Operații cu vectori și proprietăți fundamentale

Vectorii sunt mai mult decât simple săgeți - sunt unelte matematice puternice. Adunarea vectorilor se poate face prin două metode simple: regula paralelogramului $OA + OB = OC$ sau regula triunghiului $AB + BC = AC$.

Când înmulțești un vector cu un scalar (număr), obții un vector cu aceeași direcție, dar lungime diferită. Pentru k > 0, noul vector are același sens, iar pentru k < 0, sensul se inversează. O aplicație practică este calculul medianei unui paralelogram: OA + OB = 2OM.

💡 Un truc util: Punctul M care împarte un segment AB în raportul k se calculează ușor cu coordonatele: x = $x₁ + kx₂$/$1+k$ și y = $y₁ + ky₂$/$1+k$.

În planul xOy, un vector se notează v = (a,b) = ai + bj, unde i și j sunt vectorii de bază. Produsul scalar al vectorilor este esențial pentru calculul unghiurilor: u·v = |u|·|v|·cos(unghi). Acesta are proprietăți importante precum comutativitatea $u·v = v·u$ și distributivitatea față de adunare.

Teoremele lui Menelaus și Ceva sunt instrumente geometrice puternice care folosesc vectori pentru a verifica dacă trei puncte sunt coliniare sau dacă trei drepte sunt concurente.