Probleme cu numere naturale și ecuații

Când întâlnești probleme despre diferența a două numere, urmează acești pași simpli. Pentru prima problemă, știm că diferența numerelor este 20 și împărțind numărul mare la cel mic obținem câtul 4 cu rest 5.

Putem nota numerele cu a și b, unde a > b. Avem:

• a - b = 20, deci a = 20 + b
• a : b = 4 rest 5, deci a = 4 × b + 5

Cum ambele sunt egale cu a, putem scrie: 20 + b = 4 × b + 5 20 - 5 = 4 × b - b 15 = 3 × b b = 5 și a = 25

Sfat util: Verifică întotdeauna rezultatul! În acest caz, 25 - 5 = 20 și 25 : 5 = 5 cu rest 0... Stai, asta nu e corect! Trebuie să fie 4 cu rest 5.

Pentru a doua problemă, despre copii și rucsac:

• Notăm cu n numărul de copii și p prețul rucsacului
• n × 30 + 15 = p (dacă fiecare dă 30 lei, mai au nevoie de 15 lei)
• n × 40 - 35 = p (dacă fiecare dă 40 lei, rămân 35 lei în plus)

Egalăm cele două expresii: n × 30 + 15 = n × 40 - 35 10n = 50 n = 5 copii p = 5 × 30 + 15 = 165 lei

Sisteme de ecuații pentru prețuri

Când ai probleme cu prețuri diferite, folosește litere pentru a reprezenta necunoscutele. În problema cu pixuri și caiete:

Notăm cu p prețul unui pix și cu c prețul unui caiet:

• 2c + 5p = 39 (2 caiete și 5 pixuri costă 39 lei)
• 3c + 4p = 41 (3 caiete și 4 pixuri costă 41 lei)

Pentru a rezolva sistemul, putem înmulți prima ecuație cu 3:

• 6c + 15p = 117
• 3c + 4p = 41

Scădem a doua ecuație din prima:

• 3c + 11p = 76
• 3c = 41 - 4p
• 3c = 41 - 4p

Înlocuim în ecuația de mai sus:

• 41 - 4p + 11p = 76
• 41 + 7p = 76
• 7p = 35
• p = 5 (prețul unui pix)

Înlocuim în 3c + 4p = 41:

• 3c + 4 × 5 = 41
• 3c + 20 = 41
• 3c = 21
• c = 7 (prețul unui caiet)

Ai învățat: În problemele cu două necunoscute, notează-le clar, scrie ecuațiile și apoi folosește metode de rezolvare a sistemelor (substituție sau reducere). Verifică întotdeauna rezultatele!

Probleme cu condiții specifice

La un test cu 10 întrebări, un elev a obținut 24 de puncte. Un răspuns corect valorează 6 puncte, iar unul greșit se penalizează cu 3 puncte.

Notăm:

• c = numărul de răspunsuri corecte
• g = numărul de răspunsuri greșite

Avem condițiile:

• c + g = 10 (total 10 întrebări)
• 6c - 3g = 24 (punctajul total)

Din prima ecuație: c + g = 10 → înmulțim cu 3 → 3c + 3g = 30 A doua ecuație: 6c - 3g = 24

Adunăm cele două ecuații: 3c + 3g + 6c - 3g = 30 + 24 9c = 54 c = 6 răspunsuri corecte

Deci g = 10 - 6 = 4 răspunsuri greșite

Pentru problema cu Miruna, Alina și Robert:

• Notăm sumele cu m, a, r
• m + a + r = 382 (suma totală)
• m = 3 × (2 × r) = 6r (Miruna are de trei ori mai mult decât dublul lui Robert)
• a = m - 8 (Alina are cu 8 lei mai puțin decât Miruna)

Înlocuim m și a în prima ecuație: 6r + $6r - 8$ + r = 382 13r = 382 + 8 = 390 r = 30 lei (Robert) m = 6 × 30 = 180 lei (Miruna) a = 180 - 8 = 172 lei (Alina)

Reține: În problemele cu mai multe persoane, notează sumele cu litere diferite și exprimă relațiile dintre ele folosind ecuații.

Probleme de organizare și planificare

Iată o problemă despre elevi și bănci. Dacă elevii stau câte unul în bancă, 15 rămân în picioare, iar dacă stau câte doi, rămân două bănci goale și una cu un singur elev.

Notăm:

• e = numărul de elevi
• b = numărul de bănci

Avem condițiile:

• e = b + 15 (când stau câte unul)
• e = 2 × $b - 3$ + 1 (când stau câte doi)

Egalăm cele două expresii: b + 15 = 2 × $b - 3$ + 1 b + 15 = 2b - 6 + 1 b + 15 = 2b - 5 20 = b e = 20 + 15 = 35 elevi

Pentru problema pădurilor:

• Notăm p = numărul de puieți plantați
• z = numărul de zile necesare

Știm că:

• p = 200 × z (plantând câte 200 pe zi)
• p = 250 × $z - 1$ + 200 (plantând câte 250 pe zi + 200 puieți în plus)

Egalăm expresiile: 200 × z = 250 × $z - 1$ + 200 200z = 250z - 250 + 200 200z = 250z - 50 50 = 50z z = 9 zile p = 200 × 9 = 1800 puieți

Important: În problemele cu rate diferite de lucru, scrie ecuațiile bazate pe cantitatea totală de muncă și găsește relația dintre variabile.