg2(\frac{f}{g})' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}.

Formulele pentru funcții compuse și funcții inverse sunt esențiale: (f(u))=f(u)u(f(u))' = f'(u) \cdot u' pentru funcția compusă și (f1(y))=1f(x)(f^{-1}(y))' = \frac{1}{f'(x)} pentru funcția inversă. Aceste formule te vor ajuta să abordezi probleme mai complexe care apar frecvent în teste.

La integrare, principalele reguli sunt: [f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx și αf(x)dx=αf(x)dx\int \alpha \cdot f(x) dx = \alpha \int f(x) dx. Formula Leibniz-Newton este fundamentală pentru calculul integralelor definite: abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

Sfat practic: Când întâlnești o integrală complicată, încearcă metoda de integrare prin părți: abf(x)g(x)dx=f(x)g(x)ababf(x)g(x)dx\int_a^b f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) |_a^b - \int_a^b f'(x) g(x) dx. Este foarte utilă pentru integrarea produselor de funcții.

Schimbarea de variabilă este o altă tehnică importantă: abf(ϕ(x))ϕ(x)dx=ϕ(a)ϕ(b)f(t)dt\int_a^b f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t) dt. Această metodă transformă o integrală complicată într-una mai simplă prin substituție, facilitând rezolvarea multor probleme din programa școlară.

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

3

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Examen de practică complet ✓ Planuri de eseu

Examen de practică
Quiz
Flashcard-uri
Eseu

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

CHESTIONARELE ȘI FLASHCARD-URILE SUNT ATÂT DE UTILE ȘI IUBESC Knowunity AI. E LITERALMENTE CA CHATGPT DOAR CĂ MAI DEȘTEPT!! M-A AJUTAT ȘI CU PROBLEMELE MELE CU MASCARA!! PLUS CU MATERIILE MELE ADEVĂRATE! EVIDENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

CHESTIONARELE ȘI FLASHCARD-URILE SUNT ATÂT DE UTILE ȘI IUBESC Knowunity AI. E LITERALMENTE CA CHATGPT DOAR CĂ MAI DEȘTEPT!! M-A AJUTAT ȘI CU PROBLEMELE MELE CU MASCARA!! PLUS CU MATERIILE MELE ADEVĂRATE! EVIDENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS