Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Română

toate formulele pentru examenul de Evaluare Nationala de clasa a opta pentru matematica

https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/01957131-f0e6-7ff4-bc92-7f365e2886cd.pdf

01957131-f0e6-7ff4-bc92-7f365e2886cd

Examen

Alexandra Constantin

Romania

Gimnaziu

Matematică

recapitulare examen cls 8

# Aritmetica şi algebra

## Mulţimi
- $\in$ aparţine  - $\notin$ nu aparţine  - $\subset$ inclusă  - $\supset$ include
- $\emptyset$ mulţimea vidă (mulţime care nu are elemente)
- $A \cup B$ reuniunea
- $A \cap B$ intersecţia
- $|A|$ cardinalul unei mulţimi (numărul elementelor)
- $A \setminus B$ diferenţa
- $A \times B$ produs cartezian
- $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, ...} - $\mathbb{N^*}$ = {1, 2, 3, ...}
- $\mathbb{Z}$ = {...,-2, -1, 0, 1, 2, ...} - $\mathbb{R}$ (reale) - $\mathbb{Q}$ (raţionale) - $\mathbb{Q}$ (iraţionale) - $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}$ 

## Operaţii cu mulţimi
- reuniunea $A \cup B = \{x | x \in A \text{ sau } x \in B\}$ 
- intersecţia $A \cap B = \{x | x \in A \text{ şi } x \in B\}$ 
- diferenţa $A \setminus B = \{x | x \in A \text{ şi } x \notin B\}$ 
- produs cartezian $A \times B = \{(a, b) | a \in A, b \in B\}$

## Reguli de calcul
### Reguli de zeecimal
- 1,37 + 24,53 = 25,9; 53,77 - 3,12 = 50,65; 1,8 * 38,7 = 10 * 0,02 = 20; 100 : 20 = 5
- 2,1 * 3 = 6,3; 36,2 : 27 = 1,34; 0,02 * 7 = 0,14; 3,64 : 0,9 = 4,09; 0,26 : 0,02 = 13
- 2,3 + 7,5 = 9,8; 10,5 - 4,2 = 6,3; 2,1 * 3 = 6,3; 36,2 : 27 = 1,34
- (-5) + 5 = 0; (-5) + (-5) = -10; (-5) * 5 = -25; (-5) * (-5) = 25
### Numere întregi
- Opusul lui 35 este -35; Opusul lui -8 este 8
### Puteri
- $2^1 = 2$; $2^2 = 4$; $2^3 = 8$; $2^4 = 16$; $2^5 = 32$; $2^6 = 64$; $2^7 = 128$; $2^8 = 256$; $2^9 = 512$; $2^{10} = 1024$
- $(-2)^1 = -2$; $(-2)^2 = 4$; $(-2)^3 = -8$; $(-2)^4 = 16$; $(-2)^5 = -32$; $(-2)^6 = 64$; $(-2)^7 = -128$; $(-2)^8 = 256$; $(-2)^9 = -512$; $(-2)^{10} = 1024$
- $(2^3)^2 = 2^6 = 64$; $(2^3)^2 = 8^2 = 64$; $(2^3)^2 = 2^{3*2} = 2^6 = 64$
### Fracţii ordinare
- $\frac{1}{5} = 0,2$; $\frac{1}{4} = 0,25$; $\frac{1}{3} = 0,333...$; $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{2}{5} = 0,4$; $\frac{3}{4} = 0,75$; $\frac{2}{3} = 0,666...$; $\frac{3}{5} = 0,6$; $\frac{1}{8} = 0,125$; $\frac{3}{8} = 0,375$; $\frac{5}{8} = 0,625$; $\frac{7}{8} = 0,875$
### Fracţii inverse
- $\frac{1}{6} = 6$; $\frac{1}{4} = 4$; $\frac{1}{2} = 2$; $\frac{1}{3} = 3$; $\frac{1}{5} = 5$; $\frac{1}{7} = 7$; $\frac{1}{8} = 8$; $\frac{1}{9} = 9$; $\frac{1}{10} = 10$; $\frac{1}{12} = 12$
### Radicali
- $\sqrt{4} = 2$; $\sqrt{9} = 3$; $\sqrt{16} = 4$; $\sqrt{25} = 5$; $\sqrt{36} = 6$; $\sqrt{49} = 7$; $\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{81} = 9$; $\sqrt{100} = 10$; $\sqrt{121} = 11$; $\sqrt{144} = 12$; $\sqrt{169} = 13$; $\sqrt{196} = 14$; $\sqrt{225} = 15$; $\sqrt{256} = 16$; $\sqrt{289} = 17$; $\sqrt{324} = 18$; $\sqrt{361} = 19$; $\sqrt{400} = 20$
### Scăderea factorilor de sub radical
- $\sqrt{813} - \sqrt{813} = 0$; $\sqrt{65} - \sqrt{65} = 0$; $\sqrt{95} - \sqrt{95} = 0$
### Calculul algebric
- $2x + y - 2y = 2x - y$; $2x - y + 2y = 2x + y$; $2x - 2x = 0$; $2x - 2x + y = y$; $2x - 2x - y = -y$; $2x + y - 2x = y$; $2x + y - 2y = 2x - y$; $2x - y + 2y = 2x + y$
### Raţionalizarea numitorului
- $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$; $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$; $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$; $\frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$; $\frac{2}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a}}{a}$
### Trecerea termenilor dintr-un membru in altul al egalităţii: termenii se pot trece dintr-un membru in altul, schimbându-şi semnul.
- $x + 3 = 5 \Rightarrow x = 5 - 3 = 2$; $x - 3 = 5 \Rightarrow x = 5 + 3 = 8$; $x + y = 5 \Rightarrow x = 5 - y$; $x - y = 5 \Rightarrow x = 5 + y$; $x + y - z = 5 \Rightarrow x = 5 + z - y$; $x - y + z = 5 \Rightarrow x = 5 - z + y$
### Modul (valoare absolută)
- $|x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0\\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$ ; $|x| = \sqrt{x^2}$ ; $|x| \ge 0$ ; $|x| = |-x|$ ; $|x - y| = |y - x|$ ; $|x + y| \le |x| + |y|$ ; $|x - y| \ge ||x| - |y||$
### Comparări
- $5 > 4$; $7 > 5$; $9 > 7$; $2 > 1$; $0 > -1$
- $4 < 5$; $5 < 7$; $7 < 9$; $1 < 2$; $0 < 1$
- $2,4 < 3,9$; $-1 < 4$; $-4,1 < -3,82$
### Intervale
- $[a, b] = \{x | a \le x \le b\}$ (interval închis)
- $(a, b) = \{x | a < x < b\}$ (interval deschis)
- $[a, b) = \{x | a \le x < b\}$ (interval semideschis)
- $(a, b] = \{x | a < x \le b\}$ (interval semideschis)
- $( - \infty, a] = \{x | x \le a\}$ ; $[a, + \infty) = \{x | x \ge a\}$ ; $( - \infty, a) = \{x | x < a\}$ ; $(a, + \infty) = \{x | x > a\}$

## Descompunerea expresiilor în factori
### Prin factor comun
- $ax + ay = a(x + y)$; $3x - 6y = 3(x - 2y)$; $5x - 10y = 5(x - 2y)$
### Prin grupare de termeni
- $ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$
### Prin formule
- $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
- $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
- $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
- $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
- $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
- $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$; $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$; $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$; $2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3)$

## Ecuaţia de gradul doi (forma generală $ax^2 + bx + c = 0$)
### Rezolvare: calculul $\Delta = b^2 - 4ac$
### Dacă $\Delta \ge 0$, soluţiile sunt:
- $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
### Dacă $\Delta < 0$, ecuaţia nu are soluţii.

## Unităţi de măsură
### Lungime
- 30 mm = 3 cm
- 700 cm = 7 m
- 2 km = 2000 m
- 2,5 dm = 25 cm
- 3,5 cm = 35 mm
- 13,7 mm = 1,37 cm
- 5,7 hm = 570 m
### Arie
- 7 km$^2$ = 700 ha
- 2 ha = 20000 m$^2$
- 1 ha = 100 a = 10000 m$^2$
- 0,2 ha = 200 m$^2$
- 0,04 ha = 400 m$^2$
### Volum
- 5 km$^3$ = 5000 hm$^3$
- 0,05 km$^3$ = 50 hm$^3$
- 1 m$^3$ = 1000 dm$^3$
- 1 dm$^3$ = 1000 cm$^3$
- 3 m$^3$ = 3000 dm$^3$
- 0,25 dam$^3$ = 250 m$^3$
### Capacitate
- 1 l = 1 dm$^3$
- 3000 ml = 3 l
- 125 ml = 0,125 l
- 0,07 kl = 70 l
- 3 cl = 0,3 dl
### Masă
- 4 kg = 4000 g
- 700 g = 0,7 kg
- 45 dag = 450 g
- 625 g = 0,625 kg
- 2,2 kg = 2200 g
- 3000 g = 3 kg
- 34 dag = 0,34 kg
### Timp
- 1 oră = 60 minute
- 1 minut = 60 secunde
- 1 deceniu = 10 ani
- 1 secol = 100 ani
- 1 mileniu = 1000 ani
- 1 % = 0,01
- 1/2 ore = 30 minute
- 1/4 ore = 15 minute

## Numere naturale
- Număr par (sau par) = un număr divizibil cu 2. Ex: 4, 5
- Numere consecutive = unul după altul. Ex: 4, 5
- Număr impar (sau impar) = un număr care nu este divizibil cu 2. Ex: 1, 3, 5, 7, 9, 11
- Patratul lui 7 este $7^2 = 49$; Cubul lui 2 este $2^3 = 8$
- $10^x$ = x de 0. Ex: $10^1 = 10$; $10^2 = 100$; $10^3 = 1000$; $10^4 = 10000$; $10^5 = 100000$; $10^6 = 1000000$
- Număr prim = este număr natural mai mare ca 1, care are numai doi divizori naturali: 1 şi el însuşi. Ex: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
- Cub perfect = este egal cu cubul unui număr natural. Ex: 1, 8, 27, 64
- Patrat perfect = este egal cu pătratul unui număr natural. Ex: 0, 1, 4, 9, 16, 25
- Număr perfect = este egal cu suma divizorilor săi naturali (excluzând numărul însuşi). Ex: 6, 28

## Teorema împărţirii cu rest
- $D = C \cdot R + r$; $C$ = cât; $D$ = deîmpărţit; $R$ = împărţitor; $r$ = rest

## Sume de puteri

## Factor comun
- $3x - 8y - 6x + 4y = -3x - 4y$; $7x^2 - 7x + 10x - 10 = 7x^2 + 3x - 10$
- $x^2 - xy - x + y = x(x - y) - (x - y) = (x - 1)(x - y)$

## Transformarea fracţiilor zecimale
### Finite
- 0,7 = $\frac{7}{10}$; 0,207 = $\frac{207}{1000}$; 2,45 = $\frac{245}{100}$
### Periodice simple
- 0,133... = $\frac{133 - 13}{900} = \frac{120}{900} = \frac{2}{15}$
### Periodice mixte
- 0,1733... = $\frac{173 - 17}{900} = \frac{156}{900} = \frac{13}{75}$

## Formule de calcul
### Exemplu
- $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$; $(3x + 4y)(3x - 4y) = 9x^2 - 16y^2$
- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; $(3x + 4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$
- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$; $(3x - 4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$
- $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
- $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
- $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
- $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
- $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

## Formula radicalilor compuşi
- $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

## Aproximare
- Fie numărul 3,1416. Aproximativ cu:
- o zecimală: 3,1; o zecime: 3,1; o sutime: 3,14; o miime: 3,142
- Partea întreagă: [3,14] = 3; [0,1] = 0; [-0,1] = -1; [-1,5] = -2
- Partea întreagă a unui număr este numărul cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu numărul dat.
- Partea fracţionară a lui x este definită astfel: {x} = x - [x]

## Divizibilitate
- 2 | 18 (2 divide pe 18); 18 | 18 este divizibil cu 3
- 218 = 2 * 109; 121 = 11 * 11; 618 = 2 * 3 * 103
- Divizorii lui 18 sunt: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Multiplii lui 18 sunt: 18, 36, 54, 72, ...
- Număr prim = număr care are numai doi divizori: 1 şi el însuşi. Ex: 2, 3, 5, 7, 11, ...
- Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) = 4
- Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) = 15
- Dacă a şi b sunt prime între ele, atunci c.m.m.d.c. (a, b) = 1
- Dacă a şi b sunt prime între ele, atunci c.m.m.m.c. (a, b) = a * b
- Relaţia dintre c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. a două numere naturale a şi b este:
- $a \cdot b = c.m.m.d.c.(a, b) \cdot c.m.m.m.c.(a, b)$
### Criterii de divizibilitate
- 2 - dacă ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8 (ex: 756, 1934)
- 3 - dacă suma cifrelor se divide cu 3 (ex: 291, 1005)
- 4 - dacă numărul format din ultimele 2 cifre se divide cu 4 (ex: 800, 912)
- 5 - dacă ultima cifră este 0 sau 5 (ex: 295, 130)
- 6 - dacă numărul se divide cu 2 şi cu 3 (ex: 492)
- 8 - dacă numărul format din ultimele 3 cifre se divide cu 8 (ex: 9001)
- 9 - dacă suma cifrelor se divide cu 9 (ex: 495, 135)
- 10 - dacă se termină în 0 (ex: 230, 1900)
- 25 - dacă se termină în 25 (ex: 75, 1925)
- 100 - dacă se termină în 00 (ex: 200, 1900)

## Fracţii
- $\frac{a}{b}$: a - numărător; b - numitor
### Subtracţii
- echivariante: au numitorul = numărătorul. Ex: $\frac{2013}{2014}$ , $\frac{5}{18}$ , $\frac{141}{141}$
- supraunitare: numărătorul > numitorul. Ex: $\frac{7}{5}$ , $\frac{19}{10}$ , $\frac{341}{141}$
- subunitare: numărătorul < numitorul. Ex: $\frac{5}{18}$ , $\frac{141}{341}$
- ireductibile, care nu se pot simplifica. Ex: $\frac{5}{14}$ , $\frac{11}{21}$
- echivalente, care se pot simplifica. Ex: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ , $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
- reductibile, care se reduc succesiv. Ex: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ , $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
### Procent
- raportul $\frac{a}{b}$ număr 300 = 200 = 5
### Proprietăţi
- 2,3,4,5 - se numesc termeni proporţionali
- Proprietatea fundamentală a unei proporţii: $a \cdot d = b \cdot c$
- Proprietatea mediei geometrice: $\sqrt{a \cdot d} = \sqrt{b \cdot c}$
- Proprietăţile egalităţii şi produsului:
- Numerele x, y, z sunt direct proporţionale cu 2, 3, 7 dacă $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{7}$
### Reguli de trei simple
- a) Regula de trei direct simplă
- b) Regula de trei invers simplă

## Probabilitatea unui eveniment
- $P(A) = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile}$

## Medii
- Aritmetică $m = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$
- Geometrică $m = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$
- Armonică $m = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$
- Inegalitatea mediilor $m_h \le m_g \le m_a$
- Media aritmetică ponderată a numerelor 3, 6, 9, 12, ...
- având ponderile 3, 6, 9, 12 este: $\frac{3 \cdot 3 + 6 \cdot 6 + 9 \cdot 9 + 12 \cdot 12}{3 + 6 + 9 + 12} = \frac{270}{30} = 9$

## Sisteme de ecuaţii
### Rezolvare prin metoda substituţiei
- $2x + y = 11$; $2x + 4y = 11$; $8x + 4y = 11$; $3x + 4y = 5$
### Rezolvare prin metoda reducerii (se adună ecuaţiile)
- $3x + 4y = 22$; $2x - 4y = 8$; $5x = 30$; $x = 6$; $y = 4$

## Sistem de axe
### Oxa absciselor
### Oya ordonatelor
### Punctul O(0, 3)
### Numărul 5 este abscisa, iar 3 este ordonata lui M.
- 5 şi 3 sunt coordonate; punctul este M.

## Funcţii
- Spunem că am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori în mulţimea B dacă facem o corespondenţă din A în B astfel încât fiecărui element din A îi corespunde un singur element în B.
- A - domeniul de definiţie; B - codomeniul de valori
- F: A -> B (funcţia "f" definită pe A cu valori în B)
- Ex: f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, f(x) = x$^2$
### Reprezentarea grafică
- Fie F este o funcţie de forma $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, f(x) = x$^2$
- Intersecţia graficului cu axele
- Calculul coordonatelor punctelor
- Dacă punctul P(x$_0$, y$_0$) se află pe graficul funcţiei f, atunci f(x$_0$) = y$_0$
- Determinarea funcţiei de gradul I cunoscând două puncte ale graficului
- Calculul coordonatelor punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor f şi g:
- $f(x) = 5x + 2$; $g(x) = 11 - 2x$; $5x + 2 = 11 - 2x$; $7x = 9$; $x = \frac{9}{7}$; $y = \frac{57}{7}$
- $f(x) = x^2 + 5$; $g(x) = 2x + 9$; Se rezolvă sistemul de ecuaţii $\begin{cases} y = x^2 + 5\\ y = 2x + 9 \end{cases}$ --- OCR Start ---
Geometrie
Unghiuri
-congruente: au măsuri egale
-adiacente: au acelaşi vârf şi
o latură comună
-opuse la vårf: au acelaşi vârf şi laturile
unuia sunt în prelungirea laturilor celuilalt
Două unghiuri opuse la vårf sunt congruente
-complementare: două unghiuri care au suma 90°
Ex. complementul unghiului de 20° este unghiul de 70°
-suplementare: două unghiuri care au suma 180"
Ex. suplementul unghiului de 20" este unghiul de 160°
-unghi alungit: care are 180°; unghi nul care are 0
-unghi propriu care nu este nici alungit, nici nul
-unghi ascuțit < 90"; drept=90^{\circ}; obtuz>90"
-unghiuri în jurul unui punct
Suma unghiurilor în jurul
unui punct este 360°
-Unghiuri formate de două drepte cu o secantă
alterne interne: 1 şi 7, 2 si 8
alterne externe: 3 şi 5; 4 şi 6
corespondente: 1 şi 5; 2 şi 6;
3 şi 7; 4 şi 8
Dacă dreptele sunt paralele, aceste perechi
de unghiuri sunt congruente şi reciproc.
Teoreme importante
Cazurile de congruenta a triunghiurilor oarecare
Cazurile de congruenta specifice triunghiurilor dreptunghice
C.U. (cateta unghi) LU (ipotenuza unghi) IC (potenuză-cateta)
-suma unghiurilor unui triunghi este 180°
-suma unghiurilor unui patrulater este 360°
-unghiurile de la baza unui triunghi
isoscel sunt congruente
-într-un triunghi isoscel, bisectoarea
unghiului de la vârf este şi mediană,
altime, mediatoare.
-într-un triunghi dreptunghic,
mediana din vârful unghiului
drept este jumătate din ipotenuză.
-într-un triunghi dreptunghic
care are un unghi de 30°, cateta
opusă acestui unghi este
jumătate din ipotenuză
-teorema lui Thales : $EF||BC \Leftrightarrow \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}$
-teorema fundamentală a asemănării:
dacă $EF|| BC$, atunci $\triangle AAEF \sim \triangle ABC$ (sunt asemenea), adică
$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}$
Cazurile de asemănare
$\angle A \cong \angle D \Leftrightarrow \angle B \cong \angle E$
$\angle A \equiv \angle D ~r$
$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
$\frac{\alpha r}{DE}=\frac{\alpha s}{DF}=\frac{\alpha s}{EF}$
raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu
pătratul raportului de asemănare
-teorema bisectoarei: dacă AD
este bisectoare , $\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{DC}$
Într-un $\triangle$ dreptunghic:
-teorema înălțimii : $AD=\sqrt{BD\cdot DC}$
-teorema catetei: $AB=\sqrt{BD\cdot BC}$
-teorema lui Pitagora: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
-unghiul la centru $\angle AOB$ are măsura
egală cu a arcului cuprins între laturi
unghiul înscris $\angle AMB$ are măsura
jumătate din a arcului cuprins între laturi
-unghiul format de o tangentă cu o coardă
este jumătate din arcul subîntins de coarda
-raza este perpendiculară pe tangentă
-diametrul perpendicular pe o coardă
injumătățește și coarda şi arcul.
-puncte conciclice: care se află pe un cerc
tangente cercuri concentrice
Trigonometrie
Puncte şi drepte
-puncte coliniare: sunt situate pe o dreaptă
-drepte concurente: drepte care se intersectează
-punct de concurență: punctul în care se
intersectează două drepte
-semidreapta deschisă: (OA O(OA
-semidreapta închisă: [OA Ο[ΟΑ
-segmente congruente: au lungimi egale [AB] = [CD]
-drepte perpendiculare: formează
un unghi drept
-drepte paralele: sunt în acelaşi plan şi nu
se intersectează
Axioma lui Euclid:
printr-un punct exterior unei drepte se poate
duce o singură paralelă la dreapta dată.
Linii importante în triunghi
-Bisectoarea: împarte un unghi
în două unghiuri congruente.
Bisectoarele sunt concurente
în I-centrul cercului înscris
-Mediatoarea: perpendiculară pe mijlocul unei laturi.
Mediatoarele sunt concurente
în O-centrul cercului circumscris.
La triunghiul obtuzunghic, O este
situat în exterior.
La triunghiul dreptunghic, O este în mijlocul ipotenuzei.
-Înălțimea: perpendiculara
dintr-un vârf pe latura opusă.
Înălțimile sunt concurente în H-ortocentrul.
La triunghiul obtuzunghic, H este în exterior.
-Mediana: uneşte un vârf cu mijlocul laturii opuse.
Medianele sunt concurente în G-centrul de greutate.
Centrul de greutate este la $\frac{1}{3}$ de bază şi $\frac{2}{3}$ de vârf
Simetrie
Figuri geometrice
http://sorinborodi.ro/
Triunghi
isoscel: are două laturi congruente
echilateral: are toate laturile congruente
dreptunghic: are un unghi drept
catete: laturile care formează unghiul drept
ipotenuza: latura opusă unghiului drept
Patrulater
-Paralelogram: are laturile opuse paralele
Proprietățile paralelogramului:
-laturile opuse sunt congruente
-unghiurile opuse sunt congruente, iar
unghiurile alăturate sunt suplementare
-diagonalele au acelaşi mijloc
Dreptunghiul: paralelogramul care are
un unghi drept
-diagonalele dreptunghiului sunt congruente
Rombul: paralelogramul care are două
laturi alăturate congruente
-diagonalele rombului sunt perpendiculare
şi sunt bisectoare ale unghiurilor
Pătratul: are toate proprietățile
dreptunghiului şi rombului
Trapezul: are două laturi paralele şi
celelalte două neparalele
Trapez isoscel
laturile neparalele
sunt congruente
Trapez dreptunghic
are un unghi drept
Geometrie în spațiu
Unghiul dintre o dreaptă şi un plan
este egal cu unghiul format de
dreapta cu proiecţia ei pe plan.
Aria proiecţiei pe un plan a unei figuri cu aria A este egală
cu A\cdot cos u, unde u este unghiul format de planul figurii
Poliedre
Prisma $V=A_{B}\cdot h$
Arii şi alte formule
Triunghi
$A_{h}=\frac{ab\cdot sin\ C}{2};$
$A_{\wedge}=\frac{b\cdot h}{2}; A_{b}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$ unde p este
semiperimetrul , $p=\frac{a+b+c}{2}$ ( formula lui Heron )
Triunghi echilateral : înălțimea $h=\frac{a\sqrt{3}}{2};$
Triunghi dreptunghic: înălțimea $h=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ip};$
Linia mijlocie în triunghi
-uneşte mijloacele a două laturi;
Este paralelă cu a treia latură şi
este jumătate din aceasta.
Unghi exterior al unui triunghi
Paralelogram
Dreptunghi
Romb
Pătrat
Trapez
Linia mijlocie în trapez
-uneşte mijloacele laturilor neparalele;
Este paralelă cu bazele şi
este egală cu media lor aritmetică: $l_{m}=\frac{B+b}{2}$
Segmentul care uneşte mijloacele diagonalelor unui trapez este egal cu
Poligon regulat are toate laturile congruente şi unghiurile congruente
apotema $l_{s}=R\cdot cos\frac{180^{\circ}}{n}$ latura $l_{n}=2R\cdot sin\frac{180^{\circ}}{n}$
Măsura unghiului $u=\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n};$ Nr. diagonalelor $\frac{n(n-3)}{2}$
Cerc
Lungimea (circumferința) $L=2\pi R$, Aria $A=\pi R^{2}$, $\pi \approx 3,14159265.$

recapitulare examen cls 8

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț

recapitulare examen cls 8

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț