Knowunity AI

Accesează aplicația

Materii

355

Actualizat Apr 7, 2026

15 pagini

Matematica - Esențial pentru clasele 5-8

user profile picture

sebyyy

@sebyyyws

Geometria este fascinantă și ne ajută să înțelegem lumea din... Afișează mai mult

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
Page 11
Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
1 / 15
Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Unghiuri și triunghiuri

Unghiurile formate de două drepte tăiate de o secantă sunt de mai multe tipuri. Cele interne sunt 6~\tilde{6}, 4~\tilde{4},3~\tilde{3}, 7~\tilde{7}, iar cele externe sunt 1~\tilde{1}, 5~\tilde{5}, 2~\tilde{2}, 8~\tilde{8}. Unghiurile alterne interne, alterne externe și corespondente sunt întotdeauna congruente.

Unghiurile de aceeași parte a secantei (fie interne sau externe) sunt suplementare, adică suma lor este 180°. De exemplu, dacă 3~\tilde{3} = 30°, atunci 6~\tilde{6} = 150°.

Triunghiurile pot fi de mai multe tipuri, fiecare cu formule specifice:

  • Triunghiul dreptunghic: A=bh2A = \frac{b \cdot h}{2}
  • Triunghiul isoscel: A=bh2A = \frac{b \cdot h}{2}
  • Triunghiul echilateral: A=l234A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}, P=3lP = 3l, h=l32h = \frac{l\sqrt{3}}{2}

Știai că? În orice triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Linii importante în triunghi

Medianele sunt liniile care unesc vârfurile triunghiului cu mijloacele laturilor opuse. Ele se întâlnesc într-un punct numit centrul de greutate (G). Acest punct special se află la 2/3 distanță de vârf și 1/3 distanță de latura opusă.

Mediatoarele sunt liniile perpendiculare care trec prin mijlocul laturilor. Ele se întâlnesc în centrul cercului circumscris triunghiului, notat cu O.

Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi. Ea este paralelă cu baza și are lungimea egală cu jumătate din lungimea bazei. În trapez, linia mijlocie are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor.

Important! Linia mijlocie din triunghi are proprietăți foarte utile: este paralelă cu baza și are lungimea egală cu jumătate din baza triunghiului. Vei folosi adesea aceste proprietăți în probleme!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Cazuri de congruență a triunghiurilor

Două triunghiuri sunt congruente dacă au aceeași formă și mărime. Există trei cazuri principale de congruență pentru triunghiuri oarecare:

  1. LUL Latura˘UnghiLatura˘Latură-Unghi-Latură: Când două laturi și unghiul dintre ele sunt congruente în ambele triunghiuri $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ dacă AB = DE, BC = EF și ∠B = ∠E.

  2. ULU UnghiLatura˘UnghiUnghi-Latură-Unghi: Când două unghiuri și latura dintre ele sunt congruente în ambele triunghiuri B=E,C=FșiBC=EF∠B = ∠E, ∠C = ∠F și BC = EF.

  3. LLL Latura˘Latura˘Latura˘Latură-Latură-Latură: Când toate cele trei laturi sunt congruente $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ dacă AB = DE, BC = EF și AC = DF.

Trucul meu preferat: Când rezolvi probleme cu triunghiuri, identifică mai întâi ce informații ai despre ele și apoi verifică dacă se potrivesc cu unul dintre cazurile de congruență!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Congruența triunghiurilor dreptunghice și asemănarea

Pentru triunghiurile dreptunghice, avem cazuri speciale de congruență:

  • C.C. Cateta˘Cateta˘Catetă-Catetă: Când catetele sunt congruente
  • C.U. Cateta˘UnghiCatetă-Unghi: Când o catetă și un unghi ascuțit sunt congruente
  • I.U. Ipotenuza˘UnghiIpotenuză-Unghi: Când ipotenuza și un unghi ascuțit sunt congruente
  • I.C. Ipotenuza˘Cateta˘Ipotenuză-Catetă: Când ipotenuza și o catetă sunt congruente

Teorema lui Thales este baza pentru asemănarea triunghiurilor. Dacă într-un triunghi ABC, linia HN este paralelă cu BC, atunci: AMMB=ANNC\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}.

Când rezolvi probleme cu proporții, poți folosi proprietăți derivate. De exemplu, dacă AHHB=13\frac{AH}{HB} = \frac{1}{3}, atunci AHAH+HB=14\frac{AH}{AH+HB} = \frac{1}{4}.

Sfat util: Când lucrezi cu rapoarte, încearcă să le transformi în rapoarte de segmente întregi, cum ar fi AHAB\frac{AH}{AB} în loc de AHHB\frac{AH}{HB}!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Teorema bisectoarei și asemănarea triunghiurilor

Teorema bisectoarei ne spune că bisectoarea unui unghi din triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente: BDDC=ABAC\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.

Teorema fundamentală a asemănării are două cazuri importante:

  1. Dacă trasăm o paralelă la o latură a unui triunghi, obținem un triunghi mai mic care este asemenea cu triunghiul inițial.
  2. Dacă avem două drepte paralele tăiate de două secante, triunghiurile formate sunt asemenea.

Două triunghiuri sunt asemenea (au aceeași formă, dar mărime diferită) dacă:

  • U.U. UnghiUnghiUnghi-Unghi: Când două unghiuri dintr-un triunghi sunt congruente cu două unghiuri din celălalt triunghi.

Când două triunghiuri sunt asemenea, laturile lor corespunzătoare sunt proporționale: ABDE=ACDF=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}.

Reține: Asemănarea este ca o fotocopie mărită sau micșorată - forma rămâne aceeași, doar dimensiunile se schimbă proporțional!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Unghiuri în cerc

Cercul este plin de proprietăți interesante despre unghiuri. Iată cele mai importante:

  1. Unghiul la centru are măsura egală cu măsura arcului pe care îl subîntinde: m(AOB)=m(AB)m(\angle AOB) = m(\stackrel\frown{AB}).

  2. Unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde: m(ABC)=m(AC)2m(\angle ABC) = \frac{m(\stackrel\frown{AC})}{2}.

  3. Unghiul cu vârful în interiorul cercului are măsura egală cu semisuma măsurilor arcelor subîntinse de laturile lui și de prelungirile acestora: m(AEC)=m(AC)+m(BD)2m(\angle AEC) = \frac{m(\stackrel\frown{AC}) + m(\stackrel\frown{BD})}{2}.

  4. Unghiul cu vârful în exteriorul cercului are măsura egală cu semidiferența măsurilor arcelor subîntinse: m(A)=m(BC)m(DE)2m(\angle A) = \frac{m(\stackrel\frown{BC}) - m(\stackrel\frown{DE})}{2}.

Aplicație practică: Aceste proprietăți ale unghiurilor în cerc sunt folosite în arhitectură și design pentru a crea arce perfecte și structuri circulare!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Geometria în spațiu

Unghiul diedru este unghiul format de două plane care se intersectează. Dacă α∩β = d, atunci unghiul diedru poate fi măsurat folosind drepte perpendiculare pe dreapta de intersecție.

Există două proprietăți importante pentru planele din spațiu:

  1. Dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alt plan, atunci planul determinat de cele două drepte este paralel cu planul inițial.

  2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două plane, atunci planele sunt perpendiculare între ele: dαd ⊥ α și dβd ⊥ β implică αβα ⊥ β

Imaginează-ți: Unghiul diedru este ca paginile deschise ale unei cărți - dreapta de intersecție este cotorul cărții, iar planele sunt paginile!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°
Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°
Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°
Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°
Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°
Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°
Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°
Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°


Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

CHESTIONARELE ȘI FLASHCARD-URILE SUNT ATÂT DE UTILE ȘI IUBESC Knowunity AI. E LITERALMENTE CA CHATGPT DOAR CĂ MAI DEȘTEPT!! M-A AJUTAT ȘI CU PROBLEMELE MELE CU MASCARA!! PLUS CU MATERIILE MELE ADEVĂRATE! EVIDENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

CHESTIONARELE ȘI FLASHCARD-URILE SUNT ATÂT DE UTILE ȘI IUBESC Knowunity AI. E LITERALMENTE CA CHATGPT DOAR CĂ MAI DEȘTEPT!! M-A AJUTAT ȘI CU PROBLEMELE MELE CU MASCARA!! PLUS CU MATERIILE MELE ADEVĂRATE! EVIDENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

 

Matematică

355

Actualizat Apr 7, 2026

15 pagini

Matematica - Esențial pentru clasele 5-8

user profile picture

sebyyy

@sebyyyws

Geometria este fascinantă și ne ajută să înțelegem lumea din jurul nostru. În aceste note vom învăța despre unghiuri, triunghiuri, congruență și asemănare - concepte esențiale care ne vor ajuta să rezolvăm probleme practice.

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Unghiuri și triunghiuri

Unghiurile formate de două drepte tăiate de o secantă sunt de mai multe tipuri. Cele interne sunt 6~\tilde{6}, 4~\tilde{4},3~\tilde{3}, 7~\tilde{7}, iar cele externe sunt 1~\tilde{1}, 5~\tilde{5}, 2~\tilde{2}, 8~\tilde{8}. Unghiurile alterne interne, alterne externe și corespondente sunt întotdeauna congruente.

Unghiurile de aceeași parte a secantei (fie interne sau externe) sunt suplementare, adică suma lor este 180°. De exemplu, dacă 3~\tilde{3} = 30°, atunci 6~\tilde{6} = 150°.

Triunghiurile pot fi de mai multe tipuri, fiecare cu formule specifice:

  • Triunghiul dreptunghic: A=bh2A = \frac{b \cdot h}{2}
  • Triunghiul isoscel: A=bh2A = \frac{b \cdot h}{2}
  • Triunghiul echilateral: A=l234A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}, P=3lP = 3l, h=l32h = \frac{l\sqrt{3}}{2}

Știai că? În orice triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Linii importante în triunghi

Medianele sunt liniile care unesc vârfurile triunghiului cu mijloacele laturilor opuse. Ele se întâlnesc într-un punct numit centrul de greutate (G). Acest punct special se află la 2/3 distanță de vârf și 1/3 distanță de latura opusă.

Mediatoarele sunt liniile perpendiculare care trec prin mijlocul laturilor. Ele se întâlnesc în centrul cercului circumscris triunghiului, notat cu O.

Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi. Ea este paralelă cu baza și are lungimea egală cu jumătate din lungimea bazei. În trapez, linia mijlocie are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor.

Important! Linia mijlocie din triunghi are proprietăți foarte utile: este paralelă cu baza și are lungimea egală cu jumătate din baza triunghiului. Vei folosi adesea aceste proprietăți în probleme!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Cazuri de congruență a triunghiurilor

Două triunghiuri sunt congruente dacă au aceeași formă și mărime. Există trei cazuri principale de congruență pentru triunghiuri oarecare:

  1. LUL Latura˘UnghiLatura˘Latură-Unghi-Latură: Când două laturi și unghiul dintre ele sunt congruente în ambele triunghiuri $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ dacă AB = DE, BC = EF și ∠B = ∠E.

  2. ULU UnghiLatura˘UnghiUnghi-Latură-Unghi: Când două unghiuri și latura dintre ele sunt congruente în ambele triunghiuri B=E,C=FșiBC=EF∠B = ∠E, ∠C = ∠F și BC = EF.

  3. LLL Latura˘Latura˘Latura˘Latură-Latură-Latură: Când toate cele trei laturi sunt congruente $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ dacă AB = DE, BC = EF și AC = DF.

Trucul meu preferat: Când rezolvi probleme cu triunghiuri, identifică mai întâi ce informații ai despre ele și apoi verifică dacă se potrivesc cu unul dintre cazurile de congruență!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Congruența triunghiurilor dreptunghice și asemănarea

Pentru triunghiurile dreptunghice, avem cazuri speciale de congruență:

  • C.C. Cateta˘Cateta˘Catetă-Catetă: Când catetele sunt congruente
  • C.U. Cateta˘UnghiCatetă-Unghi: Când o catetă și un unghi ascuțit sunt congruente
  • I.U. Ipotenuza˘UnghiIpotenuză-Unghi: Când ipotenuza și un unghi ascuțit sunt congruente
  • I.C. Ipotenuza˘Cateta˘Ipotenuză-Catetă: Când ipotenuza și o catetă sunt congruente

Teorema lui Thales este baza pentru asemănarea triunghiurilor. Dacă într-un triunghi ABC, linia HN este paralelă cu BC, atunci: AMMB=ANNC\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}.

Când rezolvi probleme cu proporții, poți folosi proprietăți derivate. De exemplu, dacă AHHB=13\frac{AH}{HB} = \frac{1}{3}, atunci AHAH+HB=14\frac{AH}{AH+HB} = \frac{1}{4}.

Sfat util: Când lucrezi cu rapoarte, încearcă să le transformi în rapoarte de segmente întregi, cum ar fi AHAB\frac{AH}{AB} în loc de AHHB\frac{AH}{HB}!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Teorema bisectoarei și asemănarea triunghiurilor

Teorema bisectoarei ne spune că bisectoarea unui unghi din triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente: BDDC=ABAC\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.

Teorema fundamentală a asemănării are două cazuri importante:

  1. Dacă trasăm o paralelă la o latură a unui triunghi, obținem un triunghi mai mic care este asemenea cu triunghiul inițial.
  2. Dacă avem două drepte paralele tăiate de două secante, triunghiurile formate sunt asemenea.

Două triunghiuri sunt asemenea (au aceeași formă, dar mărime diferită) dacă:

  • U.U. UnghiUnghiUnghi-Unghi: Când două unghiuri dintr-un triunghi sunt congruente cu două unghiuri din celălalt triunghi.

Când două triunghiuri sunt asemenea, laturile lor corespunzătoare sunt proporționale: ABDE=ACDF=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}.

Reține: Asemănarea este ca o fotocopie mărită sau micșorată - forma rămâne aceeași, doar dimensiunile se schimbă proporțional!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Unghiuri în cerc

Cercul este plin de proprietăți interesante despre unghiuri. Iată cele mai importante:

  1. Unghiul la centru are măsura egală cu măsura arcului pe care îl subîntinde: m(AOB)=m(AB)m(\angle AOB) = m(\stackrel\frown{AB}).

  2. Unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde: m(ABC)=m(AC)2m(\angle ABC) = \frac{m(\stackrel\frown{AC})}{2}.

  3. Unghiul cu vârful în interiorul cercului are măsura egală cu semisuma măsurilor arcelor subîntinse de laturile lui și de prelungirile acestora: m(AEC)=m(AC)+m(BD)2m(\angle AEC) = \frac{m(\stackrel\frown{AC}) + m(\stackrel\frown{BD})}{2}.

  4. Unghiul cu vârful în exteriorul cercului are măsura egală cu semidiferența măsurilor arcelor subîntinse: m(A)=m(BC)m(DE)2m(\angle A) = \frac{m(\stackrel\frown{BC}) - m(\stackrel\frown{DE})}{2}.

Aplicație practică: Aceste proprietăți ale unghiurilor în cerc sunt folosite în arhitectură și design pentru a crea arce perfecte și structuri circulare!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Geometria în spațiu

Unghiul diedru este unghiul format de două plane care se intersectează. Dacă α∩β = d, atunci unghiul diedru poate fi măsurat folosind drepte perpendiculare pe dreapta de intersecție.

Există două proprietăți importante pentru planele din spațiu:

  1. Dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alt plan, atunci planul determinat de cele două drepte este paralel cu planul inițial.

  2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două plane, atunci planele sunt perpendiculare între ele: dαd ⊥ α și dβd ⊥ β implică αβα ⊥ β

Imaginează-ți: Unghiul diedru este ca paginile deschise ale unei cărți - dreapta de intersecție este cotorul cărții, iar planele sunt paginile!

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Recapitulare
-Simulare
I Unghiuri.
I Unghiul_mul = 0°
2. Unghiul ascutit = <90°
3. Unghiul drept = 90°
4. Unghiul obtuz = 90° < *ABC < 180°

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

7

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Examen de practică complet ✓ Planuri de eseu

Examen de practică
Quiz
Flashcard-uri
Eseu

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

CHESTIONARELE ȘI FLASHCARD-URILE SUNT ATÂT DE UTILE ȘI IUBESC Knowunity AI. E LITERALMENTE CA CHATGPT DOAR CĂ MAI DEȘTEPT!! M-A AJUTAT ȘI CU PROBLEMELE MELE CU MASCARA!! PLUS CU MATERIILE MELE ADEVĂRATE! EVIDENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

CHESTIONARELE ȘI FLASHCARD-URILE SUNT ATÂT DE UTILE ȘI IUBESC Knowunity AI. E LITERALMENTE CA CHATGPT DOAR CĂ MAI DEȘTEPT!! M-A AJUTAT ȘI CU PROBLEMELE MELE CU MASCARA!! PLUS CU MATERIILE MELE ADEVĂRATE! EVIDENT 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS