Ce este un triunghi

Un triunghi este o figură geometrică formată din trei segmente $AB$, $BC$ și $CA$, unde punctele A, B și C nu sunt coliniare. Notăm triunghiul cu simbolul ΔΑВС.

Fiecare triunghi are trei vârfuri (A, B și C), trei laturi ([AB], [BC] și [AC]) și trei unghiuri (∠ABC, ∠BAC și ∠BCA). Laturile se notează de obicei cu litere mici: $AB$=c, $BC$=a și $AC$=b.

Triunghiurile pot fi clasificate după lungimea laturilor în:

• Triunghi oarecare - toate laturile au lungimi diferite
• Triunghi isoscel - are două laturi egale
• Triunghi echilateral - are toate cele trei laturi egale

De asemenea, după măsura unghiurilor, triunghiurile pot fi:

• Ascuțitunghice - toate unghiurile sunt ascuțite (sub 90°)
• Dreptunghice - au un unghi drept (de 90°)
• Obtuzunghice - au un unghi obtuz (peste 90°)

Știai că? Suma măsurilor unghiurilor în orice triunghi este întotdeauna 180°!

Linii importante în triunghi - partea I

Ai auzit de mediane și bisectoare? Sunt niște linii speciale în triunghi care ne ajută să rezolvăm multe probleme!

Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Într-un triunghi avem trei mediane:

• $[AM]=m_a$ - mediana din vârful A
• $[BN]=m_b$ - mediana din vârful B
• $[CP]=m_c$ - mediana din vârful C

Un lucru super important: toate cele trei mediane se întâlnesc într-un punct numit centru de greutate (G).

Bisectoarea este segmentul cu o extremitate în vârful triunghiului care împarte unghiul în două unghiuri adiacente egale. Notăm bisectoarele cu:

• $[AM]=l_a$ - bisectoarea din vârful A
• $[BN]=l_b$ - bisectoarea din vârful B
• $[CP]=l_c$ - bisectoarea din vârful C

Interesant! Toate bisectoarele unui triunghi se întâlnesc într-un punct care este centrul cercului înscris în triunghi.

Linii importante în triunghi - partea II

Înălțimea unui triunghi este perpendiculara dusă din vârful unui triunghi pe latura opusă. În orice triunghi avem trei înălțimi:

• $[AM]= h_a$ - înălțimea din vârful A
• $[BN]= h_b$ - înălțimea din vârful B
• $[CP]= h_c$ - înălțimea din vârful C

Ca și la mediane și bisectoare, și înălțimile sunt concurente $se întâlnesc într-un punct$. Punctul lor de intersecție se numește ortocentru (H).

Mediatoarea unui triunghi este dreapta perpendiculară pe mijlocul laturii unui triunghi. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt și ele concurente.

Punctul de intersecție al mediatoarelor este centrul cercului circumscris triunghiului. Asta înseamnă că poți desenea un cerc care trece exact prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului!

Trucul meu! Când ai uitat unde se intersectează liniile importante, gândește-te așa: Mediatoarele dau centrul cercului circumscris, bisectoarele dau centrul cercului înscris, iar celelalte două sunt ortocentrul și centrul de greutate.

Linia mijlocie și triunghiuri congruente

Linia mijlocie într-un triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi. Dacă M este mijlocul laturii $AB$ și N este mijlocul laturii $AC$, atunci $MN$ este o linie mijlocie.

Linia mijlocie are două proprietăți importante pe care trebuie să le ții minte:

1. Este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului
2. Are lungimea egală cu jumătate din lungimea acestei laturi

Adică: $MN \parallel BC$ și $MN = \frac{BC}{2}$.

Triunghiuri congruente sunt triunghiuri care au exact aceeași formă și mărime. Două triunghiuri sunt congruente dacă laturile și unghiurile lor corespondente sunt egale. Notăm congruența așa: $\triangle ABC \cong \triangle MNP$.

Când spunem că două triunghiuri sunt congruente, înseamnă că:

• $AB$ = $MN$, $AC$ = $MP$, $BC$ = $NP$ (laturile)
• ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠P (unghiurile)

Aplicație practică: Cu triunghiuri congruente poți rezolva probleme în care trebuie să arăți că diferite segmente sau unghiuri sunt egale!

Cazuri de congruență ale triunghiurilor

Nu trebuie să verifici toate laturile și unghiurile pentru a ști dacă două triunghiuri sunt congruente! Există câteva cazuri speciale care te ajută:

Cazul I (L.U.L.) - Două triunghiuri sunt congruente dacă au două laturi și unghiul dintre ele egale. Dacă:

• $AB$ = $MN$
• $BC$ = $NP$
• ∠B = ∠N Atunci: ΔABC ≅ ΔMNP

Cazul II (U.L.U.) - Două triunghiuri sunt congruente dacă au o latură și unghiurile alăturate ei egale. Dacă:

• $BC$ = $NP$
• ∠B = ∠N
• ∠C = ∠P Atunci: ΔABC ≅ ΔMNP

Cazul III (L.L.L.) - Două triunghiuri care au toate laturile egale sunt congruente. Dacă:

• $AB$ = $MN$
• $BC$ = $NP$
• $AC$ = $MP$ Atunci: ΔABC ≅ ΔMNP

Sfat util: Memorează aceste cazuri ca L.U.L., U.L.U. și L.L.L. - te vor ajuta mult la rezolvarea problemelor!

Congruența triunghiurilor dreptunghice

Pentru triunghiurile dreptunghice există cazuri speciale de congruență care sunt mai simple:

Cazul 1 (C.C.) - Două triunghiuri dreptunghice care au catetele egale sunt congruente. Dacă:

• $AC$ = $MP$ (catete)
• $AB$ = $MN$ (catete) Atunci: ΔABC ≅ ΔMNP

Cazul 2 (C.U.) - Două triunghiuri dreptunghice care au o catetă și unghiul ascuțit alăturat acesteia egale sunt congruente. Dacă:

• $AC$ = $MP$ (catetă)
• ∠C = ∠P (unghi ascuțit) Atunci: ΔABC ≅ ΔMNP

Cazul 3 (U.I.) - Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele și unul din unghiurile ascuțite egale sunt congruente. Dacă:

• $BC$ = $PN$ (ipotenuze)
• ∠C = ∠P (unghi ascuțit) Atunci: ΔABC ≅ ΔMNP

Cazul 4 (I.C.) - Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele și câte o catetă egale sunt congruente. Dacă:

• $BC$ = $NP$ (ipotenuze)
• $AB$ = $MN$ (catete) Atunci: ΔABC ≅ ΔMNP

Important! În toate aceste cazuri, ambele triunghiuri trebuie să fie dreptunghice, adică să aibă câte un unghi drept.

Teorema sumei unghiurilor și consecințele ei

TEOREMĂ! Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este de 180°. Adică: m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180°

Această teoremă are câteva consecințe importante:

1. Într-un triunghi echilateral, măsura fiecărui unghi este de 60° (180° ÷ 3 = 60°).

2. Într-un triunghi dreptunghic $unde m(∠A) = 90°$, celelalte două unghiuri (∠B și ∠C) sunt complementare, adică suma lor este 90°. Aceste unghiuri sunt întotdeauna ascuțite.

3. Într-un triunghi dreptunghic isoscel $cu m(∠A) = 90°$, celelalte două unghiuri au fiecare câte 45°.

Aceste proprietăți sunt foarte utile pentru a calcula rapid unghiuri necunoscute într-un triunghi când cunoști celelalte unghiuri.

Exemplu: Dacă într-un triunghi avem m(∠A) = 30° și m(∠B) = 40°, atunci m(∠C) = 180° - 30° - 40° = 110°.

Unghiuri exterioare și bisectoare exterioare

Unghiul exterior al unui triunghi este unghiul adiacent și suplementar cu un unghi interior. De exemplu, în figura din manual, ∠ACD este unghi exterior triunghiului ABC.

Proprietăți ale unghiului exterior:

1. m(∠ACD) + m(∠ACB) = 180° (sunt suplementare)
2. m(∠ACD) = m(∠CAB) + m(∠ABC) (unghiul exterior este egal cu suma celorlalte două unghiuri interioare)

Bisectoarea exterioară a unui triunghi este semidreapta care împarte unghiul exterior în două unghiuri egale. De exemplu, [CF este bisectoare exterioară a unghiului ∠ACD.

O proprietate foarte interesantă: Bisectoarea interioară și cea exterioară a aceluiași unghi sunt perpendiculare. În exemplu, $CE$ ⊥ $CF$.

Trucul meu! Ține minte că unghiul exterior este egal cu suma celorlalte două unghiuri interioare - această proprietate te va ajuta mult la rezolvarea multor probleme!

Proprietățile triunghiului isoscel

Triunghiul isoscel este triunghiul care are două laturi egale. În triunghiul ABC, dacă $AB$ = $AC$, atunci triunghiul este isoscel.

Proprietatea 1: Într-un triunghi isoscel, unghiurile opuse laturilor egale sunt egale. Dacă $AB$ = $AC$, atunci ∠B = ∠C.

Proprietatea 2: Într-un triunghi isoscel, bisectoarea unghiului de la vârf este și:

• înălțime (perpendiculară pe bază)
• mediană (împarte baza în două segmente egale)
• mediatoare (este perpendiculară pe bază la mijlocul ei)

Cum demonstrezi că un triunghi este isoscel? E suficient să arăți una dintre următoarele:

• are două laturi egale
• are două unghiuri egale
• înălțimea, mediana sau mediatoarea bazei este și bisectoare a unghiului de la vârf
• două linii importante (din cele patru: bisectoare, mediană, înălțime, mediatoare) coincid

Sfat practic: Când vezi un triunghi isoscel într-o problemă, caută imediat unghiurile egale și liniile importante coincidente - te vor ajuta să rezolvi problema!

Proprietățile triunghiului echilateral

Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate cele trei laturi egale. Într-un triunghi echilateral ABC, avem $AB$ = $AC$ = $BC$.

Iată câteva proprietăți speciale ale acestui triunghi:

• Toate unghiurile sunt egale și măsoară 60° fiecare $∠A = ∠B = ∠C = 60°$
• Triunghiul echilateral este "de trei ori isoscel" - asta înseamnă că toate proprietățile triunghiului isoscel se aplică indiferent de care vârf alegi
• Toate liniile importante (înălțime, mediană, bisectoare, mediatoare) duse din același vârf sunt identice
• În total, triunghiul echilateral are doar trei linii importante (câte una din fiecare vârf)

Pentru a demonstra că un triunghi este echilateral, este suficient să arăți:

• are două unghiuri de 60°
• are două laturi egale și un unghi de 60°

Interesant! Triunghiul echilateral este figura cu cea mai mare simetrie dintre toate triunghiurile. Această proprietate îl face foarte util în multe aplicații practice, de la arhitectură până la design.