Simulare BAC 2025 Tehnologic Mate: Soluții

Structura simulării de Bacalaureat la Matematică M_tehnologic

Simularea la matematică pentru profilul tehnologic conține trei subiecte obligatorii, cu timp de lucru de trei ore și zece puncte acordate din oficiu:

• Subiectul I: 30 puncte - șase exerciții a câte 5 puncte fiecare
• Subiectul II: 30 puncte - două probleme cu subpuncte
• Subiectul III: 30 puncte - două probleme complexe cu subpuncte

Simularea este destinată elevilor de la filiera tehnologică, toate profilurile (servicii, resurse, tehnic) și acoperă concepte esențiale precum progresii, ecuații, funcții, trigonometrie, matrice și calcul diferențial și integral.

⚠️ Atenție! Examenul testează nu doar cunoștințele teoretice, ci și capacitatea ta de a rezolva probleme aplicate din domenii precum economia (reduceri de preț) și geometria aplicată.

Soluții pentru Subiectul I

Exercițiul 1 - Progresie aritmetică Avem progresia aritmetică $(a_n)_{n\geq1}$ cu $a_1 = 3$ și $a_2 = 10$. Pentru a găsi termenul $a_3$, calculăm rația: $r = a_2 - a_1 = 10 - 3 = 7$ Apoi: $a_3 = a_2 + r = 10 + 7 = 17$

Exercițiul 2 - Relații între funcții Pentru funcțiile $f(x) = 3x - 4$ și $g(x) = x + 2$, trebuie să găsim valoarea lui $a$ astfel încât $f(a) = a + g(2)$: $g(2) = 2 + 2 = 4$ $f(a) = 3a - 4 = a + 4$ $3a - 4 = a + 4$ $2a = 8$ $a = 4$

Exercițiul 3 - Ecuație logaritmică Pentru ecuația $\log_3(10x - 1) = 2$: $10x - 1 = 3^2 = 9$ $10x = 10$ $x = 1$ Verificăm: $10 \cdot 1 - 1 > 0$ ✓

Exercițiul 4 - Problema economică Pentru un produs care după o ieftinire de 45% costă 110 lei: $x - 45\% \cdot x = 110$ $x - \frac{45x}{100} = 110$ $\frac{55x}{100} = 110$ $55x = 11000$ $x = 200$ lei (prețul inițial)

Exercițiul 5-6 - Probleme geometrice În exercițiul 5, folosim formula distanței între puncte pentru a arăta că $AB = AM = 5$. În exercițiul 6, folosim teorema lui Pitagora pentru a demonstra că $\sin C = \frac{3}{5}$.

💡 Sfat util: La problemele cu distanțe între puncte, calculează întâi coordonatele tuturor punctelor necesare, apoi aplică formula distanței. Verifică întotdeauna că rezultatele sunt egale!

Soluții pentru Subiectul II

Problema 1 - Matrice Pentru matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} a & 3a \\ a & 2a+3 \end{pmatrix}$:

a) Calculăm determinantul: $\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = 2 \cdot 7 - 6 \cdot 2 = 14 - 12 = 2$

b) Pentru $A(1) \cdot A(1) + 2I_2 = xA(1)$: $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ $A(1) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 4 & 18 \\ 6 & 28 \end{pmatrix}$ $2I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ $A(1) \cdot A(1) + 2I_2 = \begin{pmatrix} 6 & 18 \\ 6 & 30 \end{pmatrix}$

Comparând cu $xA(1) = \begin{pmatrix} x & 3x \\ x & 5x \end{pmatrix}$ obținem $x = 6$

c) Pentru ecuația matriceală $A(2) \cdot X - A(2) = A(0)$, reorganizăm și obținem $A(2) \cdot X \cdot A(2) = A(0)$. Prin înlocuiri și calcule, obținem sistemul de ecuații care ne conduce la soluția $X$.

Problema 2 - Lege de compoziție Pentru legea de compoziție $x * y = xy - 2x - 2y + 6$:

a) $0 * 2 = 0 \cdot 2 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 + 6 = 0 - 0 - 4 + 6 = 2$

b) Pentru $x * (2x) = 6$, dezvoltăm ecuația și obținem $2x^2 - 2x - 4x + 6 = 6$, care conduce la $2x^2 - 6x = 0$, având soluțiile $x = 0$ și $x = 3$.

c) Folosind proprietatea elementului neutru $e = 3$, găsim simetricul lui $x$ pentru care valoarea este 4.

🔍 Observație importantă: La problemele cu legi de compoziție, verifică întotdeauna proprietățile cerute (asociativitate, comutativitate) și identifică corect elementul neutru și simetricele!

Soluții pentru Subiectul III

Problema 1 - Funcția $f(x) = 2x^2 - 2 - \ln x$

a) Pentru a arăta că $f'(x) = \frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$, calculăm derivata: $f'(x) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^2 - 1}{x} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$

b) Pentru limita $\lim_{x \to 1}\frac{f(x) + \ln x}{3x-3}$, observăm că avem forma $\frac{0}{0}$. Aplicăm regula lui L'Hospital pentru a obține rezultatul $\frac{4}{3}$.

c) Pentru a demonstra inegalitatea $\frac{4x^2-1}{2} \geq \ln(2x)$ pentru $x \in (0,+\infty)$, putem studia funcția auxiliară $g(x) = \frac{4x^2-1}{2} - \ln(2x)$ și să arătăm că $g(x) \geq 0$.

Problema 2 - Funcția $f(x) = e^x + 2x + 2$

a) Pentru integrala $\int_0^1 (f(x) - 2x)dx$: $\int_0^1 (f(x) - 2x)dx = \int_0^1 (e^x + 2x + 2 - 2x)dx = \int_0^1 (e^x + 2)dx = [e^x + 2x]_0^1 = e^1 + 2 - e^0 - 0 = e + 2 - 1 = e + 1$

b) Pentru integrala $\int_0^1 \frac{1}{f(x) - e^x}dx$: $\int_0^1 \frac{1}{f(x) - e^x}dx = \int_0^1 \frac{1}{2x + 2}dx = \int_0^1 \frac{1}{2(x+1)}dx = \frac{1}{2}\ln(x+1)|_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \ln 2$

c) Pentru $\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}dx = 5 + \frac{a}{e}$, dezvoltăm integrala și determinăm valoarea lui $a$.

💯 Sfat pentru succes: La problemele cu integrare, încearcă să descompui integrala în părți mai ușor de calculat. De exemplu, aici observăm că $f(x) - e^x = 2x + 2$, ceea ce simplifică mult calculele.