Exerciții de bază și algebră

Primul subiect cuprinde șase exerciții care testează cunoștințele fundamentale. La exercițiul 1 trebuie să verifici că rezultatul împărțirii sumei $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ la $\frac{5}{6}$ este 1. Exercițiul 2 te provoacă să găsești coordonatele punctului în care graficul funcției $f(x)=2x+3$ intersectează axa $Oy$ (adică punctul unde $x=0$).

Pentru exercițiul 3, trebuie să rezolvi o ecuație logaritmică: $lg(x^2+5)=lg9$, care se simplifică la $x^2+5=9$ datorită proprietății de injectivitate a logaritmului. La exercițiul 4 intri în lumea combinatoricii, calculând câte numere impare de două cifre poți forma folosind cifrele 1, 2, 3, 4 și 5.

💡 Pentru problemele geometrice, desenează mereu figura! La exercițiul 5, reprezentând punctele în plan și calculând distanțele, poți demonstra că triunghiul MNP este isoscel.

La subiectul 2 întâlnești probleme de algebră liniară și o lege de compoziție. Pentru matricile date trebuie să calculezi determinantul, să efectuezi operații și să găsești o matrice necunoscută X. În a doua parte, legea de compoziție $x*y=x+y-3$ îți cere să determini numere care satisfac anumite condiții.

Analiză matematică și aplicații

Subiectul 3 te aduce în domeniul analizei matematice, cu două probleme complexe despre funcții și aplicații. Prima problemă analizează funcția $f(x) = x^3 + 2x^2 + x$, cerându-ți să demonstrezi expresia derivatei, să calculezi o limită și să demonstrezi o inegalitate pe un interval dat.

La primul punct trebuie să calculezi derivata funcției și să arăți că aceasta se poate factoriza sub forma $(x+1)(3x+1)$. Punctul b) implică calculul unei limite folosind regula lui L'Hospital, iar punctul c) te provoacă să demonstrezi o inegalitate folosind studiul monotoniei și punctele critice ale funcției.

A doua problemă se concentrează pe funcția $f(x) = x^2 + x + 1$ și implică calcule de integrală definită, verificarea unei primitive și determinarea ariei unei suprafețe plane. La primul punct trebuie să calculezi o integrală simplă, iar la al doilea să verifici că funcția F dată este într-adevăr o primitivă a lui f.

💡 Pentru calculul ariei de la punctul c), folosește formula: aria = $\int_a^b f(x)dx$, unde a=0 și b=2, apoi identifică valoarea lui n din ecuația rezultată.

Aceste probleme îți testează capacitatea de a aplica concepte teoretice în situații concrete, inclusiv derivarea, integrarea și geometria analitică.