Materii

SchoolGPT

Cariere

Accesează aplicația

Materii

Numere Reale: Observații și Definiții Esențiale

0

0

B

Bianca Diaconița

15.11.2025

Matematică

Mulțimea numerelor reale

140

•

15 nov. 2025

•

3 pagini

Numere Reale: Observații și Definiții Esențiale

B

Bianca Diaconița

@biancadiaconia

Mulțimile de numere reale sunt fundamentul matematicii, oferindu-ți instrumentele necesare... Afișează mai mult

Page 1
Page 2
Page 3
1 / 3
# Mulțimea nr. reale - Mulțimea nr. naturale: $N = \{0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulțimea nr. întregi: $Z = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulți

Mulțimea numerelor reale

Numerele reale sunt organizate în mai multe submulțimi importante. Mulțimea numerelor naturale $N = {0, 1, 2, 3,...}$ și mulțimea numerelor întregi $Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}$ sunt cele mai simple.

Numerele raționale $Q = {\frac{m}{n}|m \in Z, n \in Z*}$ sunt fracții între numere întregi, iar numerele iraționale $Ir = R \setminus Q$ sunt cele care nu pot fi scrise ca fracții de exemplu $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.

Poți vizualiza toate numerele reale pe o dreaptă reală, unde fiecărui număr îi corespunde un singur punct și invers. Această dreaptă nu are capăt, extinzându-se la stânga spre −∞-\infty și la dreapta spre +∞+\infty.

Reține! Dreapta reală nu are întreruperi - este continuă, iar acest concept este esențial pentru înțelegerea intervalelor și a funcțiilor continue.

# Mulțimea nr. reale - Mulțimea nr. naturale: $N = \{0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulțimea nr. întregi: $Z = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulți

Reprezentarea intervalelor

Intervalele sunt porțiuni din dreapta reală și pot fi mărginite (cu valori determinate la extremități) sau nemărginite cu cel puțin un capăt $-\infty$ sau $+\infty$.

Pentru notarea intervalelor folosim paranteze rotunde sau pătrate:

  • Paranteze pătrate ""sau"" sau "" indică faptul că extremitatea respectivă este inclusă (interval închis)
  • Paranteze rotunde "(" sau ")" arată că extremitatea nu este inclusă (interval deschis)

Exemplele de notații cele mai des întâlnite sunt:

  • [a,b]=x∈R∣a≤x≤b[a,b] = {x \in R | a \leq x \leq b} (interval închis)
  • (a,b)=x∈R∣a<x<b(a,b) = {x \in R | a < x < b} (interval deschis)
  • [a,b)=x∈R∣a≤x<b[a,b) = {x \in R | a \leq x < b} (închis la stânga, deschis la dreapta)
  • (−∞,a]=x∈R∣x≤a(-\infty, a] = {x \in R | x \leq a} (interval nemărginit, închis la dreapta)

Sfat practic: Când desenezi intervalele pe dreapta reală, marchează extremitățile incluse cu un punct plin (•) și cele neincluse cu un cerc gol (○).

# Mulțimea nr. reale - Mulțimea nr. naturale: $N = \{0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulțimea nr. întregi: $Z = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulți

Operații cu infinitul

Valorile +∞+\infty și −∞-\infty nu sunt numere reale propriu-zise, ci simboluri care reprezintă valori nelimitate. Totuși, putem face anumite operații cu acestea pentru a înțelege comportamentul limitelor.

Câteva reguli de bază pentru operațiile cu infinit:

  • Adunarea: +∞+∞=+∞+\infty + \infty = +\infty și +∞+a=+∞+\infty + a = +\infty pentru orice număr real aa
  • Înmulțirea: ∞⋅∞=∞\infty \cdot \infty = \infty și (−∞)⋅(−∞)=∞(-\infty) \cdot (-\infty) = \infty
  • Înmulțirea cu numere reale: x⋅∞=∞x \cdot \infty = \infty dacă x>0x > 0 și x⋅∞=−∞x \cdot \infty = -\infty dacă x<0x < 0
  • Împărțirea: 1∞=0\frac{1}{\infty} = 0 și x∞=0\frac{x}{\infty} = 0 pentru orice număr real xx

Există însă cazuri de nedeterminare când operațiile nu oferă un rezultat sigur, cum ar fi ∞−∞\infty - \infty. Același tip de operație poate da rezultate diferite (pozitive sau negative), deci nu putem atribui o valoare unică.

Important! Când întâlnești o formă de nedeterminare precum $\infty - \infty$, $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$, nu poți aplica regulile obișnuite - vei avea nevoie de metode speciale de calcul al limitelor.



Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

 

Matematică

•

140

•

15 nov. 2025

•

3 pagini

Numere Reale: Observații și Definiții Esențiale

B

Bianca Diaconița

@biancadiaconia

Mulțimile de numere reale sunt fundamentul matematicii, oferindu-ți instrumentele necesare pentru a înțelege cum sunt organizate numerele și cum pot fi reprezentate pe axa numerelor. Vei descoperi ce sunt intervalele și cum se notează corect, cunoștințe esențiale pentru rezolvarea inecuațiilor... Afișează mai mult

# Mulțimea nr. reale - Mulțimea nr. naturale: $N = \{0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulțimea nr. întregi: $Z = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulți

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Mulțimea numerelor reale

Numerele reale sunt organizate în mai multe submulțimi importante. Mulțimea numerelor naturale $N = {0, 1, 2, 3,...}$ și mulțimea numerelor întregi $Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}$ sunt cele mai simple.

Numerele raționale $Q = {\frac{m}{n}|m \in Z, n \in Z*}$ sunt fracții între numere întregi, iar numerele iraționale $Ir = R \setminus Q$ sunt cele care nu pot fi scrise ca fracții de exemplu $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.

Poți vizualiza toate numerele reale pe o dreaptă reală, unde fiecărui număr îi corespunde un singur punct și invers. Această dreaptă nu are capăt, extinzându-se la stânga spre −∞-\infty și la dreapta spre +∞+\infty.

Reține! Dreapta reală nu are întreruperi - este continuă, iar acest concept este esențial pentru înțelegerea intervalelor și a funcțiilor continue.

# Mulțimea nr. reale - Mulțimea nr. naturale: $N = \{0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulțimea nr. întregi: $Z = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulți

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Reprezentarea intervalelor

Intervalele sunt porțiuni din dreapta reală și pot fi mărginite (cu valori determinate la extremități) sau nemărginite cu cel puțin un capăt $-\infty$ sau $+\infty$.

Pentru notarea intervalelor folosim paranteze rotunde sau pătrate:

  • Paranteze pătrate ""sau"" sau "" indică faptul că extremitatea respectivă este inclusă (interval închis)
  • Paranteze rotunde "(" sau ")" arată că extremitatea nu este inclusă (interval deschis)

Exemplele de notații cele mai des întâlnite sunt:

  • [a,b]=x∈R∣a≤x≤b[a,b] = {x \in R | a \leq x \leq b} (interval închis)
  • (a,b)=x∈R∣a<x<b(a,b) = {x \in R | a < x < b} (interval deschis)
  • [a,b)=x∈R∣a≤x<b[a,b) = {x \in R | a \leq x < b} (închis la stânga, deschis la dreapta)
  • (−∞,a]=x∈R∣x≤a(-\infty, a] = {x \in R | x \leq a} (interval nemărginit, închis la dreapta)

Sfat practic: Când desenezi intervalele pe dreapta reală, marchează extremitățile incluse cu un punct plin (•) și cele neincluse cu un cerc gol (○).

# Mulțimea nr. reale - Mulțimea nr. naturale: $N = \{0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulțimea nr. întregi: $Z = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\}$ - Mulți

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Operații cu infinitul

Valorile +∞+\infty și −∞-\infty nu sunt numere reale propriu-zise, ci simboluri care reprezintă valori nelimitate. Totuși, putem face anumite operații cu acestea pentru a înțelege comportamentul limitelor.

Câteva reguli de bază pentru operațiile cu infinit:

  • Adunarea: +∞+∞=+∞+\infty + \infty = +\infty și +∞+a=+∞+\infty + a = +\infty pentru orice număr real aa
  • Înmulțirea: ∞⋅∞=∞\infty \cdot \infty = \infty și (−∞)⋅(−∞)=∞(-\infty) \cdot (-\infty) = \infty
  • Înmulțirea cu numere reale: x⋅∞=∞x \cdot \infty = \infty dacă x>0x > 0 și x⋅∞=−∞x \cdot \infty = -\infty dacă x<0x < 0
  • Împărțirea: 1∞=0\frac{1}{\infty} = 0 și x∞=0\frac{x}{\infty} = 0 pentru orice număr real xx

Există însă cazuri de nedeterminare când operațiile nu oferă un rezultat sigur, cum ar fi ∞−∞\infty - \infty. Același tip de operație poate da rezultate diferite (pozitive sau negative), deci nu putem atribui o valoare unică.

Important! Când întâlnești o formă de nedeterminare precum $\infty - \infty$, $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$, nu poți aplica regulile obișnuite - vei avea nevoie de metode speciale de calcul al limitelor.

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

0

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Simulare completă ✓ Planuri de eseu

Simulare
Quiz
Flashcard-uri
Eseu

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS