Subiectul I - Exerciții cu răspuns multiplu

Primul subiect cuprinde întrebări cu răspunsuri multiple din diverse domenii ale matematicii. Trebuie să alegi varianta corectă dintre cele patru oferite.

La calculul „25-2-5", rezultatul corect este 15 $se calculează de la stânga la dreapta: 25-2=23, apoi 23-5=18$.

Când calculăm 10% din 50, trebuie să înmulțim 50 cu 0,1, obținând valoarea 5.

La problema cu temperatura, trebuie să calculăm diferența dintre +2°C și -1°C, care este 3°C (temperatura a crescut cu 3 grade).

💡 Atenție la ecuații! La rezolvarea ecuației x+1/4=1/2, trebuie să izolăm x: x=1/2-1/4=1/4.

Primele exerciții par simple, dar verifică atenția la detalii și înțelegerea conceptelor de bază.

Probleme cu media aritmetică și interpretarea datelor

Această pagină continuă subiectul I cu probleme care testează înțelegerea mediei aritmetice și interpretarea datelor statistice.

La calculul mediei aritmetice a numerelor a=4-√2 și b=4+√2, trebuie să adunăm cele două valori și să împărțim la 2. Rezultatul corect este (4-√2+4+√2)/2 = 8/2 = 4.

Problema prezintă rezultatele a patru elevi: Andreea (4), Iris (√2), Mihai (2) și Radu (√14). Dintre aceștia, Andreea a calculat corect.

Diagrama inclusă prezintă informații despre opțiunile elevilor pentru diferite sporturi (fotbal, baschet, tenis și șah) în cadrul unui club sportiv școlar.

Aceste exerciții testează capacitatea de a interpreta date statistice și de a calcula corect cu numere iraționale, abilități esențiale în rezolvarea problemelor matematice.

Geometrie și probleme practice

Această pagină conține probleme de geometrie și începutul subiectului al III-lea, care necesită rezolvări complete.

În triunghiul echilateral ABC, cu bisectoarea BE și punctul D la mijlocul BC, măsura unghiului DPE (unde P este intersecția lui AD cu BE) este 60°.

Pentru trapezul isoscel ABCD cu bazele AB=100 cm și CD=40 cm, linia mijlocie are lungimea de 70 cm (media aritmetică a bazelor).

Aria discului cu centrul O și unghiul AOB de 60° $cu AB=12 cm$ poate fi calculată folosind formula π·r².

💡 Suma muchiilor unui cub se calculează înmulțind lungimea unei muchii cu 12 (numărul total de muchii).

Prima problemă din subiectul al III-lea implică împărțirea sumei de 126 lei între trei nepoți, unde Ana primește jumătate din suma ce revine celorlalți doi.

Expresii algebrice complexe

Această pagină continuă subiectul al III-lea cu o problemă despre expresii algebrice.

Expresia E(x)=$(x-1)/(x+1)+(x+1)/(x-1)-2$:$4/(x²+x-2)$ necesită manipulări algebrice atente, cu atenție la restricțiile pentru x $x≠-2, x≠-1, x≠1$.

În prima parte trebuie să demonstrăm că $x-1$$x+2$=x²+x-2 pentru orice număr real x. Putem dezvolta produsul: $x-1$$x+2$ = x²+2x-x-2 = x²+x-2.

A doua parte cere să demonstrăm că N=√(E(2)·E(3)·...·E(9)·E(10)) este un număr natural. Aceasta implică calcularea valorilor expresiei pentru fiecare număr de la 2 la 10 și analizarea produsului lor.

Acest tip de probleme testează abilitatea de a manipula expresii algebrice și de a face demonstrații matematice riguroase.

Geometrie analitică

Această pagină prezintă o problemă de geometrie analitică în sistemul de coordonate xOy.

Avem punctele A(2,0) și B(6,3) și trebuie să:

1. Demonstrăm că AB=5 - putem folosi formula distanței între două puncte: √$(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²$ = √$(6-2)²+(3-0)²$ = √$16+9$ = √25 = 5.

2. Calculăm distanța de la punctul M(5,0) la dreapta AB. Pentru aceasta, trebuie mai întâi să determinăm ecuația dreptei AB, apoi să aplicăm formula pentru distanța de la un punct la o dreaptă.

💡 Formula pentru distanța de la un punct la o dreaptă este: d = |ax₀+by₀+c|/√$a²+b²$, unde ax+by+c=0 este ecuația dreptei.

Acest exercițiu testează înțelegerea conceptelor de geometrie analitică și aplicarea formulelor specifice în context practic.

Geometrie în plan - pătratul

Această problemă se referă la un pătrat ABCD cu latura AB=10 cm, unde M este mijlocul latului AD și N este proiecția lui B pe dreapta CM.

Pentru a demonstra că aria triunghiului MBC este 50 cm², putem folosi formula ariei triunghiului $baza × înălțimea / 2$ sau alte metode geometrice.

La partea a doua, trebuie să demonstrăm că perimetrul triunghiului MAN este mai mic decât 22 cm. Acest lucru implică determinarea lungimilor laturilor MN, AM și AN și apoi calcularea sumei lor.

💡 Amintește-ți că într-un pătrat, diagonalele sunt egale, se taie în unghi drept și se înjumătățesc reciproc.

Această problemă combină concepte de geometrie plană și necesită utilizarea proprietăților pătratului pentru a determina relațiile dintre segmente și pentru calculul ariilor.

Triunghiul dreptunghic și centrul de greutate

În această problemă avem un triunghi dreptunghic ABC cu AB=9 cm, AC=12 cm, un punct M pe latura AB $cu BM=3 cm$ și diverse construcții geometrice.

Prima parte cere să demonstrăm că BC=15 cm. Putem folosi teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC: BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, deci BC = 15 cm.

A doua parte cere calculul ariei patrulaterului MGEP, unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC, iar E este intersecția dreptelor AG și BC. Rezolvarea implică determinarea coordonatelor punctelor și aplicarea formulelor pentru aria unui patrulater.

💡 Amintește-ți că centrul de greutate G al unui triunghi împarte fiecare mediană în raportul 2:1 (dinspre vârf spre mijlocul laturii opuse).

Acest exercițiu testează cunoștințele despre triunghiul dreptunghic, centrul de greutate și calculul ariilor în geometria plană.

Geometrie în spațiu - tetraedrul regulat

Ultima problemă se referă la un tetraedru regulat ABCD cu AB=20 cm, unde M și N sunt mijloacele muchiilor AB și CD.

Pentru a demonstra că MN=10√2 cm, putem folosi coordonatele în spațiu sau teoreme specifice geometriei în spațiu. Este util să plasăm tetraedrul într-un sistem de coordonate potrivit.

A doua parte cere determinarea măsurii unghiului dintre dreptele MN și BD. Pentru aceasta, trebuie să calculăm produsul scalar al vectorilor directori ai celor două drepte și să aplicăm formula cosinusului unghiului dintre două drepte.

💡 În geometria în spațiu, unghiul dintre două drepte poate fi calculat folosind formula: cos θ = |a⋅b|/(|a|⋅|b|), unde a și b sunt vectorii directori ai dreptelor.

Acest exercițiu testează înțelegerea geometriei în spațiu și a proprietăților tetraedrului regulat, fiind una dintre problemele de dificultate ridicată din simulare.