Noțiuni fundamentale despre numere și medii

Partea fracționară a unui număr real se notează cu {a} și reprezintă diferența dintre numărul real și partea sa întreagă: {a} = a - [a]. O proprietate importantă este că această valoare este întotdeauna între 0 (inclusiv) și 1 (exclusiv).

Când vine vorba de medii, trebuie să știi trei tipuri importante:

• Media aritmetică: Ma = $a₁ + a₂ + ... + aₙ$/n
• Media geometrică: Mg = ⁿ√(a₁ · a₂ · ... · aₙ)
• Media armonică: Mh = n/$1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ$

Între aceste medii există o relație importantă: Ma ≥ Mg ≥ Mh. Cele trei medii sunt egale doar când toate numerele sunt egale între ele.

De reținut! Modulul unui număr real, notat |a|, este a când a ≥ 0 și -a când a < 0. Proprietățile modulului sunt esențiale în rezolvarea multor inegalități și ecuații.

Sume și radicali

Formulele pentru sumele de numere te vor ajuta să calculezi rapid rezultate care altfel ar necesita operații repetate:

• Suma primelor n numere: 1 + 2 + 3 + ... + n = n$n+1$/2
• Suma pătratelor: 1² + 2² + 3² + ... + n² = n$n+1$$2n+1$/6
• Suma cuburilor: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = $n(n+1)/2$²

Pentru radicali, reține că √ⁿa are sens când a ≥ 0 pentru n par și pentru orice a când n este impar. Proprietățile de bază ale radicalilor includ:

• √ⁿab = √ⁿa · √ⁿb
• √ⁿ$a/b$ = √ⁿa / √ⁿb
• √ⁿa^m = a · √ⁿb

Aceste reguli te vor ajuta să simplifici expresii cu radicali și să rezolvi ecuații ce conțin radicali.

Sfat practic: Când compari puteri cu aceeași bază, ține cont că pentru a ∈ (0,1), avem a^r < a^s dacă r > s, în timp ce pentru a > 1, avem a^r < a^s dacă r < s.

Progresii

Progresiile aritmetice sunt șiruri în care diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este constantă. Pentru o progresie aritmetică:

• Termenul general este aₙ = a₁ + $n-1$·r, unde r este rația progresiei
• Suma primilor n termeni: Sₙ = $a₁ + aₙ$·n/2 sau Sₙ = $2a₁ + (n-1)·r$·n/2

Trei numere x, y, z sunt în progresie aritmetică dacă y = $x+z$/2.

Progresiile geometrice au ca proprietate că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant. Pentru o progresie geometrică:

• Termenul general este bₙ = b₁·q^$n-1$, unde q este rația progresiei
• Suma primilor n termeni: Sₙ = b₁·$q^n-1$/$q-1$ pentru q ≠ 1

Trei numere x, y, z sunt în progresie geometrică dacă y² = x·z.

Aplicație practică: Progresiile aritmetice apar în situații de creștere liniară (de exemplu, economii cu dobândă fixă), iar cele geometrice în situații de creștere procentuală (de exemplu, dobândă compusă).

Funcții

Funcția de gradul I (liniară) are forma f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ și a ≠ 0. Graficul acestei funcții este o dreaptă. Câteva proprietăți importante:

• Intersecția cu axa Ox: punctul $-b/a, 0$
• Intersecția cu axa Oy: punctul (0, b)
• Funcția este crescătoare pe ℝ dacă a > 0 și descrescătoare pe ℝ dacă a < 0

Funcția de gradul II are forma f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c ∈ ℝ și a ≠ 0. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramurile în sus dacă a > 0 sau în jos dacă a < 0.

Pentru a determina semnul unei funcții de gradul I, rezolvă ecuația ax + b = 0 și analizează semnul lui a. Funcția va avea semnul lui a în dreapta rădăcinii și semnul opus în stânga.

Vizualizează: Când desenezi graficul unei funcții liniare, e suficient să găsești două puncte (de obicei intersecțiile cu axele) și să trasezi dreapta care le unește. Cu cât |a| este mai mare, cu atât dreapta este mai înclinată.

Inversarea și compunerea funcțiilor

O funcție f: A → B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Funcția inversă, notată f⁻¹: B → A, are proprietatea că f⁻¹(f(x)) = x pentru orice x ∈ A și f(f⁻¹(y)) = y pentru orice y ∈ B.

Pentru a găsi inversa unei funcții, urmează acești pași:

1. Verifică dacă funcția este bijectivă
2. Notează f(x) = y
3. Exprimă x în funcție de y
4. Înlocuiește x cu f⁻¹(y) pentru a obține formula funcției inverse
5. Schimbă variabilele (y devine x)

Compunerea funcțiilor: Dacă f: A → B și g: B → C, atunci compusa g∘f: A → C este definită prin (g∘f)(x) = g(f(x)).

Proprietăți importante ale compunerii:

1. În general, f∘g ≠ g∘f (operația nu este comutativă)
2. (f∘g)∘h = f∘(g∘h) (operația este asociativă)

Sfat util: Când lucrezi cu funcții inverse, verifică întotdeauna rezultatul calculând f(f⁻¹(y)) pentru câteva valori de y. Ar trebui să obții exact valorile y cu care ai început.

Logaritmi

Logaritmii sunt operații fundamentale care te ajută să rezolvi ecuații exponențiale. Un logaritm în baza a al unui număr x, notat log₍ₐ₎x, are sens doar când a > 0, a ≠ 1 și x > 0.

Definiția logaritmului: log₍ₐ₎x = y ⟺ a^y = x

Proprietăți importante ale logaritmilor:

• log₍ₐ₎a = 1 și log₍ₐ₎1 = 0
• log₍ₐ₎(x·y) = log₍ₐ₎x + log₍ₐ₎y (logaritmul unui produs)
• log₍ₐ₎$x/y$ = log₍ₐ₎x - log₍ₐ₎y (logaritmul unui cât)
• log₍ₐ₎$x^p$ = p·log₍ₐ₎x (logaritmul unei puteri)
• log₍ₐ₎x = log₍ᵦ₎x / log₍ᵦ₎a (formula de schimbare a bazei)

Pentru compararea logaritmilor, ține minte:

• Dacă a ∈ (0,1), atunci log₍ₐ₎x₁ < log₍ₐ₎x₂ ⟺ x₁ > x₂
• Dacă a > 1, atunci log₍ₐ₎x₁ < log₍ₐ₎x₂ ⟺ x₁ < x₂

Aplicație practică: Logaritmii sunt folosiți pentru a măsura fenomene cu scale foarte largi, cum ar fi intensitatea cutremurelor (scala Richter) sau intensitatea sunetului (decibeli).

Geometrie și combinatorică

În geometrie, trebuie să cunoști diferitele linii notabile din triunghi:

• Mediatoarea este perpendiculara pe un segment din punctul său de mijloc
• Înălțimea este perpendiculara dintr-un vârf pe latura opusă
• Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri congruente
• Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse

Formula pentru unghiul dintre două drepte: tg φ = |$m₁ - m₂$/$1 - m₁m₂$|, unde m₁ și m₂ sunt pantele dreptelor.

Trei puncte A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă m₍ₐc₎ = m₍bc₎.

În combinatorică, factorialul este o operație fundamentală:

• 0! = 1
• n! = 1·2·3·...·n pentru n ≥ 2

Permutările de n elemente (Pₙ) reprezintă numărul de modalități de a aranja n elemente distincte: Pₙ = n!

Gândește practic: Permutările îți spun în câte moduri poți aranja n persoane pe n scaune, când contează ordinea. De exemplu, P₅ = 120 moduri de a aranja 5 persoane pe 5 scaune.

Trigonometrie (I)

Trigonometria studiază relațiile dintre unghiuri și laturi în triunghiuri. Trebuie să cunoști valorile funcțiilor trigonometrice pentru triunghiurile remarcabile $30°-60°-90° și 45°-45°-90°$.

Cercul trigonometric este un cerc cu raza 1 și centrul în originea sistemului de coordonate. El ne ajută să vizualizăm funcțiile trigonometrice. Pentru un punct P(cost, sint) pe cercul trigonometric:

• Coordonata x a punctului P este cost
• Coordonata y a punctului P este sint

Unghiurile pot fi măsurate în:

• Grade: un cerc complet are 360°
• Radiani: un cerc complet are 2π radiani
• Conversia: 180° = π radiani

Relațiile între gradele sexagesimale și radiani sunt esențiale pentru calculele trigonometrice.

Vizualizează: Cercul trigonometric îți permite să vezi direct valorile pentru sin t și cos t. De exemplu, la t = π/2 (90°), te afli la punctul (0,1) pe cerc, deci sin(π/2) = 1 și cos(π/2) = 0.

Trigonometrie (II)

Valorile importante ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri speciale:

Funcțiile trigonometrice au perioade diferite:

• Sinus și cosinus: T = 2π
• Tangentă și cotangentă: T = π

Din punct de vedere al parității:

• sin$-t$ = -sin t (funcție impară)
• cos$-t$ = cos t (funcție pară)
• tg$-t$ = -tg t (funcție impară)
• ctg$-t$ = -ctg t (funcție impară)

Aplicație practică: Funcțiile trigonometrice sunt folosite pentru a descrie fenomene periodice în fizică și inginerie, cum ar fi mișcarea pendulului, undele sonore sau curentul alternativ.

Operații cu vectori

Vectorii sunt mărimi care au atât magnitudine, cât și direcție. Pentru vectorii din plan, putem face mai multe operații:

Adunarea și scăderea vectorilor: Pentru $\vec{r_1} = x_1 \vec{i} + y_1 \vec{j}$ și $\vec{r_2} = x_2 \vec{i} + y_2 \vec{j}$: $\vec{r_1} \pm \vec{r_2} = (x_1 \pm x_2)\vec{i} + (y_1 \pm y_2)\vec{j}$

Sau, în notație cu perechi ordonate: $\vec{r_1} = (x_1, y_1)$ și $\vec{r_2} = (x_2, y_2)$ implică $\vec{r_1} \pm \vec{r_2} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$

Înmulțirea cu un scalar: Pentru un scalar λ și un vector $\vec{r} = (x, y)$: $\lambda\vec{r} = \lambda(x, y) = (\lambda x, \lambda y)$

Produsul scalar între doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ este definit ca: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha$, unde α este unghiul dintre cei doi vectori.

Formula de calcul pentru vectori în coordonate carteziene: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Aplicație practică: Produsul scalar ne arată cât de mult un vector lucrează în direcția celuilalt. De exemplu, în fizică, lucrul mecanic este produsul scalar dintre forță și deplasare.