Structura examenului de bacalaureat la matematică M_tehnologic

Simularea pentru Bacalaureat 2025 la matematică M_tehnologic este structurată în trei subiecte principale. Fiecare subiect valorează 30 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu.

Primul subiect conține șase exerciții diverse, de la progresii aritmetice și funcții, până la ecuații logaritmice și geometrie. La acest subiect trebuie să fii atent la formulele de bază și la aplicarea lor corectă.

Al doilea subiect se concentrează pe algebră matriceală și legi de compoziție, testând abilitatea ta de a lucra cu structuri matematice mai complexe.

Reține! Timpul de lucru este de 3 ore pentru toate subiectele, deci gestionează-ți bine timpul pentru a rezolva cât mai multe exerciții.

Subiectul al treilea abordează analiza matematică, cu accent pe derivate, limite și integrale, care necesită atenție deosebită la calculele intermediare.

Progresii aritmetice și ecuații cu funcții

Primele exerciții ale simulării sunt destul de accesibile dacă stăpânești noțiunile de bază. La progresii aritmetice, trebuie să știi că diferența dintre termeni consecutivi este constantă.

La exercițiul cu progresie aritmetică, rațiunea se calculează ca diferența dintre doi termeni consecutivi: $r = a_2 - a_1 = 10-3=7$. Apoi, al treilea termen se obține adăugând rațiunea la termenul anterior: $a_3 = a_2 + r = 10+7 = 17$.

Pentru exercițiul cu funcții $f(x)=3x-4$ și $g(x)=x+2$, trebuie să rezolvi ecuația $f(a)=a+g(2)$. Mai întâi calculezi $g(2) = 2+2 = 4$, apoi înlocuiești în ecuație și obții $3a-4 = a+4$, de unde rezultă $a=4$.

Sfat util: La ecuații cu logaritmi, nu uita să verifici și condițiile de existență - argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv!

La ecuația logaritmică $log_3(10x-1)=2$, ai direct $10x-1=3^2=9$, de unde obții $x=1$ verifică și că $10x-1>0$.

Probleme de procente și calcule practice

La problemele practice, precum cea cu ieftinirea produsului, este important să traduci enunțul în limbaj matematic. Dacă produsul costă 110 lei după o ieftinire de 45%, înseamnă că prețul actual reprezintă 55% din prețul inițial.

Notând cu x prețul inițial, ecuația devine: x - 45% din x = 110 x - 0,45x = 110 0,55x = 110 x = 200 lei

Abordarea sistematică a acestor probleme îți va aduce puncte sigure la examen. Verifică întotdeauna rezultatul obținut - prețul redus trebuie să fie 200 - 45% din 200 = 200 - 90 = 110 lei.

Atenție! Problemele cu procente apar frecvent la bacalaureat și sunt adesea considerate "puncte sigure" dacă le stăpânești bine.

Calculele cu procente sunt utile și în viața de zi cu zi, deci merită să exersezi acest tip de probleme chiar dacă ți se par simple.

Geometrie analitică în plan

În problemele de geometrie analitică, formula pentru distanța dintre două puncte este esențială: $d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Pentru exercițiul cu punctele A(0,4), B(0,-1) și C(8,3), trebuie să demonstrezi că AB = AM, unde M este mijlocul lui BC. Calculezi:

1. Distanța AB: $AB = \sqrt{(0-0)^2 + (-1-4)^2} = \sqrt{25} = 5$

2. Coordonatele lui M: $x_M = \frac{0+8}{2} = 4$ și $y_M = \frac{-1+3}{2} = 1$, deci M(4,1)

3. Distanța AM: $AM = \sqrt{(4-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

Fiind egale, ai demonstrat că AB = AM = 5.

Reține formula! Pentru a găsi coordonatele mijlocului unui segment, faci media aritmetică a coordonatelor capetelor: $x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$ și $y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$

Acest tip de probleme testează înțelegerea geometriei în contextul sistemului de coordonate carteziene.

Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Trigonometria în triunghiul dreptunghic este o parte fundamentală a matematicii. Pentru exercițiul cu triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 6 și AC = 8, trebuie să demonstrezi că sin C = 3/5.

Mai întâi, calculează lungimea ipotenuzei BC folosind teorema lui Pitagora: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 BC = 10

Apoi folosești definiția sinusului ca raport între cateta opusă și ipotenuză: sin C = AB/BC = 6/10 = 3/5

Important! În triunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi este egal cu raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză.

Trigonometria este utilă în multe aplicații practice și va apărea frecvent în probleme de geometrie la bacalaureat, deci asigură-te că stăpânești relațiile de bază.

Algebră matriceală

Problemele cu matrici necesită atenție la operațiile de înmulțire și calcul al determinanților. La exercițiul cu matricele $I_2$ și $A(a)$, trebuie să parcurgi câțiva pași clari.

Pentru a arăta că det(A(2)) = 2, calculezi: $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 6 \ 2 & 7 \end{pmatrix}$ $\det(A(2)) = 2 \cdot 7 - 6 \cdot 2 = 14 - 12 = 2$

La partea b), trebuie să găsești valoarea lui x pentru care $A(1) \cdot A(1) + 2I_2 = xA(1)$. Calculezi: $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ 1 & 5 \end{pmatrix}$ $A(1) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 4 & 18 \ 6 & 28 \end{pmatrix}$ $2I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Atenție la înmulțirea matricelor! La înmulțirea a două matrici, elementul de pe poziția (i,j) din produs se obține ca suma produselor elementelor de pe linia i din prima matrice cu elementele de pe coloana j din a doua matrice.

Adunând, obții că $A(1) \cdot A(1) + 2I_2 = \begin{pmatrix} 6 & 18 \ 6 & 30 \end{pmatrix}$. Comparând cu $xA(1) = \begin{pmatrix} x & 3x \ x & 5x \end{pmatrix}$, rezultă x = 6.

Operații cu matrici și sisteme de ecuații

Continuând cu problema matricelor, la punctul c) trebuie să determini matricea X pentru care $A(2) \cdot X - A(2) = A(0)$. Această problemă necesită operații matriceale și rezolvarea unui sistem de ecuații.

Primul pas este să calculezi matricea $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Apoi, notezi matricea necunoscută ca $X = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ și calculezi produsul $A(2) \cdot X = \begin{pmatrix} 2a+6c & 2b+6d \ 2a+7c & 2b+7d \end{pmatrix}$.

Rezolvarea ecuației matriceale conduce la un sistem de ecuații: $4a+12c+4b+12d = 0$ $4a+14c+4b+14d = 0$ $12a+36c+14b+42d = 0$ $12a+42c+14b+49d = 3$

Strategie eficientă: La rezolvarea sistemelor complexe, încearcă să simplifici ecuațiile prin scăderea lor pentru a elimina variabile.

Din primele două ecuații, deduci că c+d=0, iar din ultimele două obții 6c+7d=3. Rezolvând acest subsistem, găsești c=-3 și d=3, apoi a+b=0, ceea ce înseamnă că matricea X va avea forma $X = \begin{pmatrix} a & -a \ -3 & 3 \end{pmatrix}$.

Ecuații matriceale complexe

Pentru a finaliza rezolvarea problemei matriceale, trebuie să completezi determinarea completă a matricei X. După ce ai găsit c=-3 și d=3 din sistemul anterior, ai obținut relația a+b=0.

Dacă înlocuiești aceste valori în ecuațiile inițiale, vei obține: $4a+12(-3)+4b+12(3) = 0$ $4a-36+4b+36 = 0$ $4a+4b = 0$ $a+b = 0$

De asemenea, din a treia ecuație: $12a+36(-3)+14b+42(3) = 0$ $12a-108+14b+126 = 0$ $12a+14b+18 = 0$

Observație: În probleme cu matrici, verificarea soluției este la fel de importantă ca și găsirea ei! Substituie rezultatele în ecuația originală pentru a te asigura că ai rezolvat corect.

Acest sistem ne dă o relație între a și b, iar combinat cu a+b=0, putem determina valorile exacte pentru ambele necunoscute, completând astfel matricea X.

Rezolvarea sistemelor de ecuații

În continuarea rezolvării ecuației matriceale, trebuie să finalizăm determinarea valorilor necunoscutelor a și b. Din ecuațiile obținute anterior, avem:

$a+b = 0$ $12a+14b = -18$

Înmulțind prima ecuație cu -12 și adăugând la a doua, obținem: $-12a-12b = 0$ $12a+14b = -18$

Adunând aceste ecuații: $2b = -18$ $b = -9$

Și din relația a+b=0, rezultă: $a+(-9) = 0$ $a = 9$

Verificare rapidă: Înlocuiește valorile a=9, b=-9, c=-3, d=3 în ecuația originală pentru a confirma că ai găsit soluția corectă.

Astfel, matricea X căutată este $X = \begin{pmatrix} 9 & -9 \ -3 & 3 \end{pmatrix}$. Acesta este un exemplu tipic de problemă complexă cu matrici care apare la bacalaureat.

Finalizarea problemei matriceale

Pentru a concluziona problema cu matricea X, verificăm că valorile găsite a=9, b=-9, c=-3 și d=3 satisfac sistemul nostru de ecuații.

Substituind în ecuația $4a+12c+4b+12d = 0$: $4(9)+12(-3)+4(-9)+12(3) = 36-36-36+36 = 0$ ✓

Și în ecuația $12a+36c+14b+42d = 0$: $12(9)+36(-3)+14(-9)+42(3) = 108-108-126+126 = 0$ ✓

Astfel, matricea X pe care am determinat-o, $X = \begin{pmatrix} 9 & -9 \ -3 & 3 \end{pmatrix}$, satisface condiția $A(2) \cdot X - A(2) = A(0)$.

Concluzie importantă: În problemele cu matrici, este esențial să verifici rezultatul final în ecuația inițială pentru a te asigura că soluția este corectă.

Acest tip de probleme testează abilitatea ta de a manipula expresii matriceale și de a rezolva sisteme de ecuații - competențe foarte valoroase pentru examenul de bacalaureat.