Materii

SchoolGPT

Cariere

Accesează aplicația

Materii

Fundamentele Operațiilor cu Matrice

3

0

B

Bianca Diaconița

23.11.2025

Matematică

Operații cu matrice

261

•

23 nov. 2025

•

3 pagini

Fundamentele Operațiilor cu Matrice

B

Bianca Diaconița

@biancadiaconia

Operațiile cu matrice sunt esențiale în algebra liniară și au... Afișează mai mult

Page 1
Page 2
Page 3
1 / 3
--- Operatii cu matrice - 1 Adunarea matricelor Pentru a aduna 2 matrice A si B trebuie ca cele 2 matrice sa aiba acelasi ordin si rezultatu

Adunarea matricelor

Pentru a aduna două matrice, este esențial ca acestea să aibă același ordin (același număr de linii și coloane). Rezultatul va fi o nouă matrice cu aceleași dimensiuni.

Adunarea se face element cu element, adică adunăm elementele aflate pe aceeași poziție în cele două matrice. De exemplu, dacă avem matricele A și B de ordin 3×2, atunci și rezultatul A+B va fi tot de ordin 3×2.

💡 Imaginează-ți adunarea matricelor ca suprapunerea a două tabele cu numere, unde aduni valorile care se află în aceeași căsuță.

Exemplu: A = (−28 61 32)\begin{pmatrix} -2 & 8\ 6 & 1\ 3 & 2 \end{pmatrix} și B = (−3−1 8−2 01)\begin{pmatrix} -3 & -1\ 8 & -2\ 0 & 1 \end{pmatrix} A+B = (−57 14−1 33)\begin{pmatrix} -5 & 7\ 14 & -1\ 3 & 3 \end{pmatrix}

--- Operatii cu matrice - 1 Adunarea matricelor Pentru a aduna 2 matrice A si B trebuie ca cele 2 matrice sa aiba acelasi ordin si rezultatu

Proprietățile adunării și scăderea matricelor

Adunarea matricelor are câteva proprietăți importante: este comutativă A+B=B+AA+B=B+A, asociativă (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C), are ca element neutru matricea nulă și fiecare matrice A are un opus -A.

Scăderea matricelor urmează aceleași reguli ca adunarea. Matricele trebuie să aibă același ordin, iar operația se realizează element cu element. De exemplu: A - B = (−28\32)−(−3−1\01)=(19\31)\begin{pmatrix} -2 & 8\3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -1\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 9\3 & 1 \end{pmatrix}

Înmulțirea unui număr cu o matrice

Când înmulțim un număr cu o matrice, înmulțim fiecare element al matricei cu numărul respectiv. Această operație se numește înmulțire cu scalar.

💡 Poți vedea această operație ca și cum ai "scala" sau ai amplifica toate valorile din matrice cu același factor.

Exemplu: 2⋅(3−14\153\112)=(6−28\2106\224)2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4\1 & 5 & 3\1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 8\2 & 10 & 6\2 & 2 & 4 \end{pmatrix}

--- Operatii cu matrice - 1 Adunarea matricelor Pentru a aduna 2 matrice A si B trebuie ca cele 2 matrice sa aiba acelasi ordin si rezultatu

Înmulțirea a două matrice

Înmulțirea matricelor este mai complexă și are condiții speciale. Pentru a putea înmulți matricea A cu B, numărul de coloane al lui A trebuie să fie egal cu numărul de linii al lui B.

Dacă A are dimensiunea (m,n) și B are dimensiunea (n,p), rezultatul A·B va avea dimensiunea (m,p). Calculul se face înmulțind fiecare linie din A cu fiecare coloană din B și adunând produsele.

Este important de reținut că înmulțirea matricelor nu este comutativă (în general A·B ≠ B·A), dar este asociativă. Pentru matricele pătratice de ordin m, elementul neutru la înmulțire este matricea unitate Im.

💡 Un truc pentru a reține regula dimensiunilor: dacă A este (m,n) și B este (n,p), atunci "n-ul din mijloc se elimină" și rezultă dimensiunea (m,p).

Exemplu: Să calculăm X² pentru X = (12 24)\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{pmatrix} X² = X·X = (12 24)⋅(12 24)=(510 1020)\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \ 10 & 20 \end{pmatrix}



Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

 

Matematică

•

261

•

23 nov. 2025

•

3 pagini

Fundamentele Operațiilor cu Matrice

B

Bianca Diaconița

@biancadiaconia

Operațiile cu matrice sunt esențiale în algebra liniară și au aplicații în multe domaine. Vom învăța cum să adunăm, scădem și înmulțim matricele, punând accent pe regulile care trebuie respectate pentru fiecare operație.

--- Operatii cu matrice - 1 Adunarea matricelor Pentru a aduna 2 matrice A si B trebuie ca cele 2 matrice sa aiba acelasi ordin si rezultatu

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Adunarea matricelor

Pentru a aduna două matrice, este esențial ca acestea să aibă același ordin (același număr de linii și coloane). Rezultatul va fi o nouă matrice cu aceleași dimensiuni.

Adunarea se face element cu element, adică adunăm elementele aflate pe aceeași poziție în cele două matrice. De exemplu, dacă avem matricele A și B de ordin 3×2, atunci și rezultatul A+B va fi tot de ordin 3×2.

💡 Imaginează-ți adunarea matricelor ca suprapunerea a două tabele cu numere, unde aduni valorile care se află în aceeași căsuță.

Exemplu: A = (−28 61 32)\begin{pmatrix} -2 & 8\ 6 & 1\ 3 & 2 \end{pmatrix} și B = (−3−1 8−2 01)\begin{pmatrix} -3 & -1\ 8 & -2\ 0 & 1 \end{pmatrix} A+B = (−57 14−1 33)\begin{pmatrix} -5 & 7\ 14 & -1\ 3 & 3 \end{pmatrix}

--- Operatii cu matrice - 1 Adunarea matricelor Pentru a aduna 2 matrice A si B trebuie ca cele 2 matrice sa aiba acelasi ordin si rezultatu

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Proprietățile adunării și scăderea matricelor

Adunarea matricelor are câteva proprietăți importante: este comutativă A+B=B+AA+B=B+A, asociativă (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C), are ca element neutru matricea nulă și fiecare matrice A are un opus -A.

Scăderea matricelor urmează aceleași reguli ca adunarea. Matricele trebuie să aibă același ordin, iar operația se realizează element cu element. De exemplu: A - B = (−28\32)−(−3−1\01)=(19\31)\begin{pmatrix} -2 & 8\3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & -1\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 9\3 & 1 \end{pmatrix}

Înmulțirea unui număr cu o matrice

Când înmulțim un număr cu o matrice, înmulțim fiecare element al matricei cu numărul respectiv. Această operație se numește înmulțire cu scalar.

💡 Poți vedea această operație ca și cum ai "scala" sau ai amplifica toate valorile din matrice cu același factor.

Exemplu: 2⋅(3−14\153\112)=(6−28\2106\224)2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4\1 & 5 & 3\1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 8\2 & 10 & 6\2 & 2 & 4 \end{pmatrix}

--- Operatii cu matrice - 1 Adunarea matricelor Pentru a aduna 2 matrice A si B trebuie ca cele 2 matrice sa aiba acelasi ordin si rezultatu

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Înmulțirea a două matrice

Înmulțirea matricelor este mai complexă și are condiții speciale. Pentru a putea înmulți matricea A cu B, numărul de coloane al lui A trebuie să fie egal cu numărul de linii al lui B.

Dacă A are dimensiunea (m,n) și B are dimensiunea (n,p), rezultatul A·B va avea dimensiunea (m,p). Calculul se face înmulțind fiecare linie din A cu fiecare coloană din B și adunând produsele.

Este important de reținut că înmulțirea matricelor nu este comutativă (în general A·B ≠ B·A), dar este asociativă. Pentru matricele pătratice de ordin m, elementul neutru la înmulțire este matricea unitate Im.

💡 Un truc pentru a reține regula dimensiunilor: dacă A este (m,n) și B este (n,p), atunci "n-ul din mijloc se elimină" și rezultă dimensiunea (m,p).

Exemplu: Să calculăm X² pentru X = (12 24)\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{pmatrix} X² = X·X = (12 24)⋅(12 24)=(510 1020)\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \ 10 & 20 \end{pmatrix}

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

3

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Simulare completă ✓ Planuri de eseu

Simulare
Quiz
Flashcard-uri
Eseu

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS