Knowunity AI

Mai mult

Cariere

Program de Creatori

Accesează aplicația

Materii

MatematicăMatematică5,520 vizualizări·Actualizat May 21, 2026·56 pagini

Geometrie completă: Portofoliu clasele 5-8

user profile picture
Andreea Nicoleta@andreeani_z2cta

Notițele de geometrie pe care le vei explora acoperă concepte... Afișează mai mult

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
Page 11
Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Page 23
Page 24
Page 25
Page 26
Page 27
Page 28
Page 29
Page 30
Page 31
Page 32
Page 33
Page 34
Page 35
Page 36
Page 37
Page 38
Page 39
Page 40
Page 41
Page 42
Page 43
Page 44
Page 45
Page 46
Page 47
Page 48
Page 49
Page 50
Page 51
Page 52
Page 53
Page 54
Page 55
Page 56
1 / 56
1
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Puncte și drepte

Geometria începe cu elementele de bază: punctele și dreptele. Hai să vedem cum sunt acestea legate între ele!

Există mai multe tipuri de relații între puncte: puncte coliniare (aflate pe aceeași dreaptă) și puncte distincte (care nu sunt pe aceeași dreaptă). La fel, dreptele pot fi concurente seintersecteaza˘ı^ntr−unsingurpunctse intersectează într-un singur punct, paralele (nu se intersectează) sau perpendiculare (formează un unghi de 90°).

Un concept important este simetricul unui punct: dacă A și B sunt simetrice față de un punct M, atunci M este mijlocul segmentului AB și ambele puncte se află la aceeași distanță de M.

💡 Ține minte! Axioma dreptei spune că prin două puncte distincte trece o singură dreaptă - acest principiu este fundamental pentru înțelegerea geometriei!

Alte axiome esențiale sunt: axioma planului (prin 3 puncte necoliniare trece un singur plan), axioma spațiului (există 4 puncte necoplanare), axioma includerii și axioma paralelelor (prin orice punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă).

2
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Planul și determinarea lui

Planul este o noțiune fundamentală în geometrie, iar determinarea lui corectă îți va ușura mult rezolvarea problemelor.

Axioma intersecției ne spune că dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecția lor este o dreaptă. Această axiomă e foarte utilă când lucrezi cu geometria în spațiu.

Un plan poate fi determinat în mai multe moduri:

  • prin trei puncte necoliniare (conform axiomei planului)
  • printr-o dreaptă și un punct exterior acesteia
  • prin două drepte concurente (care se intersectează)
  • prin două drepte paralele

🔍 Important! Când rezolvi probleme de geometrie în spațiu, identificarea corectă a planului poate fi cheia spre rezolvare!

3
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Puncte, drepte și plane - noțiuni de bază

Hai să înțelegem elementele fundamentale ale geometriei!

Punctul este o figură geometrică fără dimensiune (adimensională), ca urma lăsată de vârful unui creion. Dreapta este determinată de cel puțin două puncte distincte și, conform axiomei dreptei, prin oricare două puncte distincte trece o singură dreaptă.

Planul este determinat de cel puțin 3 puncte necoliniare. Conform axiomei planului, există mai multe modalități de a determina un plan:

  • 3 puncte necoliniare
  • 2 drepte paralele
  • 2 drepte concurente

💡 Reține! Axioma spațiului ne spune că există 4 puncte necoplanare - aceasta este esențială pentru înțelegerea geometriei în spațiu!

Axioma paralelelor (sau Postulatul lui Euclid) afirmă că printr-un punct exterior unei drepte poate trece o singură paralelă la dreapta dată - acest principiu a stat la baza geometriei euclidiene.

4
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Teoreme importante pentru triunghiuri

Aceste teoreme te vor ajuta să rezolvi rapid probleme cu triunghiuri dreptunghice!

Teorema medianei spune că mediana care pornește din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză. Matematic: med = ip/2. Această teoremă îți permite să calculezi rapid lungimea medianei fără alte formule complicate.

Teorema unghiului de 30° este foarte practică: cateta opusă unui unghi de 30° într-un triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză. Formula: c.op. × 30° = ip/2. Ține minte această relație, te va ajuta mult la rezolvarea problemelor!

🌟 Pro tip: Când vezi un unghi de 30° într-un triunghi dreptunghic, poți imediat să deduci că cateta opusă este jumătate din ipotenuză!

Teorema bisectoarei stabilește că pe latura pe care ajunge, bisectoarea formează segmente proporționale cu laturile triunghiului: BM/MC = AB/AC. Această teoremă te ajută să lucrezi cu proporționalitatea în triunghiuri.

5
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Asemănarea triunghiurilor

Asemănarea triunghiurilor este un concept puternic care te ajută să rezolvi probleme complexe!

Teorema lui Thales este fundamentală: dacă o dreaptă paralelă la o latură a unui triunghi intersectează celelalte două laturi, atunci ea determină segmente proporționale pe aceste laturi. Formula: AM/MB = AN/NC. Această teoremă are numeroase aplicații practice.

Două triunghiuri ABC și MNP sunt asemănătoare (notăm △ABC ~ △MNP) dacă au unghiurile respectiv egale și laturile proporționale: AB/MN = AC/MP = BC/NP.

💡 Sfat util: Când identifici triunghiuri asemănătoare într-o problemă, poți transfera rapid informații de la un triunghi la altul folosind proporționalitatea!

Teorema fundamentală a asemănării ne spune că dacă avem o paralelă la o latură a unui triunghi, se formează un triunghi mai mic care este asemănător cu cel inițial. Aceasta ne permite să stabilim relații importante între laturile și unghiurile triunghiurilor.

6
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Triunghiuri asemenea

Asemănarea triunghiurilor îți oferă un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor!

Triunghiurile asemenea sunt cele care au unghiurile respectiv egale și laturile proporționale. Ele păstrează "forma", dar pot avea dimensiuni diferite. Raportul dintre laturile corespunzătoare se numește raport de asemănare.

Există trei cazuri de asemănare pe care trebuie să le știi:

  1. U.U. unghi−unghiunghi-unghi - dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv egale
  2. L.U.L. latura˘−unghi−latura˘latură-unghi-latură - dacă două triunghiuri au un unghi egal cuprins între laturi proporționale
  3. L.L.L. latura˘−latura˘−latura˘latură-latură-latură - dacă laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile celuilalt

🔑 Formulă importantă: Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare, iar raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare.

Dacă AB/MN = k, atunci Aria_ABC/Aria_MNP = k² și P_ABC/P_MNP = k.

7
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile speciale

Funcțiile trigonometrice pentru unghiurile de 30°, 45° și 60° apar frecvent în probleme și merită să le știi pe de rost!

Iată valorile exacte pentru sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta acestor unghiuri importante:

  • Pentru 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3, ctg = √3
  • Pentru 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1, ctg = 1
  • Pentru 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3, ctg = √3/3

💡 Trucul amintit: Tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, deci poți verifica valorile: tg = sin/cos

De exemplu, pentru 30°: tg 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = 1/√3 = √3/3. Memorarea acestor valori te va ajuta să rezolvi rapid probleme cu triunghiuri dreptunghice!

8
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Numere pitagoreice și pătrate perfecte

Numerele pitagoreice sunt triplete de numere care pot reprezenta laturile unui triunghi dreptunghic. Să le cunoști îți poate salva mult timp la calcule!

Câteva triplete pitagoreice importante (catetă, catetă, ipotenuză):

  • 3, 4, 5
  • 5, 12, 13
  • 6, 8, 10
  • 8, 15, 17
  • 9, 12, 15

Când întâlnești aceste numere într-o problemă, poți identifica imediat că ai de-a face cu un triunghi dreptunghic, fără să aplici teorema lui Pitagora.

🎯 Indiciu practic: Orice multiplu al unui triplet pitagoreic rămâne triplet pitagoreic! De exemplu, dacă înmulțești 3-4-5 cu 2, obții 6-8-10.

Este util să cunoști și câteva pătrate perfecte mai mari, precum 11² = 121, 12² = 144, 15² = 225, 16² = 256 sau 20² = 400. De asemenea, reține aproximările: √2 ≈ 1,41 și √3 ≈ 1,73.

9
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Patrulatere I: Paralelogramul, dreptunghiul și rombul

Patrulatere speciale au proprietăți care te ajută să rezolvi rapid probleme de geometrie!

Paralelogramul este un patrulater convex cu laturile opuse paralele. Proprietățile sale esențiale sunt:

  • laturile opuse sunt egale
  • unghiurile opuse sunt egale
  • unghiurile alăturate sunt suplementare (suma lor este 180°)
  • diagonalele au același mijloc (se înjumătățesc reciproc)

Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept. Pe lângă proprietățile paralelogramului, el mai are:

  • toate unghiurile sunt drepte (90°)
  • diagonalele sunt egale

🔍 Observație utilă: Într-un dreptunghi, diagonalele sunt egale dar nu sunt perpendiculare, iar într-un paralelogram obișnuit, diagonalele nu sunt nici egale, nici perpendiculare!

Rombul este un paralelogram cu două laturi consecutive egale (de fapt, toate laturile sunt egale). Proprietățile sale specifice:

  • toate laturile sunt egale
  • diagonalele sunt perpendiculare
  • diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor
10
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Poligoane regulate: Hexagonul

Hexagonul regulat este un poligon fascinant cu aplicații practice!

Un hexagon regulat are 6 laturi egale și 6 unghiuri egale. Într-un hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza R, fiecare latură este egală cu raza cercului: l₆ = R. Acest lucru face calculele mult mai simple!

Formule importante pentru hexagonul regulat:

  • Perimetrul: P₆ = 6l₆ = 6R
  • Aria: A₆ = 3R²√3/2
  • Apotema: a₆ = R√3/2

💡 Definiție utilă: Apotema este segmentul dus din centrul poligonului regulat perpendicular pe orice latură a sa.

Într-un hexagon regulat, măsura fiecărui unghi la centru este de 60°. Demonstrația: într-un cerc, suma unghiurilor la centru este 360°, iar pentru n laturi egale, fiecare unghi la centru este 360°/n = 360°/6 = 60°. Triunghiul format de centru și două vârfuri consecutive este echilateral!

11
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
12
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
13
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
14
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
15
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
16
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
17
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
18
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
19
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
20
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
21
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
22
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
23
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
24
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
25
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
26
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
27
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
28
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
29
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
30
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
31
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
32
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
33
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
34
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
35
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
36
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
37
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
38
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
39
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
40
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
41
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
42
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
43
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
44
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
45
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
46
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
47
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
48
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
49
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
50
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
51
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
52
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
53
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
54
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
55
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se
56
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Cel mai popular conținut la Matematică

9
MatematicăMatematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

124,47580
MatematicăMatematică

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

126,760216
MatematicăMatematică

EN CLASA a6

Evaluarea națională pentru clasa a-6-a matematica fizica și biologie

61,53117
MatematicăMatematică

formule bac mate

formule

121,91436
MatematicăMatematică

Teorie Bac Mate

Teorie BAC Mate

101,92859
MatematicăMatematică

exercitii bac mate sub 1

exercitii bac mate sub 1

121,31433
MatematicăMatematică

portofoliu matematica pentru evaluare

portofoliu algebra si geometrie plana pentru evaluarea națională,clasa a8a pentru un nivel mediu

81,09723
MatematicăMatematică

Formule mate pe subiecte

Formule mate pe subiecte

1293321
MatematicăMatematică

Formule Bac Matematica

Formule pentru bacalaureatul la matematică,pentru fiecare subiect și exercițiu

123,68177

Cel mai popular conținut

9
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseuri Limba si literatura română

Eseurile sunt structurate dupa barem. Aceste eseuri sunt pentru profilul real, bune si pentru uman dar lipsesc relatiile dintre personaje si caracrerizarile.

126,055134
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Toate eseurile pentru bac

Contin eseul propriu zis si schematizarea acestuia

124,17791
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu”Luceafărul” de Mihai Eminescu complet

eseu

115,91992
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Rezumat ultima noapte de dragoste, întâia de război

Rezumat pe capitole

122,84934
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

eseul complet moara cu noroc

115,982116
BiologieBiologie

Notițe-Bio 11-12

Biologie. Anatomie, fiziologie și genetică

114,08777
GeografieGeografie

Materie geografie

Bac geografie

128,223120
MatematicăMatematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

124,47580
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu- Leoaica tanara, iubirea

Eseu pt bac

123,09444

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan Sutilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klichutilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Annautilizator iOS

MatematicăMatematică5,520 vizualizări·Actualizat May 21, 2026·56 pagini

Geometrie completă: Portofoliu clasele 5-8

user profile picture
Andreea Nicoleta@andreeani_z2cta

Notițele de geometrie pe care le vei explora acoperă concepte fundamentale despre puncte, drepte, plane, triunghiuri și patrulatere. Vei descoperi axiome importante, teoreme utile și formule care te vor ajuta să înțelegi mai bine geometria.

1
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Puncte și drepte

Geometria începe cu elementele de bază: punctele și dreptele. Hai să vedem cum sunt acestea legate între ele!

Există mai multe tipuri de relații între puncte: puncte coliniare (aflate pe aceeași dreaptă) și puncte distincte (care nu sunt pe aceeași dreaptă). La fel, dreptele pot fi concurente seintersecteaza˘ı^ntr−unsingurpunctse intersectează într-un singur punct, paralele (nu se intersectează) sau perpendiculare (formează un unghi de 90°).

Un concept important este simetricul unui punct: dacă A și B sunt simetrice față de un punct M, atunci M este mijlocul segmentului AB și ambele puncte se află la aceeași distanță de M.

💡 Ține minte! Axioma dreptei spune că prin două puncte distincte trece o singură dreaptă - acest principiu este fundamental pentru înțelegerea geometriei!

Alte axiome esențiale sunt: axioma planului (prin 3 puncte necoliniare trece un singur plan), axioma spațiului (există 4 puncte necoplanare), axioma includerii și axioma paralelelor (prin orice punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă).

2
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Planul și determinarea lui

Planul este o noțiune fundamentală în geometrie, iar determinarea lui corectă îți va ușura mult rezolvarea problemelor.

Axioma intersecției ne spune că dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecția lor este o dreaptă. Această axiomă e foarte utilă când lucrezi cu geometria în spațiu.

Un plan poate fi determinat în mai multe moduri:

  • prin trei puncte necoliniare (conform axiomei planului)
  • printr-o dreaptă și un punct exterior acesteia
  • prin două drepte concurente (care se intersectează)
  • prin două drepte paralele

🔍 Important! Când rezolvi probleme de geometrie în spațiu, identificarea corectă a planului poate fi cheia spre rezolvare!

3
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Puncte, drepte și plane - noțiuni de bază

Hai să înțelegem elementele fundamentale ale geometriei!

Punctul este o figură geometrică fără dimensiune (adimensională), ca urma lăsată de vârful unui creion. Dreapta este determinată de cel puțin două puncte distincte și, conform axiomei dreptei, prin oricare două puncte distincte trece o singură dreaptă.

Planul este determinat de cel puțin 3 puncte necoliniare. Conform axiomei planului, există mai multe modalități de a determina un plan:

  • 3 puncte necoliniare
  • 2 drepte paralele
  • 2 drepte concurente

💡 Reține! Axioma spațiului ne spune că există 4 puncte necoplanare - aceasta este esențială pentru înțelegerea geometriei în spațiu!

Axioma paralelelor (sau Postulatul lui Euclid) afirmă că printr-un punct exterior unei drepte poate trece o singură paralelă la dreapta dată - acest principiu a stat la baza geometriei euclidiene.

4
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Teoreme importante pentru triunghiuri

Aceste teoreme te vor ajuta să rezolvi rapid probleme cu triunghiuri dreptunghice!

Teorema medianei spune că mediana care pornește din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză. Matematic: med = ip/2. Această teoremă îți permite să calculezi rapid lungimea medianei fără alte formule complicate.

Teorema unghiului de 30° este foarte practică: cateta opusă unui unghi de 30° într-un triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză. Formula: c.op. × 30° = ip/2. Ține minte această relație, te va ajuta mult la rezolvarea problemelor!

🌟 Pro tip: Când vezi un unghi de 30° într-un triunghi dreptunghic, poți imediat să deduci că cateta opusă este jumătate din ipotenuză!

Teorema bisectoarei stabilește că pe latura pe care ajunge, bisectoarea formează segmente proporționale cu laturile triunghiului: BM/MC = AB/AC. Această teoremă te ajută să lucrezi cu proporționalitatea în triunghiuri.

5
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Asemănarea triunghiurilor

Asemănarea triunghiurilor este un concept puternic care te ajută să rezolvi probleme complexe!

Teorema lui Thales este fundamentală: dacă o dreaptă paralelă la o latură a unui triunghi intersectează celelalte două laturi, atunci ea determină segmente proporționale pe aceste laturi. Formula: AM/MB = AN/NC. Această teoremă are numeroase aplicații practice.

Două triunghiuri ABC și MNP sunt asemănătoare (notăm △ABC ~ △MNP) dacă au unghiurile respectiv egale și laturile proporționale: AB/MN = AC/MP = BC/NP.

💡 Sfat util: Când identifici triunghiuri asemănătoare într-o problemă, poți transfera rapid informații de la un triunghi la altul folosind proporționalitatea!

Teorema fundamentală a asemănării ne spune că dacă avem o paralelă la o latură a unui triunghi, se formează un triunghi mai mic care este asemănător cu cel inițial. Aceasta ne permite să stabilim relații importante între laturile și unghiurile triunghiurilor.

6
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Triunghiuri asemenea

Asemănarea triunghiurilor îți oferă un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor!

Triunghiurile asemenea sunt cele care au unghiurile respectiv egale și laturile proporționale. Ele păstrează "forma", dar pot avea dimensiuni diferite. Raportul dintre laturile corespunzătoare se numește raport de asemănare.

Există trei cazuri de asemănare pe care trebuie să le știi:

  1. U.U. unghi−unghiunghi-unghi - dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv egale
  2. L.U.L. latura˘−unghi−latura˘latură-unghi-latură - dacă două triunghiuri au un unghi egal cuprins între laturi proporționale
  3. L.L.L. latura˘−latura˘−latura˘latură-latură-latură - dacă laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile celuilalt

🔑 Formulă importantă: Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare, iar raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare.

Dacă AB/MN = k, atunci Aria_ABC/Aria_MNP = k² și P_ABC/P_MNP = k.

7
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile speciale

Funcțiile trigonometrice pentru unghiurile de 30°, 45° și 60° apar frecvent în probleme și merită să le știi pe de rost!

Iată valorile exacte pentru sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta acestor unghiuri importante:

  • Pentru 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3, ctg = √3
  • Pentru 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1, ctg = 1
  • Pentru 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3, ctg = √3/3

💡 Trucul amintit: Tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, deci poți verifica valorile: tg = sin/cos

De exemplu, pentru 30°: tg 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = 1/√3 = √3/3. Memorarea acestor valori te va ajuta să rezolvi rapid probleme cu triunghiuri dreptunghice!

8
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Numere pitagoreice și pătrate perfecte

Numerele pitagoreice sunt triplete de numere care pot reprezenta laturile unui triunghi dreptunghic. Să le cunoști îți poate salva mult timp la calcule!

Câteva triplete pitagoreice importante (catetă, catetă, ipotenuză):

  • 3, 4, 5
  • 5, 12, 13
  • 6, 8, 10
  • 8, 15, 17
  • 9, 12, 15

Când întâlnești aceste numere într-o problemă, poți identifica imediat că ai de-a face cu un triunghi dreptunghic, fără să aplici teorema lui Pitagora.

🎯 Indiciu practic: Orice multiplu al unui triplet pitagoreic rămâne triplet pitagoreic! De exemplu, dacă înmulțești 3-4-5 cu 2, obții 6-8-10.

Este util să cunoști și câteva pătrate perfecte mai mari, precum 11² = 121, 12² = 144, 15² = 225, 16² = 256 sau 20² = 400. De asemenea, reține aproximările: √2 ≈ 1,41 și √3 ≈ 1,73.

9
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Patrulatere I: Paralelogramul, dreptunghiul și rombul

Patrulatere speciale au proprietăți care te ajută să rezolvi rapid probleme de geometrie!

Paralelogramul este un patrulater convex cu laturile opuse paralele. Proprietățile sale esențiale sunt:

  • laturile opuse sunt egale
  • unghiurile opuse sunt egale
  • unghiurile alăturate sunt suplementare (suma lor este 180°)
  • diagonalele au același mijloc (se înjumătățesc reciproc)

Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept. Pe lângă proprietățile paralelogramului, el mai are:

  • toate unghiurile sunt drepte (90°)
  • diagonalele sunt egale

🔍 Observație utilă: Într-un dreptunghi, diagonalele sunt egale dar nu sunt perpendiculare, iar într-un paralelogram obișnuit, diagonalele nu sunt nici egale, nici perpendiculare!

Rombul este un paralelogram cu două laturi consecutive egale (de fapt, toate laturile sunt egale). Proprietățile sale specifice:

  • toate laturile sunt egale
  • diagonalele sunt perpendiculare
  • diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor
10
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Poligoane regulate: Hexagonul

Hexagonul regulat este un poligon fascinant cu aplicații practice!

Un hexagon regulat are 6 laturi egale și 6 unghiuri egale. Într-un hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza R, fiecare latură este egală cu raza cercului: l₆ = R. Acest lucru face calculele mult mai simple!

Formule importante pentru hexagonul regulat:

  • Perimetrul: P₆ = 6l₆ = 6R
  • Aria: A₆ = 3R²√3/2
  • Apotema: a₆ = R√3/2

💡 Definiție utilă: Apotema este segmentul dus din centrul poligonului regulat perpendicular pe orice latură a sa.

Într-un hexagon regulat, măsura fiecărui unghi la centru este de 60°. Demonstrația: într-un cerc, suma unghiurilor la centru este 360°, iar pentru n laturi egale, fiecare unghi la centru este 360°/n = 360°/6 = 60°. Triunghiul format de centru și două vârfuri consecutive este echilateral!

11
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
12
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
13
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
14
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
15
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
16
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
17
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
18
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
19
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
20
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
21
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
22
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
23
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
24
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
25
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
26
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
27
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
28
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
29
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
30
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
31
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
32
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
33
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
34
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
35
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
36
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
37
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
38
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
39
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
40
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
41
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
42
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
43
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
44
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
45
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
46
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
47
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
48
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
49
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
50
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
51
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
52
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
53
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
54
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
55
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
56
of 56
# Puncte. Drepte * Pumete coliniare - sunt pe acceusi dreaptă * Puncte distincte-mu sunt pe aceeasi treaptă * Drepte concurente - se

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Cel mai popular conținut la Matematică

9
MatematicăMatematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

124,47580
MatematicăMatematică

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

126,760216
MatematicăMatematică

EN CLASA a6

Evaluarea națională pentru clasa a-6-a matematica fizica și biologie

61,53117
MatematicăMatematică

formule bac mate

formule

121,91436
MatematicăMatematică

Teorie Bac Mate

Teorie BAC Mate

101,92859
MatematicăMatematică

exercitii bac mate sub 1

exercitii bac mate sub 1

121,31433
MatematicăMatematică

portofoliu matematica pentru evaluare

portofoliu algebra si geometrie plana pentru evaluarea națională,clasa a8a pentru un nivel mediu

81,09723
MatematicăMatematică

Formule mate pe subiecte

Formule mate pe subiecte

1293321
MatematicăMatematică

Formule Bac Matematica

Formule pentru bacalaureatul la matematică,pentru fiecare subiect și exercițiu

123,68177

Cel mai popular conținut

9
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseuri Limba si literatura română

Eseurile sunt structurate dupa barem. Aceste eseuri sunt pentru profilul real, bune si pentru uman dar lipsesc relatiile dintre personaje si caracrerizarile.

126,055134
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Toate eseurile pentru bac

Contin eseul propriu zis si schematizarea acestuia

124,17791
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu”Luceafărul” de Mihai Eminescu complet

eseu

115,91992
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Rezumat ultima noapte de dragoste, întâia de război

Rezumat pe capitole

122,84934
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

eseul complet moara cu noroc

115,982116
BiologieBiologie

Notițe-Bio 11-12

Biologie. Anatomie, fiziologie și genetică

114,08777
GeografieGeografie

Materie geografie

Bac geografie

128,223120
MatematicăMatematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

124,47580
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu- Leoaica tanara, iubirea

Eseu pt bac

123,09444

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan Sutilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klichutilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Annautilizator iOS