Noțiuni de bază despre numerele complexe

Un număr complex se scrie în forma $z = a + bi$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, iar $i$ este unitatea imaginară cu proprietatea $i^2 = -1$. Mulțimea numerelor complexe se notează cu $C$.

Pentru fiecare număr complex $z = a + bi$, numim $a$ partea reală (notată $Re z$) și $b$ partea imaginară (notată $Im z$). De exemplu, dacă $z_1 = 3 + 2i$, atunci $Re z_1 = 3$ și $Im z_1 = 2$. Dacă avem doar termenul imaginar, precum $z_3 = 2i$, atunci partea reală este 0.

Două numere complexe $z_1 = a_1 + b_1i$ și $z_2 = a_2 + b_2i$ sunt egale doar când ambele părți coincid: $a_1 = a_2$ și $b_1 = b_2$.

💡 Sfat util: Puterile lui $i$ urmează un model ciclic de 4: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, apoi se repetă. Pentru puteri mari, împarte exponentul la 4 și verifică restul!

Puterile unității imaginare pot fi grupate astfel:

• $i^{4k} = 1$ (când împărțirea la 4 dă rest 0)
• $i^{4k+1} = i$ (când împărțirea la 4 dă rest 1)
• $i^{4k+2} = -1$ (când împărțirea la 4 dă rest 2)
• $i^{4k+3} = -i$ (când împărțirea la 4 dă rest 3)

Conjugatul și modulul numerelor complexe

Conjugatul unui număr complex $z = a + bi$ se notează cu $\overline{z}$ și este egal cu $a - bi$. Practic, schimbăm semnul părții imaginare. De exemplu, pentru $z_1 = 3 + 2i$, conjugatul este $\overline{z_1} = 3 - 2i$.

Modulul unui număr complex $z = a + bi$ se definește ca $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Geometric, reprezintă distanța de la originea sistemului de coordonate la punctul corespunzător numărului complex. De exemplu, pentru $z = 2 + 3i$, modulul este $|z| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$.

Modulul și conjugatul au proprietăți importante:

• Modulul este zero doar pentru numărul complex zero
• Modulul produsului este produsul modulelor: $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
• Modulul raportului este raportul modulelor: $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

🔑 Reține: Produsul unui număr complex cu conjugatul său este întotdeauna un număr real pozitiv egal cu pătratul modulului: $z \cdot \overline{z} = |z|^2$

Pentru numerele complexe conjugate mai avem:

• Suma unui număr complex cu conjugatul său este un număr real: $z + \overline{z} = 2 \cdot Re(z)$
• Un număr complex este real dacă și numai dacă este egal cu conjugatul său
• Conjugatul sumei este suma conjugatelor: $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$

Forma trigonometrică a numerelor complexe

Orice număr complex $z = a + bi$ poate fi scris în forma trigonometrică: $z = r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$, unde $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ este modulul, iar $\alpha$ este argumentul (unghiul format cu axa reală pozitivă).

Pentru a determina argumentul $\alpha$, putem folosi relația $\tan\alpha = \frac{b}{a}$, ținând cont de cadranul în care se află punctul $(a, b)$. Argumentul redus se află în intervalul $[0, 2\pi)$.

Forma trigonometrică simplifică operațiile de înmulțire și împărțire:

• Înmulțirea: $z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2[\cos(\alpha_1 + \alpha_2) + i\sin(\alpha_1 + \alpha_2)]$
• Împărțirea: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\alpha_1 - \alpha_2) + i\sin(\alpha_1 - \alpha_2)]$

🌟 Formula lui Moivre este extrem de utilă: $(cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos(n\alpha) + i\sin(n\alpha)$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$

Pentru ridicarea la putere, avem: dacă $z = r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$ și $n \in \mathbb{N}^*$, atunci $z^n = r^n(\cos(n\alpha) + i\sin(n\alpha))$. Această formulă vă va ajuta enorm la exercițiile cu puteri ale numerelor complexe.

Valorile frecvente ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ și $90°$ sunt utile pentru calcularea formei trigonometrice a numerelor complexe specifice.