Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Română

https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/019505f8-3c60-7e16-89ee-32c49af504fc.pdf

019505f8-3c60-7e16-89ee-32c49af504fc

Notiță

Robert Grigorică

Romania

Gimnaziu

Matematică

Formule matematice clasele 5-8

# Aritmetica şi algebra

## Mulţimi
- $\in$ aparţine  - $\notin$ nu aparţine  - $\subset$ inclusă  - $\supset$ include
- $\emptyset$ mulţimea vidă (mulţime care nu are elemente)
- $A \cup B$ reuniunea
- $A \cap B$ intersecţia
- Cardinalul unei mulţimi=numărul elementelor
- $card(A)=3$
- $A \setminus B$ diferenţa
- $A \times B$ produs cartezian
- $\mathbb{N}$ naturale: {0,1,2,...}
- $\mathbb{N^*}$ naturale fără 0: {1,2,3,...}
- $\mathbb{Z}$ întregi: {...,-2,-1,0,1,2,...}
- $\mathbb{Q}$ raţionale: $\frac{a}{b}$, $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z^*}$
- $\mathbb{R}$ reale
- $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ iraţionale
- $\mathbb{C}$ complexe
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

Operaţii cu mulţimi:
- reuniunea: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\} = \{1,2,3,4,7,8,9\}$
- intersecţia: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ şi } x \in B\} = \{2,7\}$
- diferenţa: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ şi } x \notin B\} = \{1,3,4,8,9\}$
- produs cartezian: $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$

## Reguli de calcul
- Fracţii zecimale: 1,37+4,53=5,97; 3,1-1,2=1,9; 3,8*10=38; 10:0,02=500; 20:100=0,2
- Numere întregi: 36:2=18; 27:3=9; 100:25=4; 36:4=9; 0,26:2=0,13
- 2,3+5=7,3; 5-2,3=2,7; 2,3*5=11,5; 5:2,3=2,17
- (-3)+5=2; (-5)+3=-2; (-3)+(-5)=-8; 3+(-5)=-2; (-3)-5=-8; (-5)-(-3)=-2; (-3)*(-5)=15; (-5)*3=-15; 15:(-3)=-5; (-15):3=-5; (-15):(-3)=5
- Opusul lui 35 este -35; opusul lui -35 este 35

## Puteri
- $2^1=2$; $2^2=4$; $2^3=8$; $2^4=16$; $2^5=32$; $2^6=64$; $2^7=128$; $2^8=256$; $2^9=512$; $2^{10}=1024$
- $(-2)^1=-2$; $(-2)^2=4$; $(-2)^3=-8$; $(-2)^4=16$; $(-2)^5=-32$; $(-2)^6=64$; $(-2)^7=-128$; $(-2)^8=256$; $(-2)^9=-512$; $(-2)^{10}=1024$
- $(2^3)^2=2^6=64$; $(2^3)^2=8^2=64$; $(2^3)^2=2^{3*2}=2^6=64$
- $2^3*2^2=2^{3+2}=2^5=32$
- $2^3:2^2=2^{3-2}=2^1=2$

## Radicali
- $\sqrt{1}=1$; $\sqrt{4}=2$; $\sqrt{9}=3$; $\sqrt{16}=4$; $\sqrt{25}=5$; $\sqrt{36}=6$; $\sqrt{49}=7$; $\sqrt{64}=8$; $\sqrt{81}=9$; $\sqrt{100}=10$
- $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$; $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$; $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$; $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$; $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$; $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$; $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$; $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$; $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$; $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$; $\sqrt{54}=3\sqrt{6}$; $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$; $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$; $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$; $\sqrt{96}=4\sqrt{6}$; $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$; $\sqrt{99}=3\sqrt{11}$; $\sqrt{108}=6\sqrt{3}$; $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$; $\sqrt{128}=8\sqrt{2}$; $\sqrt{150}=5\sqrt{6}$; $\sqrt{180}=6\sqrt{5}$; $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$; $\sqrt{242}=11\sqrt{2}$; $\sqrt{243}=9\sqrt{3}$; $\sqrt{250}=5\sqrt{10}$; $\sqrt{288}=12\sqrt{2}$; $\sqrt{300}=10\sqrt{3}$; $\sqrt{320}=8\sqrt{5}$; $\sqrt{324}=18$; $\sqrt{375}=5\sqrt{15}$; $\sqrt{400}=20$; $\sqrt{432}=12\sqrt{3}$; $\sqrt{450}=15\sqrt{2}$; $\sqrt{486}=9\sqrt{6}$; $\sqrt{500}=10\sqrt{5}$; $\sqrt{512}=16\sqrt{2}$; $\sqrt{576}=24$; $\sqrt{625}=25$; $\sqrt{675}=15\sqrt{3}$; $\sqrt{729}=27$; $\sqrt{750}=5\sqrt{30}$; $\sqrt{800}=20\sqrt{2}$; $\sqrt{864}=12\sqrt{6}$; $\sqrt{900}=30$; $\sqrt{961}=31$; $\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$
- $\sqrt{a*b}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- $\sqrt{a^2}=|a|$

## Scoaterea factorului de sub radical
- $\sqrt{813}=\sqrt{9*90+3}=\sqrt{9*90+3}=3\sqrt{90+\frac{3}{9}}=3\sqrt{90+\frac{1}{3}}$
- $\sqrt{63}=\sqrt{9*7}=3\sqrt{7}$
- $\sqrt{52}=\sqrt{4*13}=2\sqrt{13}$
- $\sqrt{98}=\sqrt{49*2}=7\sqrt{2}$
- $\sqrt{125}=\sqrt{25*5}=5\sqrt{5}$
- $\sqrt{12}=\sqrt{4*3}=2\sqrt{3}$
- $\sqrt{20}=\sqrt{4*5}=2\sqrt{5}$
- $\sqrt{28}=\sqrt{4*7}=2\sqrt{7}$
- $\sqrt{32}=\sqrt{16*2}=4\sqrt{2}$
- $\sqrt{45}=\sqrt{9*5}=3\sqrt{5}$
- $\sqrt{48}=\sqrt{16*3}=4\sqrt{3}$
- $\sqrt{50}=\sqrt{25*2}=5\sqrt{2}$
- $\sqrt{72}=\sqrt{36*2}=6\sqrt{2}$
- $\sqrt{75}=\sqrt{25*3}=5\sqrt{3}$
- $\sqrt{80}=\sqrt{16*5}=4\sqrt{5}$
- $\sqrt{96}=\sqrt{16*6}=4\sqrt{6}$
- $\sqrt{98}=\sqrt{49*2}=7\sqrt{2}$
- $\sqrt{108}=\sqrt{36*3}=6\sqrt{3}$
- $\sqrt{125}=\sqrt{25*5}=5\sqrt{5}$
- $\sqrt{128}=\sqrt{64*2}=8\sqrt{2}$
- $\sqrt{150}=\sqrt{25*6}=5\sqrt{6}$
- $\sqrt{180}=\sqrt{36*5}=6\sqrt{5}$
- $\sqrt{200}=\sqrt{100*2}=10\sqrt{2}$
- $\sqrt{242}=\sqrt{121*2}=11\sqrt{2}$
- $\sqrt{243}=\sqrt{81*3}=9\sqrt{3}$
- $\sqrt{250}=\sqrt{25*10}=5\sqrt{10}$
- $\sqrt{288}=\sqrt{144*2}=12\sqrt{2}$
- $\sqrt{300}=\sqrt{100*3}=10\sqrt{3}$
- $\sqrt{320}=\sqrt{64*5}=8\sqrt{5}$
- $\sqrt{324}=18$
- $\sqrt{375}=\sqrt{25*15}=5\sqrt{15}$
- $\sqrt{400}=20$
- $\sqrt{432}=\sqrt{144*3}=12\sqrt{3}$
- $\sqrt{450}=\sqrt{225*2}=15\sqrt{2}$
- $\sqrt{486}=\sqrt{81*6}=9\sqrt{6}$
- $\sqrt{500}=\sqrt{100*5}=10\sqrt{5}$
- $\sqrt{512}=\sqrt{256*2}=16\sqrt{2}$
- $\sqrt{576}=24$
- $\sqrt{625}=25$
- $\sqrt{675}=\sqrt{225*3}=15\sqrt{3}$
- $\sqrt{729}=27$
- $\sqrt{750}=\sqrt{25*30}=5\sqrt{30}$
- $\sqrt{800}=\sqrt{400*2}=20\sqrt{2}$
- $\sqrt{864}=\sqrt{144*6}=12\sqrt{6}$
- $\sqrt{900}=30$
- $\sqrt{961}=31$
- $\sqrt{1000}=\sqrt{100*10}=10\sqrt{10}$

## Calculul algebric
- $2x+y-2y+x=3x-y$
- $2x(x+y)=2x^2+2xy$
- $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
- $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
- $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
- $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$
- $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
- $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$
- Trecerea termenilor dintr-un membru in altul al egalităţii: termenii se pot trece dintr-un membru in altul cu semnul schimbat. Ex: $x+y=z \Rightarrow x=z-y \Rightarrow y=z-x \Rightarrow x-y=z-2y \Rightarrow x-z=-y \Rightarrow x+y-z=0 \Rightarrow x-y-z=-2y \Rightarrow x-y=z+y \Rightarrow x-2y=z$

## Modul (valoare absolută)
- $|x|=\begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0\\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$
- $|6|=6$; $|-3|=3$; $|0|=0$; $|-x|=|x|$; $|x-2|=0 \Rightarrow x=2$
- $|x| \le 3 \Rightarrow -3 \le x \le 3$
- $|x| \ge 3 \Rightarrow x \le -3 \text{ sau } x \ge 3$
- $|x-1|=2 \Rightarrow x-1=2 \text{ sau } x-1=-2 \Rightarrow x=3 \text{ sau } x=-1$
- $|x-2|=|x-5| \Rightarrow x-2=x-5 \text{ sau } x-2=-(x-5) \Rightarrow 0=-3 \text{ sau } 2x=7 \Rightarrow x=\frac{7}{2}$
- $|x-1|+|x-2|=1 \Rightarrow x=1 \text{ sau } x=2$
- $|x-1|-|x-2|=1 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$
- $|x-1|+|x-2|=3 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=3$
- $|x-1|-|x-2|=3 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$

## Intervale
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 \le x \le 5)$ interval închis
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 < x < 5)$ interval deschis
- $[2,5]$ interval închis
- $(2,5)$ interval deschis
- $[2,5)$ interval semiînchis
- $(2,5]$ interval semiînchis
- $(\infty, 2)$ minus infinit
- $[2, \infty)$ plus infinit

## Descompunerea expresiilor în factori
- Prin factor comun
- $x^2+2x=x(x+2)$
- $3x^2-6x=3x(x-2)$
- $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$
- $x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x^2-1)(x-1)=(x-1)(x+1)(x-1)=(x-1)^2(x+1)$
- Prin grupare de termeni
- $2x^2+2x+xy+y=2x(x+1)+y(x+1)=(2x+y)(x+1)$
- $x^3+x^2-9x-9=x^2(x+1)-9(x+1)=(x^2-9)(x+1)=(x-3)(x+3)(x+1)$
- Prin formule
- $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
- $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$
- $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
- $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
- $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
- $x^2+ax+b=(x+x_1)(x+x_2)$
- $2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$
- $x^2-7x+6=(x-1)(x-6)$
- $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$
- $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$
- $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$
- $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$
- $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$
- $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$
- $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$
- $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
- $x^2-4x+4=(x-2)^2$
- $x^2+4x+4=(x+2)^2$
- $x^2-4=(x-2)(x+2)$
- $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$
- $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

## Ecuaţia de gradul doi (forma generală $ax^2+bx+c=0$)
- Rezolvare: formula delta: $\Delta=b^2-4ac$
- Dacă $\Delta>0$, soluţiile sunt: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
- Dacă $\Delta=0$, soluţia este: $x=-\frac{b}{2a}$
- Dacă $\Delta<0$, soluţiile nu sunt reale

## Unităţi de măsură
| Lungime | Arie | Volum | Capacitate | Masă | Timp |
|---|---|---|---|---|---| 
| 1 mm=0,001 m | 1 $cm^2$=100 $mm^2$ | 1 $cm^3$=1000 $mm^3$ | 1 $l$=1 $dm^3$ | 1 g=0,001 kg | 1 minut=60 secunde |
| 1 cm=0,01 m | 1 $dm^2$=100 $cm^2$ | 1 $dm^3$=1000 $cm^3$ | 1 $dl$=0,1 $l$ | 1 kg=1000 g | 1 oră=60 minute |
| 1 dm=0,1 m | 1 $m^2$=100 $dm^2$ | 1 $m^3$=1000 $dm^3$ | 1 $hl$=100 $l$ | 4 kg=4000 g | 1 zi=24 ore |
| 30 cm=0,30 dm | 7 $km^2$=700 ha | 0,05 $km^3$=50 $hm^3$ | 3 $dal$=30 $l$ | 70 cg=7 g | 1 deceniu=10 ani |
| 2,5 dm=25 cm | 2 $ha$=20000 $m^2$ | 5 $hm^3$=5000 $dam^3$ | 1 $dal$=10 $l$ | 0,5 kg=500 g | 1 secol=100 ani |
| 3,5 dm=35 cm | 1 $dam^2$=100 $m^2$ | 1 $dam^3$=1000 $m^3$ | 125 $ml$=0,125 $l$ | 200 g=0,2 kg | 1 mileniu=1000 ani |
| 13,3 mm=1,33 cm | 0,02 $ha$=200 $m^2$ | 1 $m^3$=1000 $dm^3$ | 0,25 $hl$=25 $l$ | 6,25 g=625 cg | 1 an=365 zile |
| 5,7 hm=570 m | 0,04 $km^2$=400 $dam^2$ | 3 $dam^3$=3000 $m^3$ | 0,07 $kl$=70 $l$ | 3 000 g=3 kg | 1 %ore=30 minute |
|  |  | 0,25 $dam^3$=250 $m^3$ | 3 $cl$=0,3 $dl$ | 34 g=0,034 kg | 1 %ore=15 minute |

## Sisteme de ecuaţii
- Rezolvare prin metoda substituţiei
- Rezolvare prin metoda reducerii (se adună ecuaţiile)

## Sistem de axe
- Oxa absciselor
- Oy-axa ordonatelor
- Punctul O(0,3)
- Numărul 5 este abscisa, iar 3 este ordonata lui M

## Funcţii
- Spunem că am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori în mulţimea B dacă facem o corespondenţă din A în B astfel încât fiecărui element din A îi corespunde un singur element în B.
- A=domeniul de definiţie; B=codomeniul de valori
- $f:A \to B$ (funcţia f de la A la B)
- Reprezentare grafică: Fie f este o funcţie de forma $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$
- Calculul coordonatelor punctelor
- Intersecţia graficului cu axele

## Probabilităţi şi evenimente
- Medii
- Inegalităţi mediilor
- Numerele x, y, z sunt direct proporţionale cu 2, 3, 4 dacă $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$
- Regula de trei simple


Formule matematice clasele 5-8

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

17 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine proiectată. Până acum am găsit ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț

Formule matematice clasele 5-8

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

17 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine proiectată. Până acum am găsit ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț