Matematică Cls. 5-8 - Exersează și Progresează

Matematică pentru Evaluarea Națională

Notele de față conțin toată materia necesară pentru Evaluarea Națională la Matematică, fiind organizate pe concepte cheie. Vei găsi aici formule esențiale, exerciții rezolvate și sfaturi practice.

Aceste materiale te vor ajuta să înveți eficient și să te pregătești temeinic pentru examen. Fiecare secțiune acoperă un subiect important care poate apărea la testare.

Sfat util: Folosește aceste note pentru a-ți verifica cunoștințele și pentru a exersa diverse tipuri de probleme care pot apărea la examen.

Împărțirea cu rest și aplicații

În matematică, când împărțim un număr D la un alt număr I, obținem un cât C și un rest R. Această relație se exprimă prin formula: D = C × I + R, unde 0 ≤ R < I.

Formula funcționează atât pentru numerele naturale (N) cât și pentru cele întregi (Z). La Evaluarea Națională pot apărea probleme care folosesc această relație.

Un exemplu rezolvat arată cum găsim cel mai mic număr natural n care împărțit la 12 dă restul 7, iar împărțit la 18 dă restul 13. Soluția implică scrierea lui n în funcție de cât și rest pentru ambele cazuri, apoi adunarea numărului 5 la ambele ecuații pentru a obține n+5 = 36, deci n = 31.

Reține! Pentru astfel de probleme, este util să transformi ecuațiile astfel încât să ajungi la multipli comuni ai divizorilor.

Divizibilitatea în N

Un număr d divide un număr m (notăm d|m) dacă există un număr natural x astfel încât m = d × x. Această relație are câteva proprietăți importante pe care trebuie să le știi.

Criteriile de divizibilitate te ajută să determini rapid dacă un număr este divizibil cu altul:

• Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8
• Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3
• Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5
• Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9

Pentru calcularea celui mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) descompunem numerele în factori primi, luăm factorii comuni o singură dată cu exponentul cel mai mic și îi înmulțim.

Pentru cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) luăm toți factorii, comuni și necomuni, cu cel mai mare exponent și îi înmulțim.

Important! Numerele a și b sunt relativ prime (prime între ele) dacă (a,b) = 1, adică nu au divizori comuni în afară de 1.

Radicalul

Rădăcina pătrată a unui număr a se notează √a și reprezintă numărul x pentru care x² = a, unde a, x ∈ ℝ și a, x ≥ 0.

Când lucrezi cu radicali, trebuie să cunoști câteva reguli de calcul esențiale:

• √a × √b = √(a × b), pentru a, b ≥ 0
• √a ÷ √b = √(a ÷ b), pentru a ≥ 0, b > 0
• √(a² × b) = a√b, pentru a ≥ 0, b ≥ 0
• √a² = |a|, pentru a ∈ ℝ

Raționalizarea numitorului este o tehnică importantă de calcul cu radicali. Aceasta implică înmulțirea și numărătorului, și numitorului cu o expresie care elimină radicalii din numitor.

Există formule specifice pentru diferite situații, cum ar fi pentru fracțiile de forma √a/√b sau $√a + √b$/$√a - √b$.

Sfat practic: Când ai un radical în numitorul unei fracții, înmulțește atât numărătorul cât și numitorul cu expresia care va elimina radicalul din numitor.

Formule pentru radicali și intervale

Pentru radicali compuși există formula: √(a ± √b) = √$(a + c)/2$ ± √$(a - c)/2$, unde c = √$a² - b$.

Într-un exercițiu rezolvat, se calculează valoarea expresiei a = |3 - √5| + |√5 + √3| + |√3 - √2|. Soluția implică determinarea valorii fiecărui modul prin compararea termenilor, apoi simplificarea expresiei.

Intervalele în R sunt subseturi de numere reale cu anumite proprietăți:

• (a; b) = {x ∈ ℝ | a < x < b} - interval deschis
• [a; b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} - interval închis
• $a; b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} și [a; b$ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} - intervale semi-deschise

Există și intervale infinit extinse, precum [a; +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ a} sau $-∞; a$ = {x ∈ ℝ | x < a}.

Observație utilă: Pentru a reprezenta mulțimi definite prin valori absolute, trebuie să transformi condițiile. De exemplu, {x ∈ ℝ | |x| ≤ a} = $-a; a$.

Intervale și formule de calcul prescurtat

Iată un exemplu rezolvat pentru a determina elementele mulțimilor:

• A = {x ∈ ℕ | -4 < x ≤ 3} = {0, 1, 2, 3}
• B = {x ∈ ℤ | -4 < x ≤ 3} = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
• C = {x ∈ ℝ | -4 < x ≤ 3} = (-4, 3]

Un alt exemplu arată cum să transformi mulțimi în intervale:

• {x ∈ ℝ | |x - 3| < 2} = (1, 5)
• {x ∈ ℝ | |$x - 1$/4| ≤ 5} = $-19, 21$

Formulele de calcul prescurtat sunt extrem de utile în algebră:

• $a + b$² = a² + 2ab + b²
• $a - b$² = a² - 2ab + b²
• a + b$$a - b = a² - b²

Un exemplu arată cum să folosești aceste formule pentru a calcula produsul √5 - x$$x + √5 = 5 - x² și produsul x - 1$$x² + 2x + 1 = x - 1$$x + 1² = x² - 1$$x + 1.

Trucul meu: Recunoaște modelele din formulele de calcul prescurtat pentru a rezolva rapid exercițiile fără a face toate calculele.

Coordonate și funcții

În geometria analitică, coordonatele mijlocului unui segment AB se calculează cu formulele:

• x₍ₘ₎ = $x₍ₐ₎ + x₍ᵦ₎$/2
• y₍ₘ₎ = $y₍ₐ₎ + y₍ᵦ₎$/2

Un exemplu rezolvat arată că pentru A(7, 2) și B(11, 5):

• Distanța AB = √$(11-7)² + (5-2)²$ = √$16 + 9$ = √25 = 5
• Coordonatele mijlocului sunt $9, 7/2$

Funcțiile sunt relații speciale între două mulțimi:

• O funcție f: A → B asociază fiecărui element din mulțimea A exact un singur element din mulțimea B.
• Domeniul funcției este mulțimea A, iar codomeniul este mulțimea B.
• Graficul unei funcții este mulțimea G₍f₎ = {(x, y) ∈ A × B | x ∈ A, y = f$x$}.

Un punct M(x, y) aparține graficului funcției f dacă și numai dacă f$x$ = y, cu x ∈ A și y ∈ B.

De reținut: Două funcții f: A → B și g: C → D sunt egale dacă A = C, B = D și f$x$ = g$x$ pentru orice x ∈ A.

Unități de măsură

Matematica practică folosește diverse unități de măsură, organizate în sisteme cu unitate principală și multipli/submultipli:

Pentru lungime:

• Unitatea principală: metrul $m$
• Submultipli: dm, cm, mm (împărțim cu 10 de fiecare dată)
• Multipli: dam, hm, km (înmulțim cu 10 de fiecare dată)

Pentru suprafață:

• Unitatea principală: metrul pătrat (m²)
• Submultipli: dm², cm², mm² (împărțim cu 10² de fiecare dată)
• Multipli: dam², hm², km² (înmulțim cu 10² de fiecare dată)
• Unități speciale: 1 ha = 100 ari = 10.000 m²; 1 ar = 100 m²

Pentru volum și capacitate:

• 1 dm³ = 1 litru; 1 cm³ = 1 mililitru; 1 m³ = 1.000 litri

Un exemplu rezolvat arată cum să calculezi suprafața unui teren dreptunghiular cu lungimea de 15 m și lățimea de 7 m, obținând 105 m² = 0,0105 ha.

Sfat practic: Când transformi unități de măsură, gândește-te la câte zerouri adaugi sau elimini, nu doar la înmulțiri sau împărțiri.

Unghiul

Unghiul este reuniunea a două semidrepte închise cu aceeași origine. Unghiurile se măsoară în grade, minute și secunde: 1° = 60'; 1' = 60".

Există mai multe tipuri de unghiuri:

• Unghi nul: 0°
• Unghi ascuțit: măsură între 0° și 90°
• Unghi drept: 90°
• Unghi obtuz: măsură între 90° și 180°
• Unghi alungit: 180°
• Unghi propriu: măsură între 0° și 180°

Relații între unghiuri:

• Unghiuri congruente: au aceeași măsură
• Unghiuri adiacente: au același vârf, o latură comună și nu au puncte interioare comune
• Unghiuri opuse la vârf: au vârful comun și laturile în prelungire (sunt întotdeauna congruente)
• Unghiuri complementare: suma lor este 90° (exemplu: 20° și 70°)
• Unghiuri suplementare: suma lor este 180° (exemplu: 20° și 160°)

Reține mereu: Suma unghiurilor în jurul unui punct este 360°.

Triunghiul

Triunghiul este figura geometrică formată din trei puncte necoliniare (vârfuri) și segmentele care le unesc (laturi).

Elementele unui triunghi ABC sunt:

• Vârfuri: A, B, C
• Laturi: AB, BC, AC
• Unghiuri: ∠ABC, ∠BAC, ∠ACB

Proprietăți fundamentale:

• Suma unghiurilor într-un triunghi este 180°: m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180°
• Inegalitatea triunghiului: |AB - BC| < AC < AB + BC

Triunghiurile se clasifică după unghiuri în:

• Triunghi ascuțitunghic: toate unghiurile sunt ascuțite (< 90°)
• Triunghi dreptunghic: are un unghi drept $= 90°$

Sfat: Când lucrezi cu triunghiuri, verifică mereu dacă poți folosi proprietățile specifice tipului de triunghi (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic) pentru a rezolva problema mai ușor.