Subiectul 3, Exercițiul 1 - Rezolvări și Probleme Comune

Cuprins

Acest caiet conține exerciții și metode de rezolvare pentru mai multe tipuri de probleme matematice:

• Mărimi direct proporționale și invers proporționale
• Probleme cu bănci și elevi (sisteme de ecuații)
• Pătratul perfect al unui număr natural
• Probleme cu vârste, numere și zile
• Numere naturale scrise în baza 10

Sfat util: Încearcă să înțelegi fiecare tip de problemă separat, apoi vei observa că multe folosesc principii similare!

Rezolvarea acestor probleme te va ajuta să-ți dezvolți gândirea logică și abilitățile matematice necesare pentru examene.

Persoane și probabilități

Când avem mai multe persoane care contribuie cu bani, putem folosi ecuațiile pentru a afla numărul lor. Să vedem un exemplu:

Mai multe persoane vor să cumpere un obiect. Dacă dau câte 250 lei fiecare, le lipsesc 500 lei. Dacă dau câte 350 lei, au 400 lei în plus. Trebuie să aflăm numărul de persoane.

Notăm cu m numărul de persoane și cu p prețul obiectului. Putem scrie:

• Prima situație: 250m + 500 = p
• A doua situație: 350m - 400 = p

Egalând cele două ecuații: 250m + 500 = 350m - 400 Prin calcule simple: 900 = 100m Deci m = 9 persoane

Pont: În probleme de acest tip, notează întotdeauna cu litere mărimile necunoscute și scrie ecuațiile care le leagă!

Verifică mereu rezultatul înlocuind valoarea găsită în ecuațiile inițiale.

Pătratul perfect al unui număr natural

Un pătrat perfect este un număr care poate fi scris ca pătratul unui număr întreg. Iată cum verificăm dacă un număr este pătrat perfect:

Pentru suma: 1 + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²³

Notăm S = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²³ Înmulțim cu 2: 2S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²⁴ Scădem: 2S - S = 2²⁰²⁴ - 1 Deci S = 2²⁰²⁴ - 1

Acum observăm că S + 1 = 2²⁰²⁴ = (2¹⁰¹²)² este pătrat perfect!

Aha!: Trucul pentru sume de puteri ale lui 2 este să înmulțim cu 2 și să scădem ecuațiile pentru a obține o formulă simplă.

Pentru sume de puteri cu exponent impar, folosim formula sumei pentru a vedea dacă rezultă un pătrat perfect.

Probleme cu bănci și elevi

Aceste probleme se rezolvă folosind sisteme de ecuații. Să vedem un exemplu clasic:

În clasă, dacă așezăm câte un elev în bancă, rămân 18 elevi în picioare. Dacă așezăm câte 2 elevi în bancă, rămâne doar un elev în picioare.

Notăm:

• x = numărul de elevi
• y = numărul de bănci

Din prima condiție: x = y + 18 Din a doua condiție: x = 2y + 1

Egalăm ecuațiile: y + 18 = 2y + 1 y = 17 bănci x = 35 elevi

Important: În probleme cu bănci și elevi, scrie mereu două ecuații folosind fiecare condiție din enunț!

Poți verifica răspunsul: 35 elevi și 17 bănci. Cu un elev pe bancă, 17 elevi stau în bănci și 18 rămân în picioare. Cu doi elevi pe bancă, 34 stau în bănci și unul rămâne în picioare.

Mărimi direct proporționale

Când avem mărimi direct proporționale, raportul dintre ele este constant. Iată un exemplu:

Trei numere a, b și c sunt direct proporționale cu 5, 12 și 13, iar suma lor este 180.

Când numerele sunt direct proporționale, putem scrie: a/5 = b/12 = c/13 = k

Exprimăm fiecare număr în funcție de k: a = 5k b = 12k c = 13k

Din condiția sumei: a + b + c = 180 5k + 12k + 13k = 180 30k = 180 k = 6

Deci numerele sunt: a = 30 b = 72 c = 78

Trucul meu: În problemele cu proporționalitate, folosește întotdeauna constanta de proporționalitate $k$ pentru a exprima toate necunoscutele!

Verifică: 30 + 72 + 78 = 180 și rapoartele 30/5 = 72/12 = 78/13 = 6.