Funcții pare, funcții impare și funcții periodice

Funcțiile au proprietăți speciale care ne ajută să le studiem mai ușor. O funcție pară f$x$ are proprietatea că f$-x$=f$x$ pentru orice x. Asta înseamnă că graficul ei este simetric față de axa Oy.

O funcție impară respectă f$-x$=-f$x$ pentru orice x, iar graficul său este simetric față de origine.

O funcție periodică se repetă la intervale egale: f$x+T$=f$x$, unde T este perioada. Cea mai mică perioadă pozitivă se numește perioada principală.

💡 Bine de știut: Sinusul este o funcție impară, iar cosinusul este o funcție pară. Ambele sunt periodice cu perioada 2π!

Când lucrăm cu funcții, e important să înțelegem și numărul posibil de funcții între două mulțimi. Dacă A are n elemente și B are m elemente, numărul funcțiilor f:A→B este m^n. Pentru funcții bijective f:A→A, numărul este n!.

Funcția exponențială f$x$=a^x, cu a>0, a≠1 are proprietăți importante:

• Când a>1, funcția este strict crescătoare
• Când a∈(0,1), funcția este strict descrescătoare
• Este bijectivă (oricărui y>0 îi corespunde un singur x)

Funcția logaritmică f$x$=log_a x, cu a>0, a≠1 este inversul funcției exponențiale și:

• Când a>1, funcția este strict crescătoare
• Când a∈(0,1), funcția este strict descrescătoare
• Este bijectivă

Permutări și matrice

Permutările sunt aranjamente ale elementelor unei mulțimi. Notăm cu S_n mulțimea permutărilor de gradul n. Când lucrăm cu permutări, putem să le compunem - adică să aplicăm o permutare după alta.

Produsul (compunerea) a două permutări σ și τ se notează σ∘τ și înseamnă că aplicăm mai întâi τ, apoi σ. Permutările respectă câteva proprietăți importante:

• Compunerea este asociativă: (στ)δ = σ(τδ)
• Există element neutru: eσ = σe = σ
• Fiecare permutare are o inversă: σσ^$-1$ = σ^$-1$σ = e

O permutare poate fi pară sau impară, în funcție de numărul de inversiuni (perechi de elemente care își schimbă ordinea).

🔍 Observație utilă: O transpoziție (permutare care schimbă doar două elemente) este întotdeauna impară!

Matricele sunt aranjamente dreptunghiulare de numere. O matrice cu m linii și n coloane se notează A = $a_ij$, unde i = 1,2,...,m și j = 1,2,...,n.

Pentru o matrice pătratică (cu număr egal de linii și coloane), putem calcula urma matricei adunând elementele de pe diagonala principală: Tr(A) = a_11 + a_22 + ... + a_nn.

Transpusa unei matrice A se notează A^t și se obține prin schimbarea liniilor în coloane (sau invers). Dacă A are m linii și n coloane, atunci A^t va avea n linii și m coloane.

Determinanți și matrice inversabile

Determinanții ne ajută să analizăm sistemele de ecuații și să găsim matrice inverse. Iată câteva proprietăți importante:

1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse.
2. Dacă o linie sau o coloană are toate elementele zero, determinantul este zero.
3. Dacă schimbăm două linii sau coloane între ele, determinantul își schimbă semnul.
4. Dacă o matrice are două linii sau coloane identice, determinantul este zero.
5. Dacă înmulțim toate elementele unei linii sau coloane cu un număr a, determinantul se înmulțește cu a.

⚡ Atenție: Dacă ai două linii proporționale în matrice, determinantul este zero!

Pentru fiecare element a_ij al matricei, putem defini minorul M_ij (determinantul matricei obținute eliminând linia i și coloana j) și complementul algebric A_ij = $-1$^$i+j$M_ij.

O matrice este inversabilă dacă există o matrice A^$-1$ astfel încât A·A^$-1$ = A^$-1$·A = I_n (matricea unitate). O matrice este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero.

Formula pentru inversa unei matrice este: A^$-1$ = $1/detA$·A*, unde A* este adjuncta matricei A (se obține înlocuind fiecare element cu complementul său algebric și apoi transpunând).

Dacă două matrice A și B sunt inversabile, atunci:

• $A^(-1)$^$-1$ = A
• (AB)^$-1$ = B^$-1$A^$-1$

Rangul matricelor și sisteme de ecuații liniare

Rangul unei matrice ne spune câte linii (sau coloane) linear independente are matricea. Pentru o matrice A, rangul r este numărul natural pentru care există un minor de ordin r nenul, iar toți minorii de ordin mai mare sunt nuli.

Un sistem de m ecuații cu n necunoscute poate fi scris astfel:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ

Pentru un sistem, definim:

• matricea sistemului A (coeficienții necunoscutelor)
• matricea extinsă Ā (include și termenii liberi)
• matricea coloanelor B (termenii liberi)
• matricea necunoscutelor X

💡 Reține: Un sistem poate fi compatibil (are cel puțin o soluție) sau incompatibil (nu are soluții). Dacă are exact o soluție, este compatibil determinat; dacă are mai multe, este compatibil nedeterminat.

Metoda lui Cramer ne ajută să rezolvăm sistemele unde numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute și determinantul matricei sistemului este nenul. Soluția este xi = Δi/Δ, unde Δi se obține înlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi.

Teorema lui Kronecker-Capelli ne spune că un sistem este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

Teorema lui Rouche afirmă că un sistem este compatibil dacă și numai dacă toți minorii caracteristici sunt nuli.

Ecuații reciproce și șiruri de numere reale

Când lucrezi cu polinoame, poți folosi relații între coeficienți și rădăcini. De exemplu, pentru un polinom de gradul 3, f = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀, relațiile lui Vieta sunt:

x₁ + x₂ + x₃ = -a₂/a₃
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = a₁/a₃
x₁x₂x₃ = -a₀/a₃

O ecuație reciprocă are forma a_nx^n + a_$n-1$x^$n-1$ + ... + a_1x + a_0 unde a_$n-i$ = a_i pentru orice i. Orice ecuație reciprocă de grad impar are rădăcina -1.

🔍 Truc util: Pentru ecuații reciproce de gradul 4, poți face substituția t = x + 1/x, reducând ecuația la una de gradul 2!

Șirurile de numere reale sunt funcții definite pe mulțimea numerelor naturale. Un șir $a_n$ poate fi:

• crescător dacă a_n ≤ a_$n+1$ pentru orice n
• strict crescător dacă a_n < a_$n+1$ pentru orice n
• descrescător dacă a_n ≥ a_$n+1$ pentru orice n
• strict descrescător dacă a_n > a_$n+1$ pentru orice n

Un șir este mărginit dacă există numere α și β astfel încât α ≤ a_n ≤ β pentru orice n.

Un șir cu limită finită se numește convergent, iar un șir fără limită sau cu limită infinită se numește divergent. Orice șir convergent este mărginit, ceea ce înseamnă că dacă un șir este nemărginit, atunci este divergent.

Limite și funcții continue

Există mai multe limite importante pe care trebuie să le știi:

Pentru funcția exponențială:

• Când x→∞, a^x → ∞ dacă a > 1, și a^x → 0 dacă a ∈ (0,1)
• Când x→-∞, a^x → 0 dacă a > 1, și a^x → ∞ dacă a ∈ (0,1)

Pentru funcția logaritmică:

• Când x→∞, log_a x → ∞ dacă a > 1, și log_a x → -∞ dacă a ∈ (0,1)
• Când x→0, log_a x → -∞ dacă a > 1, și log_a x → ∞ dacă a ∈ (0,1)

💡 Limitele fundamentale: Asigură-te că știi limite precum lim_(x→0) (sin x)/x = 1 și lim_(x→∞) $1+1/x$^x = e!

Funcțiile continue sunt cele la care mici schimbări în valoarea lui x produc mici schimbări în valoarea funcției.

Formal, o funcție f:D→R este continuă în x₀∈D (punct de acumulare pentru D) dacă lim_(x→x₀) f$x$ = f(x₀).

Dacă f nu este continuă în x₀, spunem că este discontinuă în x₀, iar x₀ este un punct de discontinuitate.

Punctele de discontinuitate pot fi:

• de speța întâi - când limitele laterale există și sunt finite
• de speța a doua - când cel puțin una din limitele laterale nu există sau nu este finită

Funcțiile elementare (polinomiale, raționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe domeniile lor maxime de definiție.

Operațiile cu funcții continue (adunare, înmulțire, împărțire unde numitorul nu se anulează, valoare absolută, maximum, minimum) dau tot funcții continue. De asemenea, compunerea a două funcții continue este continuă.

Asimptote și funcții derivabile

Asimptotele sunt drepte de care graficul unei funcții se apropie la infinit. Ele pot fi:

1. Asimptote verticale - drepte de forma x=a, unde funcția tinde spre infinit (sau minus infinit) când x se apropie de a

2. Asimptote oblice - drepte de forma y=mx+n, unde m≠0. O funcție f are asimptotă oblică spre +∞ dacă:

   • m = lim_(x→∞) f$x$/x
   • n = lim_(x→∞) $f(x)-mx$

3. Asimptote orizontale - drepte de forma y=l, unde l = lim_(x→∞) f$x$

⚡ Important: O funcție nu poate avea simultan asimptotă orizontală și oblică în aceeași direcție!

Funcțiile derivabile sunt acele funcții pentru care există derivata într-un punct:

Derivata într-un punct x₀ este: f'(x₀) = lim_(x→x₀) $f(x)-f(x₀)$/$x-x₀$

Dacă f este derivabilă în x₀, graficul funcției are în punctul (x₀, f(x₀)) o tangentă cu ecuația: y-f(x₀) = f'(x₀)$x-x₀$.

O funcție este derivabilă într-un punct dacă derivatele laterale există, sunt egale și finite în acel punct. Orice funcție derivabilă într-un punct este și continuă în acel punct (dar nu și invers).

Există puncte speciale pe graficul unei funcții:

• Puncte de întoarcere - funcția este continuă și are derivate laterale infinite și diferite
• Puncte unghiulare - funcția este continuă, are derivate laterale diferite, și cel puțin una este finită

Primitive și integrale nedefinite

O primitivă a unei funcții f pe un interval I este orice funcție F derivabilă pe I cu proprietatea că F'$x$ = f$x$ pentru orice x din I.

Orice funcție continuă are primitive pe intervalul său de definiție. Dacă o funcție admite primitive pe un interval, atunci ea are proprietatea lui Darboux (funcția ia toate valorile intermediare).

💡 Util de știut: Dacă o funcție are discontinuități de speța întâi sau imaginea sa nu este un interval, atunci ea nu admite primitive!

Iată câteva integrale nedefinite importante:

• ∫x^n dx = x^$n+1$/$n+1$ + C, n ∈ N, x ∈ R
• ∫x^a dx = x^$a+1$/$a+1$ + C, a ∈ R, a ≠ -1, x ∈ (0, ∞)
• ∫$1/x$ dx = ln|x| + C, x ≠ 0
• ∫a^x dx = a^x/ln a + C, a > 0, a ≠ 1
• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫$1/cos²x$ dx = tg x + C, cos x ≠ 0
• ∫$1/sin²x$ dx = -ctg x + C, sin x ≠ 0

Mai avem și alte integrale pentru fracții de tipul 1/$x²-a²$, 1/$x²+a²$, 1/√$a²-x²$, etc., care dau rezultate cu logaritmi și funcții trigonometrice.

Integrala definită

Integrala definită ne permite să calculăm aria sub curbă și are multe aplicații practice. Funcțiile continue și funcțiile monotone pe un interval [a,b] sunt integrabile pe acel interval.

Proprietățile funcțiilor integrabile sunt:

a) Linearitatea:

• ∫[a,b] $f(x) + g(x)$ dx = ∫[a,b] f$x$ dx + ∫[a,b] g$x$ dx
• ∫[a,b] λf$x$ dx = λ∫[a,b] f$x$ dx

b) Dacă f$x$ ≥ 0 pe [a,b], atunci ∫[a,b] f$x$ dx ≥ 0

c) Dacă f$x$ ≥ g$x$ pe [a,b], atunci ∫[a,b] f$x$ dx ≥ ∫[a,b] g$x$ dx

d) Aditivitatea în raport cu intervalul: ∫[a,b] f$x$ dx = ∫[a,c] f$x$ dx + ∫[c,b] f$x$ dx pentru orice c ∈ (a,b)

e) |∫[a,b] f$x$ dx| ≤ ∫[a,b] |f$x$| dx

🔍 Formula Leibniz-Newton este esențială: ∫[a,b] f$x$ dx = F$b$ - F$a$, unde F este o primitivă a lui f

Teorema de medie spune că dacă f este continuă pe [a,b], există c ∈ [a,b] astfel încât: ∫[a,b] f$x$ dx = $b-a$f$c$

Dacă g este o funcție continuă pe [a,b], atunci funcția G$x$ = ∫[a,x] g$t$ dt are proprietățile:

1. G este continuă pe [a,b] și G$a$ = 0
2. G este derivabilă pe [a,b] și G'$x$ = g$x$

Adică: derivata integralei nedefinite este chiar funcția integrandă.

Formule de integrare și aplicații

Formula de integrare prin părți este extrem de utilă când integrăm produse de funcții:

∫[a,b] f$x$g'$x$ dx = [f$x$g$x$]_a^b - ∫[a,b] f'$x$g$x$ dx

Pentru funcțiile cu paritate, avem proprietăți speciale:

1. Dacă f este o funcție pară pe $-a,a$, atunci: ∫$-a,a$ f$x$ dx = 2∫[0,a] f$x$ dx

2. Dacă f este o funcție impară pe $-a,a$, atunci: ∫$-a,a$ f$x$ dx = 0

💡 Trucul: Pentru funcții pare, calculezi doar jumătate din interval și înmulțești cu 2!

Pentru funcțiile periodice cu perioada T, avem: ∫$a,a+T$ f$x$ dx = ∫[0,T] f$x$ dx, pentru orice a ∈ R

Aria unui domeniu din plan se poate calcula folosind integrala definită:

1. Aria domeniului mărginit de dreptele x=a, x=b, y=0 și graficul funcției f pozitive și continue: A = ∫[a,b] f$x$ dx

2. Pentru o funcție f de semn oarecare: A = ∫[a,b] |f$x$| dx

3. Aria domeniului mărginit de dreptele x=a, x=b și graficele funcțiilor continue f și g: A = ∫[a,b] |g$x$ - f$x$| dx

Volumul unui corp de rotație obținut prin rotirea graficului unei funcții f în jurul axei Ox: V = π∫[a,b] f²$x$ dx