Introducere în Mecanică și Cinematică

Mecanica studiază mișcarea mecanică, un fenomen observat de om încă din timpuri străvechi. Fenomenele naturale precum căderea pietrelor, cursurile de apă sau balansul copacilor au constituit baza primelor observații ce au dus la dezvoltarea mecanicii.

Inventarea primelor mecanisme simple - pârghia, scripetele, planul înclinat sau șurubul - s-a bazat pe cunoștințele empirice acumulate din observarea naturii. Mecanica clasică sau newtoniană a fost formulată de Isaac Newton în 1687, când a prezentat cele trei legi fundamentale ale mecanicii și legea atracției universale.

Mecanica se împarte în trei capitole importante:

• Cinematica - studiază mișcarea fără a lua în considerare cauzele ei
• Dinamica - analizează mișcarea prin prisma cauzelor care o produc
• Statica - se ocupă de condițiile de echilibru mecanic

💡 Repausul este doar un caz particular de mișcare! Nu există repaus absolut - un corp poate fi în repaus față de un obiect, dar în mișcare față de altul.

Pentru studierea oricărui fenomen din mecanică este esențial să stabilim un sistem de referință - un ansamblu format dintr-un corp fix (reperul), un instrument pentru măsurarea timpului și unul pentru măsurarea distanțelor.

Sisteme de Referință și Modele Fizice

Din punct de vedere matematic, sistemul de referință se reprezintă printr-un ansamblu de trei axe concurente numite axe de coordonate. Punctul de intersecție al acestora reprezintă originea sistemului, iar proiecțiile unui punct P pe aceste axe reprezintă coordonatele sale matematice.

Modelul punctului material este cel mai simplu model din mecanică. Acesta poate fi folosit pentru studierea mișcării de translație a unui obiect ale cărui dimensiuni sunt mult mai mici decât distanțele parcurse. În acest model, considerăm că întreaga masă a corpului este concentrată într-un singur punct, de obicei centrul său de greutate.

Chiar și corpuri de dimensiuni gigantice (planete, stele) pot fi tratate ca puncte materiale când studiăm mișcarea lor la scară astronomică. La fel, particule microscopice precum atomii sau electronii pot fi modelate ca puncte materiale.

Traiectoria reprezintă drumul parcurs de un mobil în spațiu și se reprezintă grafic printr-o linie continuă. Un exemplu de sistem de referință pe care îl folosim zilnic este harta geografică, unde cursurile de apă, drumurile sau căile ferate reprezintă traiectorii.

💡 Coordonatele geografice utilizează latitudinea și longitudinea pentru a determina poziția unui punct pe suprafața Pământului. Acest sistem stă la baza tehnologiei moderne GPS (Global Positioning System).

Legea de mișcare este funcția ce descrie dependența coordonatei spațiale de timp: $\vec{r}=\vec{r}(t)$. Aceasta poate fi exprimată pe componente: $x = x(t)$, $y = y(t)$, $z = z(t)$.

Vectori, Deplasare și Viteză

Vectorul de poziție arată poziția unui corp în spațiu față de un sistem de referință. Pentru o traiectorie în plan XOY, vectorii $\vec{r_1} = \vec{OA}$ și $\vec{r_2} = \vec{OB}$ reprezintă vectori de poziție pentru punctele A și B.

Vectorul deplasare indică schimbarea de poziție a unui corp și se calculează ca diferența dintre vectorii de poziție: $\vec{r_2} - \vec{r_1} = \vec{AB} = \Delta \vec{r}$. Este important să facem distincția între vectorul deplasare $\vec{AB}$ și deplasarea propriu-zisă (arcul AB de pe traiectorie).

Viteza este mărimea fizică asociată proprietății corpurilor de a fi în mișcare. Matematic, viteza se definește ca raportul dintre spațiul parcurs și intervalul de timp:

$v = \frac{\Delta r}{\Delta t}$

Unitatea de măsură în SI pentru viteză este m/s.

Avem două tipuri importante de viteză:

• Viteza medie se calculează global, pe toată durata mișcării. De exemplu, pentru un automobil care parcurge 75 km în 1h și 30min, viteza medie este 50 km/h, chiar dacă viteza instantanee a variat.
• Viteza momentană se măsoară pe un interval de timp foarte scurt $\Delta t \to 0$. Aceasta este viteza afișată de vitezometrul mașinii sau măsurată de radar.

💡 Vectorul viteză momentană este tangent la traiectorie în orice punct, în timp ce vectorul viteză medie are direcția și sensul vectorului deplasare.

Pentru mișcarea unidirecțională (în linie dreaptă), vectorul viteză momentană are aceeași direcție și sens cu vectorul viteză medie, în orice punct al traiectoriei.

Accelerația și Clasificarea Mișcărilor

Accelerația este mărimea fizică asociată proprietății corpurilor de a-și modifica viteza în intervale de timp diferite. Matematic, accelerația se definește ca:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

Unitatea de măsură în SI pentru accelerație este m/s².

Există două tipuri de accelerație:

• Accelerația medie caracterizează global variația vitezei pe toată durata mișcării: $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$
• Accelerația momentană se calculează pe un interval de timp scurt $\Delta t \to 0$

Vectorul accelerație momentană este orientat spre interiorul traiectoriei, spre centrul de curbură. Important de reținut: dacă viteza este constantă $v = const.$, accelerația este zero $a = 0$.

Clasificarea mișcărilor punctului material se face după două criterii:

1. După forma traiectoriei:

   • Mișcare rectilinie
   • Mișcare curbilinie

2. După dependența modulului vitezei de timp:

   • Mișcare uniformă $|\vec{v}| = v = const.$, a = 0
   • Mișcare uniform variată $a = const. ≠ 0$
   • Mișcare variată $a = a(t)$

💡 Când un corp participă simultan la mai multe mișcări, deplasările și vitezele se compun după regula de compunere a vectorilor.

De exemplu, pentru un om care traversează un râu cu barca, viteza rezultantă este suma vectorială a vitezei bărcii față de apă și viteza de curgere a apei: $\vec{v} = \vec{v}_a + \vec{v}_b$. Deși barcagiul vâslește perpendicular pe maluri, traiectoria reală va fi oblică din cauza curentului apei.

Mișcarea Circulară

Pentru mișcarea circulară, viteza este o mărime vectorială și se poate exprima ca un produs vectorial:

$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$

Această relație ne arată că cei trei vectori $\vec{v}$, $\vec{\omega}$ și $\vec{r}$ sunt perpendiculari, fiecare pe planul format de ceilalți doi. Vectorul viteză este perpendicular pe planul vectorilor $\vec{\omega}$ și $\vec{r}$.

Pentru mișcarea circulară uniformă avem relația:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi v$

unde T este perioada mișcării.

Accelerația centripetă apare în mișcarea circulară uniformă. Deși modulul vitezei rămâne constant $|\vec{v}| = v = const.$, direcția și sensul vectorului viteză se modifică continuu, ceea ce determină apariția accelerației.

Accelerația centripetă se calculează:

$\vec{a}_n = v \cdot \omega = \omega^2 \cdot r$

Vectorial, aceasta se scrie:

$\vec{a}_n = -\omega^2 \cdot \vec{r}$

💡 Vectorul accelerație centripetă este orientat spre centrul traiectoriei, pe direcția razei cercului, dar în sens opus acesteia. De aceea se numește "centripetă" (care tinde spre centru).

Accelerația centripetă se mai numește și accelerație normală, deoarece este perpendiculară (normală) pe vectorul viteză. Pentru ca un corp să execute o mișcare circulară uniformă, este necesar să i se imprime o accelerație constantă în modul și orientată radial spre centrul cercului.

Probleme Aplicative de Mecanică

Iată câteva tipuri de probleme pe care le poți rezolva aplicând conceptele de cinematică:

1. Probleme cu deplasare pe un râu: O barcă traversează un râu cu curent. Trebuie să calculezi timpul de traversare sau viteza curentului ținând cont că mișcarea rezultă din compunerea vectorială a vitezelor.

2. Probleme de întâlnire: Două mobile pornesc din locuri diferite și trebuie să determini când și unde se vor întâlni. Este important să reprezinți grafic coordonatele și să ții cont că, la întâlnire, coordonatele spațială și temporală trebuie să coincidă.

3. Probleme cu mișcare uniform variată: Trebuie să calculezi accelerația, viteza finală sau viteza medie pe baza datelor despre distanțe și timpi.

4. Probleme cu mișcare pe traiectorii complexe: Pot implica compunerea mai multor mișcări, cum este celebra "problemă a bondarului" care zboară neîntrerupt între două trenuri care se apropie.

💡 La rezolvarea problemelor de cinematică, desenează întotdeauna un grafic pentru a vizualiza mai ușor situația și stabilește cu atenție sistemul de referință. Verifică dacă rezultatele obținute au sens fizic!

Pentru probleme de mișcare uniform variată, folosește formule precum:

• $v = v_0 + at$
• $x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$
• $v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)$

Exercițiile propuse îți oferă ocazia să aplici toate conceptele învățate despre mișcarea mecanică în diverse situații practice.