Mulțimi și operațiile cu ele

Mulțimile sunt colecții de elemente, iar pentru a le nota folosim simboluri speciale. O mulțime poate conține elemente ($\in$) sau poate include alte mulțimi ($\supset$). Cele mai importante mulțimi de numere sunt:

• $\mathbb{N}$ - numerele naturale (0, 1, 2, ...)
• $\mathbb{Z}$ - numerele întregi $..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$
• $\mathbb{Q}$ - numerele raționale (fracții)
• $\mathbb{R}$ - numerele reale

Când lucrăm cu mulțimi, folosim operații precum reuniunea ($\cup$), intersecția ($\cap$) și diferența ($\setminus$). De exemplu, reuniunea a două mulțimi conține toate elementele care se află în cel puțin una dintre ele.

Știai că? Mulțimea vidă ($\emptyset$) nu conține niciun element, dar se consideră inclusă în orice altă mulțime!

Reguli de calcul și puteri

Când calculezi cu numere întregi și fracții, trebuie să ții cont de semne. De exemplu:

• $-3$ + 5 = 2
• $-3$ × $-5$ = 15
• 15 : $-3$ = -5

Puterile sunt o modalitate rapidă de a scrie înmulțiri repetate. Câteva exemple importante:

• $2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$
• $(-2)^2 = 4$ (număr pozitiv)
• $(-2)^3 = -8$ (număr negativ)

Pentru înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceeași bază, folosim reguli simple:

• $2^3 × 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
• $2^3 : 2^2 = 2^{3-2} = 2^1 = 2$

Radicali și calculul algebric

Radicalii reprezintă operația inversă ridicării la putere. Câteva valori importante de memorat:

• $\sqrt{9} = 3$
• $\sqrt{25} = 5$
• $\sqrt{100} = 10$

Pentru radicali care nu dau rezultate exacte, putem scoate factorul de sub radical:

• $\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$
• $\sqrt{75} = \sqrt{25 × 3} = 5\sqrt{3}$

În calculul algebric folosim formule care ne ajută să simplificăm expresii:

• $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
• $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

Descompunerea în factori și ecuațiile

Descompunerea în factori se poate face prin:

1. Scoaterea factorului comun: $x^2 + 2x = x(x+2)$
2. Gruparea termenilor: $2x^2 + 2x + xy + y = (2x+y)(x+1)$
3. Folosirea formulelor: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

Pentru ecuațiile de gradul II ($ax^2 + bx + c = 0$) folosim formula cu delta:

• $\Delta = b^2 - 4ac$
• Dacă $\Delta > 0$, avem două soluții: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Dacă $\Delta = 0$, avem o singură soluție: $x = \frac{-b}{2a}$
• Dacă $\Delta < 0$, ecuația nu are soluții reale

Nu uita că valoarea absolută (modulul) a unui număr este distanța de la acel număr la zero. De exemplu, $|-3| = 3$ și $|5| = 5$.