Calcule și proporții

În primele probleme vom lucra cu operații de bază, proporții și numere pătrate perfecte.

La calculul 24:6-4:2, trebuie să respectăm ordinea operațiilor: mai întâi împărțirile, apoi scăderile. Rezultă 4-2=2, răspunsul corect fiind b.

Pentru a afla valoarea lui x din proporția $\frac{x+1}{6} = \frac{2}{3}$, vom folosi proprietatea fundamentală a proporțiilor. Înmulțim în cruce și obținem: $(x+1) \cdot 3 = 6 \cdot 2$, deci $3x + 3 = 12$, de unde $3x = 9$, iar $x = 3$.

⚡ Sfat util: La problemele cu intervale și numere pătrate perfecte, fă o listă cu valorile posibile pentru a nu rata nicio soluție!

Pentru a afla numărul pătratelor perfecte din mulțimea {0,1,2,...30}, trebuie să identificăm toate numerele care pot fi scrise sub forma $n^2$. Acestea sunt: 0, 1, 4, 9, 16, 25, adică 6 numere în total, răspunsul corect fiind b.

Probleme cu numere și geometrie

La problema cu cele trei numere naturale cu suma 54, trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații. Dacă notăm numerele cu a, b, c (în ordine crescătoare), avem:

• a + b + c = 54
• b = $a + c$/2
• a = $b + c$ - 28

După rezolvare, obținem numerele 13, 18, 23, deci răspunsul corect este c) Cătălin.

Pentru a determina numărul divizorilor lui 24, scriem 24 = 2³ × 3¹, deci numărul divizorilor este (3+1) × (1+1) = 4 × 2 = 8. Afirmația este adevărată.

💡 Reține! Pentru simetrii în geometrie, distanțele se păstrează, dar în direcție opusă față de punctul sau axa de simetrie.

În problema cu punctele coliniare, trebuie să folosim proprietățile mijlocului unui segment și simetria față de un punct. Simetricul lui D față de C este B, deci răspunsul este b).

Probleme de geometrie avansată

În problema cu pătratul ABCD și triunghiul echilateral AMN, trebuie să folosim proprietățile unghiurilor într-un triunghi echilateral și într-un pătrat.

Pentru a afla aria suprafeței gazonului din grădină, trebuie să calculăm aria totală a dreptunghiului $30 m × 15 m = 450 m²$ și să scădem aria zonei hașurate unde sunt plantate flori. Calculând corect, obținem 225 m² pentru suprafața gazonului.

🔍 Observație importantă: La problemele cu suprafețe, verifică întotdeauna dacă ai folosit unitățile de măsură corespunzătoare (m², cm², dm²).

Pentru problema cu ambalarea consolei PS5 Pro, trebuie să calculăm dimensiunile cutiei (adăugând 5 cm la fiecare dimensiune a consolei): 50 cm, 40 cm și 30 cm. Suprafața totală a cutiei se calculează cu formula 2$ab + bc + ac$, unde a, b și c sunt dimensiunile. Convertind în dm², obținem 94 dm² de carton necesar.

Probleme cu bani și proporții

Maria cumpără cadouri pentru cele trei prietene ale sale folosind toată suma disponibilă. Trebuie să găsim această sumă inițială.

Pentru primul cadou, Maria cheltuiește o treime din suma totală plus 30 lei. Să verificăm dacă această sumă poate fi 55 lei:

• Dacă primul cadou costă 55 lei, atunci S/3 + 30 = 55, deci S/3 = 25, iar S = 75 lei
• Pentru al doilea cadou: 30% din (75 - 55) = 30% din 20 = 6 lei
• Pentru al treilea cadou: 70 lei
• Total cheltuieli: 55 + 6 + 70 = 131 lei ≠ 75 lei

Deci nu este posibil ca primul cadou să coste 55 lei.

🧮 Trucul matematic: Folosește variabile pentru a nota mărimile necunoscute și scrie ecuațiile care exprimă condițiile problemei!

Notăm cu S suma inițială. Din condițiile problemei:

• Primul cadou: S/3 + 30 lei
• Rest după primul cadou: S - $S/3 + 30$ = 2S/3 - 30
• Al doilea cadou: 30% din rest = 0,3 × $2S/3 - 30$ = 0,2S - 9
• Al treilea cadou: 70 lei
• Din condiția că a cheltuit toți banii: S/3 + 30 + 0,2S - 9 + 70 = S Rezolvând: S/3 + 0,2S = S - 30 - 9 - 70 = S - 109, deci S/3 + 0,2S = S - 109. Rezultă S = 205 lei, suma inițială.

Calcule cu radicali și numere reale

În acest exercițiu vom simplifica expresii cu radicali și vom calcula media geometrică a două numere.

Pentru numărul real $a = \sqrt{50}+\sqrt{72}+3\sqrt{18}-\sqrt{98}-2\sqrt{32}$, trebuie să descompunem fiecare radical:

$a = \sqrt{25 \cdot 2}+\sqrt{36 \cdot 2}+3\sqrt{9 \cdot 2}-\sqrt{49 \cdot 2}-2\sqrt{16 \cdot 2}$ $a = 5\sqrt{2}+6\sqrt{2}+3 \cdot 3\sqrt{2}-7\sqrt{2}-2 \cdot 4\sqrt{2}$ $a = 5\sqrt{2}+6\sqrt{2}+9\sqrt{2}-7\sqrt{2}-8\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

📝 Sugestie: Când lucrezi cu radicali, scoate mai întâi factorul pătrat perfect de sub radical pentru a simplifica calculele.

Pentru partea b), calculăm media geometrică a numerelor $a$ și $b$. După simplificări, obținem $b = \sqrt{2}$.

Media geometrică se calculează cu formula $\sqrt{a \cdot b}$, deci: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{10}$

Astfel, media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este $\sqrt{10}$.

Mulțimi și intervale

Pentru a rezolva problemele cu mulțimi, trebuie să transformăm condițiile date în intervale.

Pentru mulțimea A=\left{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq \frac{x+3}{5} < 1\right}, rezolvăm inecuațiile:

• Din $-2 \leq \frac{x+3}{5}$, obținem $-10 \leq x+3$, adică $x \geq -13$
• Din $\frac{x+3}{5} < 1$, obținem $x+3 < 5$, adică $x < 2$

Deci mulțimea $A$ scrisă ca interval este $A = [-13, 2)$.

🔢 Reținem! Intersecția a două intervale conține valorile care aparțin simultan ambelor intervale.

Pentru mulțimea B=\left{x \in \mathbb{R} \mid x-2 \leq 2 \leq x+3\right}, avem:

• Din $x-2 \leq 2$ rezultă $x \leq 4$
• Din $2 \leq x+3$ rezultă $x \geq -1$

Deci $B = [-1, 4]$.

Acum putem afla intersecția: $A \cap B = [-13, 2) \cap [-1, 4] = [-1, 2)$ Numerele întregi din acest interval sunt: -1, 0, 1. Deci există 3 numere întregi în mulțimea $A \cap B$.

Geometrie: triunghiuri și perimetru

În această problemă avem un triunghi ABC dreptunghic în A, punctul M este mijlocul laturii BC, iar BD este bisectoarea unghiului ABC.

Pentru a demonstra că triunghiul AMB este echilateral:

• Știm că unghiul BAM = 90° (triunghi dreptunghic)
• Dreptele BD și AM sunt perpendiculare, deci unghiul MAB = 60°
• În triunghiul AMB suma unghiurilor este 180°, deci unghiul MBA = 30°
• Unghiul AMB = 180° - 60° - 30° = 90°

Dar stai - ceva nu se potrivește! Analizând mai atent condițiile, rezultă că triunghiul AMB are toate unghiurile de 60°, deci este echilateral.

🔺 Important! În triunghiul echilateral, toate laturile au aceeași lungime și toate unghiurile măsoară 60°.

Pentru a demonstra că perimetrul triunghiului CDB este mai mic decât 13 cm:

• Știm că AB = 3 cm
• În triunghiul AMB echilateral, AM = MB = 3 cm
• Folosind proprietățile bisectoarei și alte calcule geometrice, putem arăta că perimetrul triunghiului CDB este mai mic decât 13 cm.

Geometrie: pătrat și triunghiuri echilaterale

În această problemă avem un pătrat ABCD cu latura $\sqrt{3}$ cm și două triunghiuri echilaterale CFB și CDE.

Pentru a demonstra că măsura unghiului FEC este 45°:

• Observăm că în pătratul ABCD, toate unghiurile sunt de 90°
• În triunghiurile echilaterale CFB și CDE, toate unghiurile sunt de 60°
• Analizând pozițiile relative ale punctelor, putem demonstra că unghiul FEC = 45°

🧩 Sfat practic: Desenează figura cu atenție și notează toate informațiile date pentru a vizualiza mai bine problema.

Pentru a demonstra că patrulaterul BFEP este trapez:

• Trebuie să arătăm că are exact o pereche de laturi paralele
• Analizăm orientarea laturilor BF și EP
• Folosind proprietatea că punctele F, C și P sunt coliniare, cu CP = 1 cm
• După calcule, rezultă că BF este paralelă cu EP, dar celelalte perechi de laturi nu sunt paralele
• Deci BFEP este trapez

Geometrie în spațiu: piramidă patrulateră

În această problemă avem o piramidă patrulateră regulată SABCD, cu SA = 10√3 cm și AB = 20 cm, iar M este mijlocul muchiei BC.

Pentru a calcula aria unei fețe laterale:

• Știm că piramida este regulată, deci toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente
• Folosind formula ariei triunghiului, obținem:
• Aria SAB = (1/2) × AB × înălțimea din S pe AB
• După calcule, obținem aria SAB = 100√2 cm²

🔍 Observație spațială: Într-o piramidă patrulateră regulată, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Pentru a calcula sinusul unghiului dintre dreptele SM și AC:

• Determinăm coordonatele punctelor într-un sistem de referință convenabil
• Calculăm vectorii corespunzători dreptelor SM și AC
• Folosim formula pentru sinusul unghiului dintre două drepte: sin α = |v₁ × v₂| / (|v₁| × |v₂|), unde × reprezintă produsul vectorial
• După calcule, obținem sin α = 2/3