Partea întreagă a unui număr real

Orice număr real poate fi descompus în două părți: partea întreagă și partea fracționară. Notăm partea întreagă cu [x] și partea fracționară cu {x}. De exemplu, pentru numărul 2,83, partea întreagă [2,83] = 2, iar partea fracționară {2,83} = 0,83.

Pentru orice număr real x, relația fundamentală este: x = [x] + {x}, unde {x} ∈ (0;1). Partea întreagă a unui număr real este întotdeauna numărul întreg situat imediat în stânga lui pe axa numerelor. Astfel, pentru numere negative, trebuie să fim atenți: $-2,71$ = -3, deoarece -3 este primul număr întreg din stânga lui -2,71.

💡 Un truc util: Partea întreagă a unui număr se află în intervalul (x-1, x].

Putem rezolva ecuații complexe folosind proprietățile părții întregi. Pentru a rezolva ecuații de tipul $4x + 3$ = $x + 6$/2, transformăm ambele părți în numere întregi, stabilim intervale și găsim valorile lui x care satisfac condițiile date. Procedeul implică utilizarea definiției părții întregi: x - 1 < [x] ≤ x.

Rezolvarea ecuațiilor cu partea întreagă

Ecuațiile care conțin partea întreagă se rezolvă transformând expresiile în intervale. Pentru ecuația $(x-1)/2$ = $(x+1)/3$, începem prin a nota ambele părți cu k, unde k este un număr întreg.

Aplicăm definiția părții întregi pentru ambele expresii, obținând sistemul de inecuații:

• k ≤ $x-1$/2 < k+1
• k ≤ $x+1$/3 < k+1

După transformări algebrice, ajungem la două condiții pentru x, care trebuie satisfăcute simultan. Verificăm pentru fiecare valoare posibilă a lui k (în acest caz k = 0, 1, 2 sau 3) ce interval rezultă pentru x.

De exemplu, pentru k = 1, obținem că x ∈ [3;5), iar pentru k = 2, x ∈ [5;7). Soluția finală este reuniunea tuturor intervalelor valide: x ∈ [-1;2) ∪ [3;5) ∪ [5;7) ∪ [8;9).

🔑 Reține: Pentru a rezolva ecuații cu partea întreagă, transformă-le în sisteme de inecuații și găsește intervalele pentru care ambele condiții sunt îndeplinite.