Funcția de gradul I - definiție și reprezentare

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0. Puterea lui x este mereu 1, de aici și denumirea de "gradul I".

Graficul acestei funcții este întotdeauna o dreaptă. Putem identifica două puncte importante pe acest grafic. Primul este punctul de intersecție cu axa OY, care are coordonatele A(0; b). Al doilea punct important este intersecția cu axa OX, care are coordonatele B$-b/a; 0$.

Știai că? Funcțiile de gradul I sunt folosite în multe situații practice, de la calcularea costurilor $cost fix + cost variabil$ până la modelarea relațiilor simple între diferite mărimi din fizică sau economie.

Pentru a desena graficul, e suficient să determinăm aceste două puncte de intersecție cu axele și să trasăm dreapta care trece prin ele. Semnul lui a determină înclinarea dreptei: dacă a > 0, dreapta "urcă", iar dacă a < 0, dreapta "coboară".

Semnul și monotonia funcției de gradul I

Semnul funcției de gradul I se schimbă în punctul unde funcția devine zero, adică pentru x = -b/a. La stânga acestui punct, funcția are semnul contrar lui a, iar la dreapta are același semn cu a.

Putem analiza semnul folosind un tabel:

Monotonia funcției depinde doar de valoarea lui a:

• Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare (↑)
• Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare (↓)

Putem demonstra monotonia folosind raportul de creștere. De exemplu, pentru f(x) = 2x-√5, raportul $f(x)-f(y)$/$x-y$ = 2 > 0, deci funcția este crescătoare.

Important! Panta dreptei este dată chiar de valoarea lui a. Cu cât valoarea absolută a lui a este mai mare, cu atât dreapta este mai înclinată față de axa OX.

Exemplu de analiză a funcției de gradul I

Să analizăm funcția f(x) = -x + 3. În acest caz, a = -1 și b = 3.

Pentru a determina unde funcția se anulează, rezolvăm ecuația -x + 3 = 0, care ne dă x = 3. Acest punct împarte axa OX în două regiuni cu semne diferite pentru f(x).

Putem analiza semnul funcției astfel:

• Pentru x < 3: f(x) > 0 (valori pozitive)
• Pentru x = 3: f(x) = 0
• Pentru x > 3: f(x) < 0 (valori negative)

Deoarece a = -1 < 0, funcția este strict descrescătoare pe întreg domeniul său. Graficul este o dreaptă care "coboară" de la stânga la dreapta, trecând prin punctele A(0; 3) și B(3; 0).

Sfat practic: Pentru a verifica rapid dacă ai trasat corect graficul, calculează valoarea funcției pentru x = 0 (obții ordonata punctului de intersecție cu axa OY) și rezolvă ecuația f(x) = 0 (obții abscisa punctului de intersecție cu axa OX).