Noțiuni de bază despre mulțimi

O mulțime este o colecție de obiecte. Notăm mulțimile cu litere mari (A, B, C), iar elementele lor cu litere mici.

Pentru a arăta relația dintre elemente și mulțimi folosim simboluri speciale:

• ∈ înseamnă "aparține" (1∈A - 1 aparține mulțimii A)
• ∉ înseamnă "nu aparține" (0∉A - 0 nu aparține mulțimii A)
• ⊂ înseamnă "este inclus" (C⊂A - C este inclus în mulțimea A)
• ⊄ înseamnă "nu este inclus" (B⊄A - B nu este inclus în mulțimea A)

Cardinalul unei mulțimi reprezintă numărul de elemente din acea mulțime. De exemplu, pentru A = {1,2,3}, cardinalul este card A = 3.

Bine de știut: Mulțimea numerelor naturale se notează cu N = {0,1,2,3,4,5,6,...}, iar mulțimea numerelor naturale nenule (fără 0) se notează cu N* = {1,2,3,4,5,6,...}

Tipuri de mulțimi și divizori

Mulțimea vidă (Ø) este o mulțime fără niciun element. Cardinalul ei este 0 $card Ø = 0$.

Mulțimile pot fi:

• Finite - au un număr fix de elemente $ex: A = {1,2,3}$
• Infinite - au un număr nelimitat de elemente (ex: N)

Divizorii unui număr formează o mulțime finită. De exemplu:

• D₆ = {1,2,3,6} sunt divizorii naturali ai lui 6
• D₅ = {1,5} sunt divizorii naturali ai lui 5

Numerele naturale diferite de 0 și 1 care au exact 2 divizori (pe 1 și pe el însuși) se numesc numere prime.

Putem afla cel mai mare divizor comun (cmmdc) al două numere prin identificarea tuturor divizorilor sau prin metoda descompunerii în factori primi.

Ajutor: Când scrii mulțimea divizorilor unui număr, verifică întotdeauna dacă împărțirea este exactă (fără rest)!

Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun

Cel mai mare divizor comun (cmmdc) poate fi aflat prin două metode:

Metoda 1: Scriem toți divizorii numerelor și identificăm cel mai mare divizor comun. Exemplu: D₄ = {1,2,4} și D₅ = {1,5} → cmmdc(4,5) = 1 (sunt numere prime între ele)

Metoda 2: Descompunem numerele în factori primi. Exemplu pentru cmmdc(6,9):

• 6 = 2 · 3
• 9 = 3²
• cmmdc(6,9) = 3

Multiplii unui număr formează o mulțime infinită. Notăm cu M_n mulțimea multiplilor lui n. M₃ = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...} (multipli întregi ai lui 3)

Pentru cel mai mic multiplu comun (cmmmc) folosim descompunerea în factori primi: Exemplu: cmmmc[9,8] = 3² · 2³ = 72

Trucul meu: Pentru a găsi cmmdc și cmmmc, descompunerea în factori primi este cea mai rapidă metodă!

Operații cu mulțimi

Putem face trei operații principale cu mulțimile:

1. Reuniunea (∪): AUB = {x | x∈A sau x∈B} Este mulțimea formată din toate elementele care aparțin fie lui A, fie lui B, fie ambelor. Exemplu: {1,2,3} ∪ {0,2} = {0,1,2,3}

2. Intersecția (∩): A∩B = {x | x∈A și x∈B} Este mulțimea elementelor comune ambelor mulțimi. Exemplu: {1,2,3} ∩ {0,2} = {2}

3. Diferența $\ sau -$: A\B = {x | x∈A și x∉B} Este mulțimea elementelor din A care nu sunt în B. Exemplu: {1,2,3} \ {0,2} = {1,3}

Atenție: A\B ≠ B\A (diferența nu este comutativă)!

Important: Când două mulțimi nu au niciun element comun $A∩B = Ø$, spunem că sunt mulțimi disjuncte.

Principiul includerii și excluderii

Principiul includerii și excluderii ne ajută să calculăm cardinalul reuniunii a două mulțimi:

card(A∪B) = card A + card B - card(A∩B)

Din această formulă, putem deduce:

• card A = card(A∪B) - card$B\A$
• card$B\A$ = card B - card(A∩B)

Să verificăm cu exemplul: A = {1,2,3} și B = {0,2}

• card A = 3
• card B = 2
• card(A∩B) = 1
• card(A∪B) = 4
• card$A\B$ = 2
• card$B\A$ = 1

Verificare: card(A∪B) = card A + card B - card(A∩B) 4 = 3 + 2 - 1 ✓

Exemplu practic: Dacă într-o clasă 15 elevi practică fotbal, 12 elevi practică baschet, iar 5 elevi practică ambele sporturi, câți elevi practică cel puțin un sport? Răspuns: 15 + 12 - 5 = 22 elevi.