Numere complexe: Definiții și operații

Un număr complex se scrie în forma algebrică $z = x + yi$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale, iar $i$ este unitatea imaginară ($i^2 = -1$). Partea $x$ reprezintă partea reală (notată $Re \ z$), iar $y$ reprezintă partea imaginară (notată $Im \ z$).

Pentru orice număr complex putem defini conjugatul său, care se obține schimbând semnul părții imaginare: $\overline{z} = x - yi$. De exemplu, pentru $z_1 = 3 + 5i$, conjugatul este $\overline{z_1} = 3 - 5i$.

Modulul unui număr complex $z = x + yi$ se calculează cu formula $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Acesta reprezintă distanța de la originea sistemului de coordonate până la punctul reprezentat de numărul complex. Modulul respectă proprietăți importante: $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$, $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ și $|z^n| = |z|^n$.

Pro-tip: Gândește-te la numerele complexe ca la puncte într-un plan, unde axa $Ox$ reprezintă partea reală, iar axa $Oy$ reprezintă partea imaginară. Așa vei înțelege mai ușor conceptul de modul ca fiind distanța până la origine!

Operațiile cu numere complexe se realizează urmând reguli simple. La adunare și scădere, se adună/scad separat părțile reale și părțile imaginare: $z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)i$ și $z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + (y_1 - y_2)i$. De exemplu, pentru $z_1 = 3 + 5i$ și $z_2 = 4 - 3i$, avem $z_1 + z_2 = 7 + 2i$ și $z_1 - z_2 = -1 + 8i$.