Probleme cu mulțimi

Când lucrăm cu o mulțime, trebuie să știm ce elemente conține. O mulțime este o colecție de obiecte diferite, iar fiecare obiect din mulțime se numește element.

Pentru a scrie corect o mulțime, putem enumera toate elementele între acolade. De exemplu, pentru cuvântul "aritmetica", mulțimea literelor este {a, r, i, t, m, e, c}. Observă că fiecare literă apare o singură dată, chiar dacă în cuvânt unele litere se repetă!

Simbolul ∈ înseamnă "aparține", iar ∉ înseamnă "nu aparține". Le folosim pentru a arăta dacă un element face sau nu parte dintr-o mulțime. De exemplu, dacă A = {1, 3, 5}, atunci 3 ∈ A, dar 4 ∉ A.

Sfat util: Când scrii o mulțime, nu contează ordinea elementelor și nu se repetă niciun element. De exemplu, mulțimea cifrelor din numărul 50053 este {0, 3, 5}, nu {5, 0, 0, 5, 3}.

Valori de adevăr și proprietăți caracteristice

O mulțime poate fi descrisă și prin proprietăți caracteristice. În loc să enumerăm toate elementele, spunem ce condiție trebuie să îndeplinească un număr pentru a face parte din mulțime.

De exemplu, mulțimea A = {x | x este număr natural mai mic decât 4} se citește: "mulțimea numerelor x astfel încât x este număr natural mai mic decât 4". Deci A = {0, 1, 2, 3}.

Pentru a verifica dacă o afirmație despre mulțimi este adevărată sau falsă, stabilim valoarea de adevăr. De exemplu, dacă M = {5, 2, 3, 0, 7}, atunci propoziția "3 ∈ M" este adevărată, iar "6 ∈ M" este falsă.

Reține: Când descriem mulțimi prin proprietăți, putem folosi formule matematice. De exemplu, B = {y | y = 3n - 4, n = 2, 3, 4} conține valorile obținute când înlocuim n cu 2, 3 și 4 în expresia 3n - 4, adică B = {2, 5, 8}.

Cum rezolvăm probleme cu mulțimi

Când lucrezi cu probleme despre mulțimi, urmează acești pași simpli:

1. Identifică elementele fiecărei mulțimi. De exemplu, mulțimea literelor din "geometria" este {g, e, o, m, t, r, i, a}.

2. Folosește corect simbolurile. Pentru "1 ∈ A" citim "1 aparține mulțimii A", iar pentru "1 ∉ A" citim "1 nu aparține mulțimii A".

3. Verifică relațiile între elemente și mulțimi. În diagrama din figura 2, putem vedea că 1 ∉ A, 5 ∈ A, 1 ∈ B și 5 ∉ B.

Pentru a descrie relații între puncte și drepte, folosim aceleași simboluri. De exemplu, dacă un punct A se află pe dreapta a, scriem A ∈ a. Dacă punctul B nu se află pe dreapta b, scriem B ∉ b.

Încearcă singur: Când lucrezi cu mulțimi definite prin formule, calculează întâi valorile pentru fiecare număr. De exemplu, pentru C = {z | z = 2^n - 1, unde n ∈ {0, 1, 2, 3}}, calculează z pentru fiecare valoare a lui n.

Cum definim mulțimi prin proprietăți

Există două moduri principale de a defini o mulțime:

1. Prin enumerarea elementelor: scrii toate elementele între acolade, separate prin virgule. De exemplu, A = {0, 1, 2, 3}.

2. Prin proprietăți caracteristice: descrii ce condiție trebuie să îndeplinească un element pentru a face parte din mulțime. De exemplu, B = {y | y = 3n - 4, n = 2, 3, 4}.

Pentru a găsi elementele unei mulțimi definite prin proprietăți, înlocuiești variabilele cu valorile permise. De exemplu, pentru C = {z | z = 2^n - 1, unde n ∈ {0, 1, 2, 3}}:

• Pentru n = 0: z = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0
• Pentru n = 1: z = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1
• Pentru n = 2: z = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3
• Pentru n = 3: z = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7

Deci C = {0, 1, 3, 7}.

Descoperă modelul: Uneori poți găsi un șablon pentru a descrie o mulțime mai ușor. De exemplu, A = {1, 3, 5, 7, 9} poate fi scrisă ca A = {x | x este număr natural impar și 1 ≤ x ≤ 9}.

Submulțimi și relații între mulțimi

O submulțime este o mulțime care conține doar elemente din altă mulțime. Dacă toate elementele din A sunt și în B, atunci A este submulțime a lui B și scriem A ⊂ B.

Există diferența între simbolurile ∈ și ⊂:

• 3 ∈ A înseamnă că elementul 3 aparține mulțimii A
• {3} ⊂ A înseamnă că mulțimea care conține doar elementul 3 este submulțime a lui A

Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente. Pentru a verifica egalitatea mulțimilor A = {x | x este număr natural și x ≥ 4} și B = {y | y este număr natural și 2^y ≥ 10}, trebuie să arăți că fiecare element din A este și în B, și invers.

Important: Nu confunda {1} ∈ M cu {1} ⊂ M! Primul verifică dacă mulțimea {1} este un element din M, al doilea verifică dacă elementul 1 din {1} se află și în M.

Relații între mulțimi și exerciții complexe

Există mai multe relații între mulțimi:

• A ⊂ B: A este submulțime a lui B (toate elementele din A sunt și în B)
• A = B: A și B sunt mulțimi egale (au exact aceleași elemente)
• A și B nu au nicio relație specială (niciuna nu este inclusă în cealaltă)

Pentru a demonstra că {3, 4, 5} ⊂ A, unde A = {x | x este număr natural și 2^x > x^2}, trebuie să verifici fiecare element:

• Pentru x = 3: 2^3 = 8 și 3^2 = 9, deci 8 < 9, așadar 3 ∉ A
• Pentru x = 4: 2^4 = 16 și 4^2 = 16, deci 16 = 16, așadar 4 ∈ A
• Pentru x = 5: 2^5 = 32 și 5^2 = 25, deci 32 > 25, așadar 5 ∈ A

Deci afirmația {3, 4, 5} ⊂ A este falsă, deoarece 3 ∉ A.

Provocare: O mulțime cu n elemente are 2^n submulțimi. De exemplu, o mulțime cu 3 elemente {a, b, c} are 2^3 = 8 submulțimi: ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.