Exerciții Rezolvate despre Divizibilitate pentru Clasa 6

Probleme de divizibilitate

Hai să vedem cum putem găsi numere care respectă anumite condiții de divizibilitate. De exemplu, pentru a afla numerele de forma 6+2ab care se împart la 45, trebuie să verificăm dacă se împart atât la 5 cât și la 9.

Pentru ca un număr să se împartă la 5, ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5. Apoi verificăm dacă aceste numere se împart și la 9 (suma cifrelor trebuie să fie divizibilă cu 9).

Atenție! Pentru a rezolva corect problemele de divizibilitate, verifică mereu toate condițiile necesare și nu sări peste pași.

Când calculăm cel mai mare divizor comun (cmmdc) și cel mai mic multiplu comun (cmmmc) pentru mai multe numere, descompunem fiecare număr în factori primi. Pentru 28, 42 și 63:

• 28 = 2² × 7
• 42 = 2 × 3 × 7
• 63 = 3² × 7

Atunci cmmdc(28, 42, 63) = 7 și cmmmc(28, 42, 63) = 7 × 2² × 3² = 252.

Probleme cu resturi și divizori comuni

Uneori, trebuie să găsești numere care dau anumite resturi la împărțire. Poți folosi cmmmc pentru a rezolva astfel de probleme.

Pentru a determina numărul M pentru care numerele 641, 278 și 550 împărțite la M dau resturile 11, 8 și respectiv 10, trebuie să găsim un divizor comun al numerelor 630, 270 și 540.

Descompunând în factori primi:

• 630 = 2 × 3² × 5 × 7
• 270 = 2 × 3³ × 5
• 540 = 2² × 3³ × 5

Sfat practic: Când lucrezi cu mulți factori primi, organizează-i într-un tabel pentru a nu omite niciunul!

Cel mai mare divizor comun este 2 × 3² × 5 = 90. Dar M trebuie să fie mai mare decât 11 (cel mai mare rest). Așadar M poate fi 15, 18, 30, 45 sau 90.

Relații între numere și divizori

Când ai relații între cmmdc și cmmmc, poți folosi formula cmmdc × cmmmc = a × b pentru a rezolva probleme.

Pentru problema unde (a,b) = 18 și [a,b] = 216, știm că:

• a = 18x și b = 18y, unde x și y sunt numere prime între ele
• Folosind formula: 18 × 216 = a × b → x × y = 12

Perechile posibile sunt (1,12), (2,6), (3,4), (4,3), deci soluțiile sunt (18,216), (36,108), (54,72) și (72,54).

Super truc! În problemele cu cmmdc și cmmmc, încearcă să scrii numerele sub forma a = cmmdc × m și b = cmmdc × n, unde m și n sunt prime între ele.

Pentru a afla divizorii unui număr, poți descompune numărul în factori primi. De exemplu, 54 = 2 × 3³, deci numărul de divizori este $1+1$ × $3+1$ = 2 × 4 = 8.

Proprietăți ale puterilor lui 2

Hai să vedem cum puterile lui 2 ne ajută să rezolvăm probleme interesante de divizibilitate.

Pentru A = 2^$n+3$ + 2^$n+2$ + 2^n, putem scoate factorul comun 2^n: A = 2^n × $2^3 + 2^2 + 1$ = 2^n × 13. Deci A este divizibil cu 13.

Când lucrăm cu sume lungi de puteri, precum S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2^2004, putem folosi un truc: înmulțim cu 2 și apoi scădem.

Trucul magic: Pentru sume de puteri, înmulțește ambele părți cu rația, apoi scade ecuațiile pentru a obține o formulă simplă!

2S - S = 2^2005 - 2 S = 2^2005 - 2

Pentru a verifica divizibilitatea cu 5 și 7, putem folosi proprietățile resturilor pentru puteri. Restul lui 2^2005 la împărțirea cu 5 este 2, deci S = 2^2005 - 2 = 2 - 2 = 0 (mod 5), ceea ce înseamnă că S este divizibil cu 5.