Mulțimea numerelor întregi și modulul

Numerele întregi formează mulțimea $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Când excludem zero, obținem mulțimea numerelor întregi nenule: $\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} - \{0\}$.

Modulul (sau valoarea absolută) a unui număr întreg arată cât de departe este numărul de zero. Modulul se notează cu $|x|$ și este întotdeauna pozitiv sau zero. De exemplu, $|12| = 12$, $|0| = 0$ și $|-12| = 12$.

Modulul are câteva proprietăți importante:

• Este întotdeauna pozitiv sau zero: $|x| \ge 0$
• Este zero doar dacă numărul este zero: $|x| = 0 \iff x = 0$
• Modulul unui produs este produsul modulelor: $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$

Știai că? Pentru a aduna numere întregi cu semne diferite, trebuie să scazi modulele și să pui semnul numărului cu modulul mai mare.

Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi

La înmulțirea numerelor întregi, trebuie să urmărim regula semnelor:

• Pozitiv × pozitiv = pozitiv $ex: +3 × +7 = +21$
• Negativ × negativ = pozitiv $ex: -3 × -7 = +21$
• Pozitiv × negativ = negativ $ex: +3 × -7 = -21$
• Negativ × pozitiv = negativ $ex: -3 × +7 = -21$

Înmulțirea păstrează aceleași proprietăți ca la numerele naturale: este comutativă (ordinea nu contează), asociativă și are elementul neutru 1.

La împărțirea numerelor întregi folosim aceeași regulă a semnelor ca la înmulțire. De exemplu:

• $+21$ : $+3$ = +7
• $-21$ : $-3$ = +7
• $+21$ : $-3$ = -7
• $-21$ : $+3$ = -7

Atenție! Împărțirea nu este comutativă și nici asociativă, deci ordinea numerelor contează foarte mult!

Ultimele cifre ale puterilor

Când ridicăm numere la puteri, ultimele cifre ale rezultatelor formează modele interesante. Iată câteva exemple:

Pentru puterile lui 2, ultimele cifre se repetă la fiecare 4 pași:

• Dacă puterea are forma 4k+1, ultima cifră este 2
• Dacă puterea are forma 4k+2, ultima cifră este 4
• Dacă puterea are forma 4k+3, ultima cifră este 8
• Dacă puterea are forma 4k, ultima cifră este 6

Pentru puterile lui 3, ultimele cifre formează tot un model de 4:

• Când puterea are forma 4k+1, ultima cifră este 3
• Când puterea are forma 4k+2, ultima cifră este 9
• Când puterea are forma 4k+3, ultima cifră este 7
• Când puterea are forma 4k, ultima cifră este 1

Pentru puterile lui 5, este și mai simplu - ultima cifră este mereu 5!

Interesant! Puterile lui 9 au ultimele cifre doar 9 sau 1, alternând între ele: 9, 81, 729, 6561...

Putere și divizibilitate

Numerele ridicate la putere formează tipare regulate în ultimele lor cifre. De exemplu:

Pentru puterile lui 7, se repetă un model de 4:

• 7, 49, 343, 2401, 16807, ...
• Ultimele cifre: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...

Pentru puterile lui 8, avem tot un ciclu de 4:

• 8, 64, 512, 4096, 32768, ...
• Ultimele cifre: 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6, ...

Pentru puterile lui 9, ciclul este de doar 2:

• 9, 81, 729, 6561, ...
• Ultimele cifre: 9, 1, 9, 1, ...

Divizibilitatea ne spune când un număr se împarte exact la altul. Scriem $a|b$ când $a$ se divide cu $b$. De exemplu, $12|4$ pentru că $12 = 4 \cdot 3$.

Curiozitate matematică: Un număr nu poate fi pătrat perfect dacă are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8!

Divizibilitate și criterii

Când un număr $a$ se divide cu un număr $b$, atunci $a$ se numește multiplu al lui $b$, iar $b$ se numește divizor al lui $a$.

Relația de divizibilitate are proprietăți importante:

• Orice număr se divide cu 1 și cu el însuși
• Orice număr divide 0
• Dacă $a|b$ și $b|c$, atunci $a|c$
• Dacă $a|b$ și $a|c$, atunci $a|(b+c)$ și $a|(b-c)$

Pentru fiecare număr $a$, putem forma mulțimea divizorilor săi, notată $D_a$, și mulțimea multiplilor săi, notată $M_a$. De exemplu:

• $D_{24} = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\}$
• $M_{24} = \{0, \pm 24, \pm 48, \pm 72, ...\}$

Criteriul de divizibilitate cu 2: un număr este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8.

Sfat util: Dacă știi criteriile de divizibilitate, poți verifica rapid dacă un număr mare se împarte exact la altul!

Criterii de divizibilitate

Iată câteva criterii care te ajută să verifici rapid divizibilitatea:

Criteriul pentru 3: Un număr se divide cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. De exemplu, 2238 se divide cu 3 pentru că 2+2+3+8=15, iar 15 se divide cu 3.

Criteriul pentru 5: Un număr se divide cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. Exemplu: 2235 se divide cu 5, dar 2232 nu.

Criteriul pentru 10, 100, 1000: Un număr se divide cu 10, 100 sau 1000 dacă are ultimele cifre 0, 00 sau 000. Exemplu: 22350 se divide cu 10, 223500 se divide cu 100.

Criteriul pentru 4: Un număr se divide cu 4 dacă ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4. Exemplu: 2236 se divide cu 4 pentru că 36 se divide cu 4.

Criteriul pentru 9: Un număr se divide cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9. Exemplu: 2232 se divide cu 9 pentru că 2+2+3+2=9.

Trucul zilei: Pentru a verifica divizibilitatea cu 25, privește doar ultimele două cifre - trebuie să fie 00, 25, 50 sau 75!

Numere prime și compuse

Un număr întreg $a$ are întotdeauna divizorii improprii 1 și $a$. Dacă are și alți divizori, aceștia se numesc divizori proprii.

Numerele prime sunt numerele care au doar divizorii improprii (1 și ele însele). Primele numere prime sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

Numerele compuse sunt cele care au cel puțin un divizor propriu. De exemplu:

• Toate numerele pare mai mari decât 2 sunt compuse (au divizorul 2)
• 14, 16, 18 sunt compuse pentru că se divid cu 2
• 49 este compus pentru că 7 divide 49

Pentru a afla cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al mai multor numere:

1. Descompunem numerele în factori primi
2. Alegem doar factorii comuni la puterea cea mai mică
3. Înmulțim acești factori

De reținut: Numerele prime sunt ca atomii matematicii - ele sunt blocurile de construcție ale tuturor numerelor!

Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun

Pentru a calcula c.m.m.d.c. pentru numere, trebuie să:

1. Descompunem numerele în factori primi
2. Alegem factorii comuni la puterea cea mai mică
3. Înmulțim acești factori

Exemplu: Pentru 120, 300 și 540

• 120 = 2³ × 3 × 5
• 300 = 2² × 3 × 5²
• 540 = 2² × 3³ × 5
• c.m.m.d.c. = 2² × 3 × 5 = 60

Numerele prime între ele sunt cele care au c.m.m.d.c. egal cu 1. De exemplu, 15 și 8 sunt prime între ele pentru că nu au divizori comuni $15 = 3 × 5, 8 = 2³$.

Pentru a calcula cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) pentru numere:

1. Descompunem numerele în factori primi
2. Alegem toți factorii (comuni și necomuni) la puterea cea mai mare
3. Înmulțim acești factori

Sfat practic: Când două numere sunt prime între ele, c.m.m.m.c. este chiar produsul lor!

Cel mai mic multiplu comun - exemplu

Să calculăm c.m.m.m.c. pentru numerele 120, 300 și 540:

Mai întâi, descompunem fiecare număr în factori primi:

• 120 = 2³ × 3 × 5
• 300 = 2² × 3 × 5²
• 540 = 2² × 3³ × 5

Pentru a afla c.m.m.m.c., luăm fiecare factor prim la puterea cea mai mare:

• Pentru 2: cea mai mare putere este 3 (de la 120)
• Pentru 3: cea mai mare putere este 3 (de la 540)
• Pentru 5: cea mai mare putere este 2 (de la 300)

Deci, c.m.m.m.c. = 2³ × 3³ × 5² = 1080

Notația pentru cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b este [a; b]. În exemplul nostru, [120; 300; 540] = 1080.

Aha! Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru două numere a și b este: (a; b) × [a; b] = a × b