Materii
Metode de Demonstrare Matematică
Teoremele de Congruență și Similaritate a Triunghiurilor
Proprietăți și Clasificarea Triunghiurilor
Funcții și Identități Trigonometrice
Tipuri de Patrulatere
Clasificarea Numerelor Reale
Modelarea Problemelor Matematice
Metode de Integrare a Ariilor
Fundații și Sisteme Matematice
Operații cu Expresii Raționale
Afișează toate materiile
Sistemele Organelor Umane
Sisteme de Comunicare Neurală
Tipuri de țesuturi biologice
Structura și Organizarea Biomoleculară
Subdiscipline ale Științelor Biologice
Sisteme Senzoriale Umane
Structura Membranei Celulare
Procese Biologice de Homeostazie
Organizarea și Dezvoltarea Celulară
Organizarea Structurală Biologică
Afișează toate materiile
Sisteme Imperiale Globale
Civilizația Romană Antică
Era Războaielor Mondiale și Impactul Acesteia
Renașterea și Iluminismul European
Sisteme de Autoritate Politică
Metode de Documentare Istorică
Germania Nazistă și Holocaustul 1933-1945
Statul și Sistemele Sovietice 1922-1991
Declarații Istorice ale Drepturilor
Dezvoltarea Constituțională Timpurie Americană
Afișează toate materiile
Grupe Funcționale Organice
Proprietățile Materiei și Apa
Științele Chimice și Aplicațiile lor
Tipuri de Reacții Chimice
Clasificări ale Compușilor Chimici
Comportamentul Electronic Atomic
Fundamentele Chimiei Soluțiilor
Reprezentarea Structurii Electronice a Moleculelor
Tipuri de Amestecuri
Măsurarea Concentrației Soluțiilor
Afișează toate materiile
78
•
27 dec. 2025
•
gheorghe stefania
@gheorghestefani
Bine ai venit la acest ghid de probleme de matematică!... Afișează mai mult
Acest caiet conține exerciții și metode de rezolvare pentru mai multe tipuri de probleme matematice:
Sfat util: Încearcă să înțelegi fiecare tip de problemă separat, apoi vei observa că multe folosesc principii similare!
Rezolvarea acestor probleme te va ajuta să-ți dezvolți gândirea logică și abilitățile matematice necesare pentru examene.
Când avem mai multe persoane care contribuie cu bani, putem folosi ecuațiile pentru a afla numărul lor. Să vedem un exemplu:
Mai multe persoane vor să cumpere un obiect. Dacă dau câte 250 lei fiecare, le lipsesc 500 lei. Dacă dau câte 350 lei, au 400 lei în plus. Trebuie să aflăm numărul de persoane.
Notăm cu m numărul de persoane și cu p prețul obiectului. Putem scrie:
Egalând cele două ecuații: 250m + 500 = 350m - 400 Prin calcule simple: 900 = 100m Deci m = 9 persoane
Pont: În probleme de acest tip, notează întotdeauna cu litere mărimile necunoscute și scrie ecuațiile care le leagă!
Verifică mereu rezultatul înlocuind valoarea găsită în ecuațiile inițiale.
Un pătrat perfect este un număr care poate fi scris ca pătratul unui număr întreg. Iată cum verificăm dacă un număr este pătrat perfect:
Pentru suma: 1 + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²³
Notăm S = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²³ Înmulțim cu 2: 2S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²⁴ Scădem: 2S - S = 2²⁰²⁴ - 1 Deci S = 2²⁰²⁴ - 1
Acum observăm că S + 1 = 2²⁰²⁴ = (2¹⁰¹²)² este pătrat perfect!
Aha!: Trucul pentru sume de puteri ale lui 2 este să înmulțim cu 2 și să scădem ecuațiile pentru a obține o formulă simplă.
Pentru sume de puteri cu exponent impar, folosim formula sumei pentru a vedea dacă rezultă un pătrat perfect.
Aceste probleme se rezolvă folosind sisteme de ecuații. Să vedem un exemplu clasic:
În clasă, dacă așezăm câte un elev în bancă, rămân 18 elevi în picioare. Dacă așezăm câte 2 elevi în bancă, rămâne doar un elev în picioare.
Notăm:
Din prima condiție: x = y + 18 Din a doua condiție: x = 2y + 1
Egalăm ecuațiile: y + 18 = 2y + 1 y = 17 bănci x = 35 elevi
Important: În probleme cu bănci și elevi, scrie mereu două ecuații folosind fiecare condiție din enunț!
Poți verifica răspunsul: 35 elevi și 17 bănci. Cu un elev pe bancă, 17 elevi stau în bănci și 18 rămân în picioare. Cu doi elevi pe bancă, 34 stau în bănci și unul rămâne în picioare.
Când avem mărimi direct proporționale, raportul dintre ele este constant. Iată un exemplu:
Trei numere a, b și c sunt direct proporționale cu 5, 12 și 13, iar suma lor este 180.
Când numerele sunt direct proporționale, putem scrie: a/5 = b/12 = c/13 = k
Exprimăm fiecare număr în funcție de k: a = 5k b = 12k c = 13k
Din condiția sumei: a + b + c = 180 5k + 12k + 13k = 180 30k = 180 k = 6
Deci numerele sunt: a = 30 b = 72 c = 78
Trucul meu: În problemele cu proporționalitate, folosește întotdeauna constanta de proporționalitate (k) pentru a exprima toate necunoscutele!
Verifică: 30 + 72 + 78 = 180 și rapoartele 30/5 = 72/12 = 78/13 = 6.
Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.
Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.
Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!
App Store
Google Play
Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.
Ștefan S
utilizator iOS
Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.
Samantha Klich
utilizator Android
Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.
Anna
utilizator iOS
Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!
Thomas R
utilizator iOS
Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️
Paul P
utilizator Android
Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!
David K
utilizator iOS
Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!
Sudenaz Ocak
utilizator Android
La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.
Greenlight Bonnie
utilizator Android
Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.
Karla S
utilizator Android
Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻
Denisa B
utilizator iOS
m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !
Sarah L
utilizator Android
Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor
Alessia V
utilizator iOS
Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.
Ștefan S
utilizator iOS
Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.
Samantha Klich
utilizator Android
Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.
Anna
utilizator iOS
Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!
Thomas R
utilizator iOS
Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️
Paul P
utilizator Android
Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!
David K
utilizator iOS
Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!
Sudenaz Ocak
utilizator Android
La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.
Greenlight Bonnie
utilizator Android
Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.
Karla S
utilizator Android
Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻
Denisa B
utilizator iOS
m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !
Sarah L
utilizator Android
Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor
Alessia V
utilizator iOS
gheorghe stefania
@gheorghestefani
Bine ai venit la acest ghid de probleme de matematică! Vei descoperi metode simple de rezolvare pentru proporționalități, probleme cu elevi și bănci, pătrate perfecte și alte tipuri de probleme matematice întâlnite frecvent în clasa a 8-a.
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Acest caiet conține exerciții și metode de rezolvare pentru mai multe tipuri de probleme matematice:
Sfat util: Încearcă să înțelegi fiecare tip de problemă separat, apoi vei observa că multe folosesc principii similare!
Rezolvarea acestor probleme te va ajuta să-ți dezvolți gândirea logică și abilitățile matematice necesare pentru examene.
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Când avem mai multe persoane care contribuie cu bani, putem folosi ecuațiile pentru a afla numărul lor. Să vedem un exemplu:
Mai multe persoane vor să cumpere un obiect. Dacă dau câte 250 lei fiecare, le lipsesc 500 lei. Dacă dau câte 350 lei, au 400 lei în plus. Trebuie să aflăm numărul de persoane.
Notăm cu m numărul de persoane și cu p prețul obiectului. Putem scrie:
Egalând cele două ecuații: 250m + 500 = 350m - 400 Prin calcule simple: 900 = 100m Deci m = 9 persoane
Pont: În probleme de acest tip, notează întotdeauna cu litere mărimile necunoscute și scrie ecuațiile care le leagă!
Verifică mereu rezultatul înlocuind valoarea găsită în ecuațiile inițiale.
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Un pătrat perfect este un număr care poate fi scris ca pătratul unui număr întreg. Iată cum verificăm dacă un număr este pătrat perfect:
Pentru suma: 1 + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²³
Notăm S = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²³ Înmulțim cu 2: 2S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²⁴ Scădem: 2S - S = 2²⁰²⁴ - 1 Deci S = 2²⁰²⁴ - 1
Acum observăm că S + 1 = 2²⁰²⁴ = (2¹⁰¹²)² este pătrat perfect!
Aha!: Trucul pentru sume de puteri ale lui 2 este să înmulțim cu 2 și să scădem ecuațiile pentru a obține o formulă simplă.
Pentru sume de puteri cu exponent impar, folosim formula sumei pentru a vedea dacă rezultă un pătrat perfect.
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Aceste probleme se rezolvă folosind sisteme de ecuații. Să vedem un exemplu clasic:
În clasă, dacă așezăm câte un elev în bancă, rămân 18 elevi în picioare. Dacă așezăm câte 2 elevi în bancă, rămâne doar un elev în picioare.
Notăm:
Din prima condiție: x = y + 18 Din a doua condiție: x = 2y + 1
Egalăm ecuațiile: y + 18 = 2y + 1 y = 17 bănci x = 35 elevi
Important: În probleme cu bănci și elevi, scrie mereu două ecuații folosind fiecare condiție din enunț!
Poți verifica răspunsul: 35 elevi și 17 bănci. Cu un elev pe bancă, 17 elevi stau în bănci și 18 rămân în picioare. Cu doi elevi pe bancă, 34 stau în bănci și unul rămâne în picioare.
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Când avem mărimi direct proporționale, raportul dintre ele este constant. Iată un exemplu:
Trei numere a, b și c sunt direct proporționale cu 5, 12 și 13, iar suma lor este 180.
Când numerele sunt direct proporționale, putem scrie: a/5 = b/12 = c/13 = k
Exprimăm fiecare număr în funcție de k: a = 5k b = 12k c = 13k
Din condiția sumei: a + b + c = 180 5k + 12k + 13k = 180 30k = 180 k = 6
Deci numerele sunt: a = 30 b = 72 c = 78
Trucul meu: În problemele cu proporționalitate, folosește întotdeauna constanta de proporționalitate (k) pentru a exprima toate necunoscutele!
Verifică: 30 + 72 + 78 = 180 și rapoartele 30/5 = 72/12 = 78/13 = 6.
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Acces la toate documentele
Îmbunătățește notele tale!
Alătură-te milioanelor de elevi
Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate
Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.
Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.
Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!
0
Instrumente inteligente NOU
Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Simulare completă ✓ Planuri de eseu
App Store
Google Play
Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.
Ștefan S
utilizator iOS
Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.
Samantha Klich
utilizator Android
Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.
Anna
utilizator iOS
Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!
Thomas R
utilizator iOS
Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️
Paul P
utilizator Android
Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!
David K
utilizator iOS
Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!
Sudenaz Ocak
utilizator Android
La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.
Greenlight Bonnie
utilizator Android
Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.
Karla S
utilizator Android
Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻
Denisa B
utilizator iOS
m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !
Sarah L
utilizator Android
Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor
Alessia V
utilizator iOS
Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.
Ștefan S
utilizator iOS
Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.
Samantha Klich
utilizator Android
Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.
Anna
utilizator iOS
Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!
Thomas R
utilizator iOS
Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️
Paul P
utilizator Android
Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!
David K
utilizator iOS
Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!
Sudenaz Ocak
utilizator Android
La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.
Greenlight Bonnie
utilizator Android
Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.
Karla S
utilizator Android
Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻
Denisa B
utilizator iOS
m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !
Sarah L
utilizator Android
Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor
Alessia V
utilizator iOS
Logică
Matematică
Limba și literatura română
Biologie
Geografie