Mulțimi și operații cu mulțimi

Mulțimile sunt colecții de elemente, iar simbolurile ne ajută să lucrăm cu ele. Aparține $\in$, nu aparține $\notin$ și inclus $\subset$ sunt relații de bază între elemente și mulțimi.

Operațiile principale sunt:

• Reuniunea $A \cup B$ - toate elementele din A sau din B
• Intersecția $A \cap B$ - elementele comune ambelor mulțimi
• Diferența $A \setminus B$ - elementele din A care nu sunt în B
• Produsul cartezian $A \times B$ - perechile formate cu elemente din A și B

💡 Reține! Mulțimea vidă $\emptyset$ nu conține niciun element, iar cardinalul ($|A|$) reprezintă numărul de elemente.

Calcul numeric

Calculul numeric are reguli clare:

• Zecimale: 2,3 + 7,5 = 9,8; 10,5 - 4,2 = 6,3; 2,1 × 3 = 6,3
• Întregi: (-5) + 5 = 0; (-5) + (-5) = -10; (-5) × 5 = -25; (-5) × (-5) = 25
• Puteri: $2^3 = 8$;$2^5 = 32$;$(-2)^2 = 4$;$(-2)^3 = -8$

Pentru fracții, avem reguli de transformare:

• Fracții finite: 0,7 = $\frac{7}{10}$; 2,45 = $\frac{245}{100}$
• Fracții periodice: 0,133... = $\frac{2}{15}$; 0,1733... = $\frac{13}{75}$

Factorizări și formule de calcul

Să factorizăm înseamnă să scriem expresii ca produse. Metodele principale:

• Factor comun: $ax + ay = a(x + y)$; $3x - 6y = 3$x - 2y$$
• Grupare: $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$
• Formule: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$; $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Aceste formule sunt extrem de utile:

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - pătratul sumei
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ - pătratul diferenței
• $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ - suma cuburilor

Ecuații și sisteme

Ecuația de gradul doi $ax^2 + bx + c = 0$ se rezolvă prin calculul discriminantului:

• $\Delta = b^2 - 4ac$
• Dacă $\Delta \geq 0$, soluțiile sunt $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Dacă $\Delta < 0$, ecuația nu are soluții reale

Sistemele de ecuații se pot rezolva prin:

• Substituție: din prima ecuație exprimi o necunoscută și o înlocuiești în a doua
• Reducere: aduni sau scazi ecuațiile pentru a elimina o necunoscută

Divizibilitate și numere

Un număr divizează alt număr dacă împărțirea e exactă. De exemplu, 2 | 18 (2 divide 18).

Criteriile de divizibilitate te ajută să verifici rapid:

• Cu 2: ultima cifră e 0, 2, 4, 6 sau 8
• Cu 3: suma cifrelor se divide cu 3
• Cu 5: ultima cifră e 0 sau 5

Numerele prime au doar doi divizori: 1 și ele însele (ex: 2, 3, 5, 7, 11).

Unghiuri și relații între ele

Unghiurile sunt figuri formate din două semidrepte cu același vârf. Există mai multe tipuri:

• Congruente: au măsuri egale
• Adiacente: au același vârf și o latură comună
• Opuse la vârf: au același vârf și laturile unuia sunt în prelungirea laturilor celuilalt

În funcție de măsură, unghiurile pot fi:

• Ascuțite: < 90°
• Drepte: = 90°
• Obtuze: > 90°

💡 Bun de știut! Două unghiuri opuse la vârf sunt întotdeauna congruente.

Triunghiuri și linii importante

Triunghiul este una dintre cele mai importante figuri geometrice. Ele pot fi:

• Isoscele: au două laturi congruente
• Echilaterale: au toate laturile congruente
• Dreptunghice: au un unghi drept

Liniile importante într-un triunghi sunt:

• Bisectoarea: împarte un unghi în două unghiuri congruente (se întâlnesc în centrul I al cercului înscris)
• Mediatoarea: perpendiculară pe mijlocul unei laturi (se întâlnesc în centrul O al cercului circumscris)
• Înălțimea: perpendiculara din vârf pe latura opusă (se întâlnesc în ortocentrul H)
• Mediana: unește un vârf cu mijlocul laturii opuse (se întâlnesc în centrul de greutate G)

Patrulatere și proprietăți

Patrulaterele sunt figuri cu patru laturi. Cele mai cunoscute sunt:

Paralelogramul (are laturile opuse paralele):

• Laturile opuse sunt congruente
• Diagonalele au același mijloc

Dreptunghiul (paralelogram cu un unghi drept):

• Diagonalele sunt congruente

Rombul (paralelogram cu două laturi alăturate congruente):

• Diagonalele sunt perpendiculare și sunt bisectoare ale unghiurilor

Trapezul (are doar două laturi paralele):

• Linia mijlocie este paralelă cu bazele și egală cu media lor aritmetică

Teoreme fundamentale

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, $AB^2 + AC^2 = BC^2$ (suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei)

Teorema lui Thales: Dacă $EF || BC$, atunci $\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}$ (o paralelă la o latură a unui triunghi împarte celelalte două laturi în segmente proporționale)

Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept este medie proporțională între proiecțiile catetelor pe ipotenuză: $AD = \sqrt{BD \cdot DC}$

Arii și formule

Aria triunghiului poate fi calculată în mai multe moduri:

• Cu baza și înălțimea: $A = \frac{b \cdot h}{2}$
• Formula lui Heron: $A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, unde $p = \frac{a+b+c}{2}$

Pentru alte figuri:

• Paralelogram: $A = b \cdot h$
• Trapez: $A = \frac{(B+b) \cdot h}{2}$
• Cerc: $A = \pi R^2$ și circumferința $L = 2\pi R$