Salutare! Matematica poate părea complicată, dar prin aceste notițe vei... Afișează mai mult
Mulțimi și operațiile cu ele
Mulțimile sunt colecții de elemente, iar pentru a le nota folosim simboluri speciale. O mulțime poate conține elemente $\in$ sau poate include alte mulțimi $\supset$. Cele mai importante mulțimi de numere sunt:
N - numerele naturale (0, 1, 2, ...)
Z - numerele întregi (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
Q - numerele raționale (fracții)
R - numerele reale
Când lucrăm cu mulțimi, folosim operații precum reuniunea$\cup$, intersecția$\cap$ și diferența$\setminus$. De exemplu, reuniunea a două mulțimi conține toate elementele care se află în cel puțin una dintre ele.
Știai că? Mulțimea vidă $\emptyset$ nu conține niciun element, dar se consideră inclusă în orice altă mulțime!
Reguli de calcul și puteri
Când calculezi cu numere întregi și fracții, trebuie să ții cont de semne. De exemplu:
(-3) + 5 = 2
(-3) × (-5) = 15
15 : (-3) = -5
Puterile sunt o modalitate rapidă de a scrie înmulțiri repetate. Câteva exemple importante:
23=2×2×2=8
(−2)2=4 (număr pozitiv)
(−2)3=−8 (număr negativ)
Pentru înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceeași bază, folosim reguli simple:
23×22=23+2=25=32
23:22=23−2=21=2
Radicali și calculul algebric
Radicalii reprezintă operația inversă ridicării la putere. Câteva valori importante de memorat:
9=3
25=5
100=10
Pentru radicali care nu dau rezultate exacte, putem scoate factorul de sub radical:
12=4×3=23
75=25×3=53
În calculul algebric folosim formule care ne ajută să simplificăm expresii:
(x+y)2=x2+2xy+y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
(x+y)(x−y)=x2−y2
Descompunerea în factori și ecuațiile
Descompunerea în factori se poate face prin:
Scoaterea factorului comun: x2+2x=x(x+2)
Gruparea termenilor: 2x2+2x+xy+y=(2x+y)(x+1)
Folosirea formulelor: x2−4=(x−2)(x+2)
Pentru ecuațiile de gradul II$ax^2 + bx + c = 0$ folosim formula cu delta:
Δ=b2−4ac
Dacă Δ>0, avem două soluții: x1,2=2a−b±Δ
Dacă Δ=0, avem o singură soluție: x=2a−b
Dacă Δ<0, ecuația nu are soluții reale
Nu uita că valoarea absolută (modulul) a unui număr este distanța de la acel număr la zero. De exemplu, ∣−3∣=3 și ∣5∣=5.
Credeam că nu vei întreba niciodată...
Ce este Companionul AI Knowunity?
Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.
De unde pot descărca aplicația Knowunity?
Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.
Este Knowunity chiar gratuită?
Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!
Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.
4.9/5
App Store
4.8/5
Google Play
Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.
Ștefan S
utilizator iOS
Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.
Samantha Klich
utilizator Android
Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.
Anna
utilizator iOS
Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!
Thomas R
utilizator iOS
Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️
Paul P
utilizator Android
Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!
David K
utilizator iOS
Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!
Sudenaz Ocak
utilizator Android
La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.
Greenlight Bonnie
utilizator Android
Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.
Karla S
utilizator Android
Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻
Denisa B
utilizator iOS
m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !
Sarah L
utilizator Android
Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor
Alessia V
utilizator iOS
Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.
Ștefan S
utilizator iOS
Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.
Samantha Klich
utilizator Android
Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.
Anna
utilizator iOS
Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!
Thomas R
utilizator iOS
Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️
Paul P
utilizator Android
Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!
David K
utilizator iOS
Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!
Sudenaz Ocak
utilizator Android
La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.
Greenlight Bonnie
utilizator Android
Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.
Karla S
utilizator Android
Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻
Denisa B
utilizator iOS
m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !
Sarah L
utilizator Android
Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor
Salutare! Matematica poate părea complicată, dar prin aceste notițe vei învăța principalele concepte din aritmetică și algebră care îți vor fi de folos la școală. Hai să descoperim împreună mulțimile, operațiile, puterile și alte noțiuni matematice interesante!
Mulțimile sunt colecții de elemente, iar pentru a le nota folosim simboluri speciale. O mulțime poate conține elemente $\in$ sau poate include alte mulțimi $\supset$. Cele mai importante mulțimi de numere sunt:
N - numerele naturale (0, 1, 2, ...)
Z - numerele întregi (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
Q - numerele raționale (fracții)
R - numerele reale
Când lucrăm cu mulțimi, folosim operații precum reuniunea$\cup$, intersecția$\cap$ și diferența$\setminus$. De exemplu, reuniunea a două mulțimi conține toate elementele care se află în cel puțin una dintre ele.
Știai că? Mulțimea vidă $\emptyset$ nu conține niciun element, dar se consideră inclusă în orice altă mulțime!
Reguli de calcul și puteri
Când calculezi cu numere întregi și fracții, trebuie să ții cont de semne. De exemplu:
(-3) + 5 = 2
(-3) × (-5) = 15
15 : (-3) = -5
Puterile sunt o modalitate rapidă de a scrie înmulțiri repetate. Câteva exemple importante:
23=2×2×2=8
(−2)2=4 (număr pozitiv)
(−2)3=−8 (număr negativ)
Pentru înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceeași bază, folosim reguli simple:
23×22=23+2=25=32
23:22=23−2=21=2
Radicali și calculul algebric
Radicalii reprezintă operația inversă ridicării la putere. Câteva valori importante de memorat:
9=3
25=5
100=10
Pentru radicali care nu dau rezultate exacte, putem scoate factorul de sub radical:
12=4×3=23
75=25×3=53
În calculul algebric folosim formule care ne ajută să simplificăm expresii:
(x+y)2=x2+2xy+y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
(x+y)(x−y)=x2−y2
Descompunerea în factori și ecuațiile
Descompunerea în factori se poate face prin:
Scoaterea factorului comun: x2+2x=x(x+2)
Gruparea termenilor: 2x2+2x+xy+y=(2x+y)(x+1)
Folosirea formulelor: x2−4=(x−2)(x+2)
Pentru ecuațiile de gradul II$ax^2 + bx + c = 0$ folosim formula cu delta:
Δ=b2−4ac
Dacă Δ>0, avem două soluții: x1,2=2a−b±Δ
Dacă Δ=0, avem o singură soluție: x=2a−b
Dacă Δ<0, ecuația nu are soluții reale
Nu uita că valoarea absolută (modulul) a unui număr este distanța de la acel număr la zero. De exemplu, ∣−3∣=3 și ∣5∣=5.
Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.
De unde pot descărca aplicația Knowunity?
Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.
Este Knowunity chiar gratuită?
Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!
18
Instrumente inteligente NOU
Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare✓ Flashcard-uri interactive✓ Simulare completă✓ Planuri de eseu
Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.
4.9/5
App Store
4.8/5
Google Play
Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.
Ștefan S
utilizator iOS
Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.
Samantha Klich
utilizator Android
Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.
Anna
utilizator iOS
Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!
Thomas R
utilizator iOS
Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️
Paul P
utilizator Android
Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!
David K
utilizator iOS
Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!
Sudenaz Ocak
utilizator Android
La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.
Greenlight Bonnie
utilizator Android
Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.
Karla S
utilizator Android
Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻
Denisa B
utilizator iOS
m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !
Sarah L
utilizator Android
Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor
Alessia V
utilizator iOS
Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.
Ștefan S
utilizator iOS
Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.
Samantha Klich
utilizator Android
Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.
Anna
utilizator iOS
Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!
Thomas R
utilizator iOS
Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️
Paul P
utilizator Android
Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!
David K
utilizator iOS
Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!
Sudenaz Ocak
utilizator Android
La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.
Greenlight Bonnie
utilizator Android
Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.
Karla S
utilizator Android
Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻
Denisa B
utilizator iOS
m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !
Sarah L
utilizator Android
Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor