Progresii aritmetice și geometrice

Progresiile sunt șiruri de numere care urmează reguli specifice. Le întâlnești peste tot în matematică!

O progresie aritmetică este un șir în care diferența dintre termeni consecutivi este constantă. Această diferență se numește rație și se notează cu r. De exemplu, în șirul 2, 5, 8, 11, ..., rația este r = 3.

O progresie geometrică este un șir în care raportul dintre termeni consecutivi este constant. Acest raport se numește rație și se notează cu q. În șirul 2, 6, 18, 54, ..., rația este q = 3.

Cele mai importante formule pentru progresii sunt:

• Termenul general:
  • Progresie aritmetică: a₍ₙ₎ = a₁ + $n-1$·r
  • Progresie geometrică: b₍ₙ₎ = b₁·q^$n-1$
• Suma primilor n termeni:
  • Progresie aritmetică: S₍ₙ₎ = $a₁ + a₍ₙ₎$·n/2
  • Progresie geometrică: S₍ₙ₎ = b₁$q^n - 1$/$q - 1$ pentru q ≠ 1; S₍ₙ₎ = n·b₁ pentru q = 1

Sfat util: Pentru a verifica rapid dacă trei numere A, B, C sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, verificați dacă 2B = A + C. Pentru progresii geometrice, verificați dacă B² = A·C.

Logaritmi

Logaritmii te ajută să transformi produse în sume și ridicări la putere în produse. Sunt extrem de utili!

Definiția logaritmului este simplă: dacă a^x = N, atunci x = log₍ₐ₎N. Pentru ca logaritmul să existe, trebuie să avem a > 0, a ≠ 1 și N > 0.

Logaritmul natural se notează cu ln x = log₍ₑ₎x (unde e ≈ 2,71), iar logaritmul zecimal cu lg x = log₍₁₀₎x.

Proprietățile esențiale ale logaritmilor sunt:

• log₍ₐ₎1 = 0
• log₍ₐ₎a = 1
• log₍ₐ₎x^n = n·log₍ₐ₎x
• a^(log₍ₐ₎x) = x
• log₍ₐ₎(x·y) = log₍ₐ₎x + log₍ₐ₎y
• log₍ₐ₎$x/y$ = log₍ₐ₎x - log₍ₐ₎y

Pentru schimbarea bazei logaritmului poți folosi formula: log₍ₐ₎b = log₍ₖ₎b / log₍ₖ₎a.

Atenție! Funcția logaritmică f(x) = log₍ₐ₎x este strict crescătoare dacă a > 1 și strict descrescătoare dacă 0 < a < 1. Acest lucru te ajută să rezolvi inecuații cu logaritmi.

Logaritmi - proprietăți și monotonie

Logaritmii sunt esențiali pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Ei transformă probleme complexe în unele mult mai simple!

Definiția fundamentală a logaritmului este: dacă a^x = N, atunci x = log₍ₐ₎N, unde a > 0, a ≠ 1, N > 0. Aceste condiții sunt esențiale pentru existența logaritmului.

În practică, vei întâlni frecvent logaritmul zecimal $lg x = log₍₁₀₎x$ și logaritmul natural $ln x = log₍ₑ₎x, unde e ≈ 2,71$.

Cele mai utile proprietăți pentru calcule sunt:

• log₍ₐ₎(x·y) = log₍ₐ₎x + log₍ₐ₎y
• log₍ₐ₎$x/y$ = log₍ₐ₎x - log₍ₐ₎y
• log₍ₐ₎x^n = n·log₍ₐ₎x

Pentru schimbarea bazei logaritmului, reține formula: log₍ₐ₎b = log₍ₖ₎b / log₍ₖ₎a.

Când lucrezi cu inecuații cu logaritmi, este esențial să cunoști monotonia funcției logaritmice:

• Pentru a ∈ (0,1), funcția este strict descrescătoare
• Pentru a > 1, funcția este strict crescătoare

Sfat practic: Când rezolvi o inecuație cu logaritmi, verifică întotdeauna monotonia funcției logaritmice în funcție de baza a. Acest lucru determină dacă păstrezi sau schimbi sensul inecuației când aplici logaritmul.

Puteri și radicali

Puterile și radicalii sunt operații fundamentale care îți permit să manipulezi numere în moduri esențiale pentru matematică avansată.

O putere este notată ca a^n, unde a este baza și n este exponentul. Definiția de bază: a^n = a · a · a · ... · a (de n ori).

Proprietățile principale ale puterilor care te ajută să simplifici calcule sunt:

• a^0 = 1
• a^n · a^m = a^$n+m$
• a^n / a^m = a^$n-m$
• $a^n$^m = a^(n·m)
• a^$-n$ = 1/a^n

Lucrând cu puteri negative, ține minte că a^(-1) = 1/a și $a/b$^$-n$ = $b/a$^n.

Radicalii sunt operația inversă a ridicării la putere. Un radical de ordinul n din a este un număr care, ridicat la puterea n, dă a.

Pont pentru examen: Când rezolvi exerciții cu puteri, verifică întotdeauna dacă poți aplica una dintre proprietățile de mai sus pentru a simplifica expresia. Acest lucru îți economisește mult timp și reduce riscul de erori în calcule.

Numere complexe - forma algebrică

Numerele complexe extind sistemul numerelor reale și permit rezolvarea ecuațiilor care nu au soluții în mulțimea numerelor reale. Vei vedea cât sunt de utile!

Un număr complex în forma algebrică se scrie ca z = a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar i este unitatea imaginară cu proprietatea i² = -1.

Pentru un număr complex z = a + bi:

• a = Re(z) este partea reală
• b = Im(z) este partea imaginară

Două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale sunt egale și părțile lor imaginare sunt egale.

Operații importante cu numere complexe:

• Conjugatul numărului complex z = a + bi este z̄ = a - bi
• Modulul numărului complex z = a + bi se calculează ca |z| = √$a² + b²$

Pentru împărțirea numerelor complexe, înmulțești fracția cu conjugatul numitorului: z₁/z₂ = $a+bi$/$c+di$ = $(a+bi)(c-di)$/$(c+di)(c-di)$ = $(ac+bd)+(bc-ad)i$/$c²+d²$

Observație utilă: Modulul unui număr complex poate fi calculat și cu formula |z|² = z·z̄. Această proprietate este deseori folosită pentru a simplifica calculele.

Numere complexe - proprietăți și operații

Numerele complexe sunt un instrument puternic care îți permite să rezolvi probleme imposibil de abordat doar cu numere reale.

Un număr complex în forma algebrică se scrie ca z = a + bi, unde a este partea reală (Re(z)), iar b este partea imaginară (Im(z)). Unitatea imaginară i are proprietatea i² = -1.

Un număr complex este real dacă și numai dacă partea sa imaginară este zero $b = 0$, iar z = 0 dacă și numai dacă atât a = 0, cât și b = 0.

Operațiile fundamentale cu numere complexe includ:

• Conjugatul unui număr complex: z̄ = a - bi
• Modulul unui număr complex: |z| = √$a² + b²$

Proprietățile modulului care te ajută în calcule sunt:

• |z| = |z̄|
• |z^n| = |z|^n
• |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
• |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, pentru z₂ ≠ 0

Când lucrezi cu puterile lui i, reține pattern-ul care se repetă la fiecare 4 pași:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1

Aplicație importantă: Pentru rezolvarea ecuației de gradul II cu coeficienți reali și discriminant negativ (Δ < 0), soluțiile sunt numere complexe conjugate: x₁,₂ = $-b ± i√(-Δ)$/2a.

Formule de calcul prescurtat și concepte numerice

Formulele de calcul prescurtat sunt instrumente puternice care îți permit să efectuezi rapid operații algebrice complexe.

Formule de calcul prescurtat care te ajută să rezolvi exerciții mai repede:

• a² - b² = $a - b$$a + b$ (diferența de pătrate)
• $a + b$² = a² + 2ab + b² (pătratul unei sume)
• $a - b$² = a² - 2ab + b² (pătratul unei diferențe)
• a³ - b³ = $a - b$$a² + ab + b²$ (diferența de cuburi)
• a³ + b³ = $a + b$$a² - ab + b²$ (suma de cuburi)

Partea întreagă a unui număr real x, notată cu $x$, este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x. De exemplu, $3,7$ = 3 și $-2,3$ = -3.

Partea fracționară a numărului x, notată cu {x}, se calculează ca {x} = x - $x$. Întotdeauna {x} ∈ [0, 1) și {x + n} = {x} pentru orice n întreg.

Modulul unui număr real |x| reprezintă distanța de la x la 0 pe axa numerelor. Formula este: |x| = x, pentru x ≥ 0 și |x| = -x, pentru x < 0.

Pont pentru probleme: Inecuația |x| ≤ A (unde A > 0) este echivalentă cu -A ≤ x ≤ A. Acest tip de transformare apare frecvent la exerciții!

Funcții - definiții și proprietăți avansate

Funcțiile sunt instrumentele matematice fundamentale care descriu relații între mărimi. Le întâlnești pretutindeni în aplicațiile matematice!

O funcție f: A→B asociază fiecărui element x din mulțimea A exact un element f(x) din mulțimea B. Graficul funcției este mulțimea perechilor (x, f(x)) din planul xOy.

Pentru a analiza comportamentul unei funcții, este util să identifici:

• Intersecțiile cu axele de coordonate:
  • Cu axa Ox: când f(x) = 0
  • Cu axa Oy: când x = 0, deci valoarea f(0)

Pentru a găsi punctele comune graficelor a două funcții f și g, rezolvi ecuația f(x) = g(x) pentru a determina abscisele, apoi calculezi ordonatele corespunzătoare.

Compunerea funcțiilor (f∘g)(x) = f(g(x)) reprezintă aplicarea succesivă a funcțiilor, întâi g apoi f.

Sfat practic: Când lucrezi cu funcții, desenarea graficului (chiar și aproximativ) te ajută enorm să înțelegi comportamentul funcției și să verifici rezultatele algebrice. Nu sări peste acest pas la probleme complexe!

Funcții - definiții și proprietăți

Funcțiile sunt relații matematice care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă mulțime (codomeniul).

O funcție f: A→B asociază fiecărui element x din mulțimea A un singur element f(x) din mulțimea B. Grafic, aceasta poate fi reprezentată în sistemul de coordonate xOy.

Pentru a găsi punctele de intersecție ale graficului unei funcții cu axele de coordonate:

• Cu axa Ox: rezolvă ecuația f(x) = 0 pentru a găsi abscisa
• Cu axa Oy: calculează valoarea f(0) pentru a găsi ordonata

Pentru a determina coordonatele punctelor de intersecție dintre graficele a două funcții f și g:

1. Rezolvă ecuația f(x) = g(x) pentru a găsi abscisele
2. Calculează f(x) sau g(x) în punctele găsite pentru a afla ordonatele

Compunerea funcțiilor f și g este o nouă funcție notată (f∘g)(x) = f(g(x)), care aplică mai întâi funcția g, apoi funcția f rezultatului.

Aplicație practică: Intersecțiile graficului unei funcții cu axele reprezintă soluțiile ecuațiilor f(x) = 0 (pentru axa Ox) și x = 0 (pentru axa Oy). Aceste puncte sunt adesea utile pentru a schița graficul funcției.

Funcții - clasificare și proprietăți de monotonie

Funcțiile pot fi clasificate după diverse criterii, ceea ce ne ajută să înțelegem comportamentul lor și să simplificăm calculele.

Funcțiile pare și impare au proprietăți speciale:

• O funcție este pară dacă f$-x$ = f(x) pentru orice x din domeniu
• O funcție este impară dacă f$-x$ = -f(x) pentru orice x din domeniu

Funcțiile periodice se repetă la intervale regulate: f$x + T$ = f(x), unde T este perioada. Cea mai mică valoare pozitivă a lui T se numește perioadă principală.

Imaginea unei funcții f: A→B, notată Im f, reprezintă mulțimea tuturor valorilor pe care funcția le poate lua: Im f = {f(x) | x ∈ A}.

O funcție poate fi:

• Injectivă: dacă f(x₁) = f(x₂) implică x₁ = x₂
• Surjectivă: dacă pentru orice y din codomeniu există cel puțin un x din domeniu astfel încât f(x) = y
• Bijectivă: dacă este atât injectivă cât și surjectivă

Monotonia funcțiilor descrie comportamentul valorilor funcției când argumentul crește:

• Crescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
• Strict crescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Descrescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)
• Strict descrescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

Observație importantă: O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Graficul funcției inverse f⁻¹ se obține prin simetria graficului funcției f față de dreapta y = x.