Vectori în Matematică: Definiții și Exemple

Definiții fundamentale pentru vectori

Un vector este o mărime matematică caracterizată prin direcție, sens și valoare. Când două drepte sunt fie identice, fie paralele, spunem că ele au aceeași direcție.

Când avem un segment orientat sau vector legat, notat $\overrightarrow{AB}$, punctul A reprezintă originea vectorului, iar B este vârful acestuia. Lungimea segmentului [AB] se numește modulul vectorului și se notează $|\overrightarrow{AB}|$.

Dreapta AB reprezintă suportul vectorului, iar direcția acestei drepte devine direcția vectorului. Două segmente orientate au același sens dacă semidreptele lor corespunzătoare se află în același semiplan.

⚠️ Nu confunda un vector cu un simplu segment! Vectorul are și o orientare specifică, pe când segmentul este doar o porțiune de dreaptă între două puncte.

Dacă două segmente orientate au același modul, aceeași direcție și același sens, ele sunt echipolente (notație "~"). Un vector liber este mulțimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment dat.

Relații între vectori

Vectorii ne permit să descriem mai precis relațiile între obiectele geometrice. Doi vectori sunt coliniari dacă au aceeași direcție, indiferent de sens.

Două segmente orientate $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ au aceeași direcție dacă dreptele AB și CD sunt paralele sau coincid. Ele au același sens când semidreptele $(AB$ și $(CD$ se află de aceeași parte a dreptei care unește originile lor.

Pentru vectorii echipolenți, se respectă simultan trei condiții: au același modul, aceeași direcție și același sens. De exemplu, dacă avem segmentele orientate $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$, ele sunt echipolente când îndeplinesc toate aceste trei condiții.

Vectorul liber este un concept abstract care ne permite să lucrăm cu proprietățile vectorilor independent de poziția lor în plan. Când notăm vectori liberi, folosim simboluri ca $\vec{v}$, $\vec{u}$, $\vec{a}$, etc.

💡 Poți gândi vectorii coliniari ca săgeți orientate pe aceeași linie sau pe linii paralele, indiferent dacă "arată" în aceeași direcție sau în direcții opuse.

Operații cu vectori - Adunarea vectorilor

Adunarea vectorilor este o operație fundamentală care ne ajută să combinăm două sau mai multe deplasări. Fie $\vec{a}$ și $\vec{b}$ doi vectori în plan, suma lor este vectorul $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$.

Regula paralelogramului:

1. Plasează vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ astfel încât să aibă aceeași origine (punctul E)
2. Construiește un paralelogram folosind acești vectori ca laturi
3. Suma $\vec{a} + \vec{b}$ este diagonala paralelogramului care pleacă din originea comună (vectorul $\overrightarrow{EH}$)

Regula triunghiului:

1. Plasează al doilea vector ($\vec{b}$) astfel încât originea sa să coincidă cu vârful primului vector ($\vec{a}$)
2. Suma $\vec{a} + \vec{b}$ este vectorul care are originea în originea primului vector și vârful în vârful celui de-al doilea vector (vectorul $\overrightarrow{EH}$)

🔑 Regula triunghiului este cel mai ușor de aplicat practic și reprezintă practic o deplasare succesivă: mai întâi în direcția primului vector, apoi în direcția celui de-al doilea.

Ambele metode dau același rezultat, iar alegerea metodei depinde doar de ce îți este mai ușor să desenezi în situația dată.

Adunarea mai multor vectori și proprietăți

Regula poligonului extinde regula triunghiului pentru adunarea mai multor vectori:

1. Plasează vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, etc. unul după altul (originea fiecăruia coincide cu vârful precedentului)
2. Suma $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + ...$ este vectorul care are originea în originea primului vector și vârful în vârful ultimului vector (ca în exemplul cu vectorul $\overrightarrow{EJ}$)

Proprietățile adunării vectorilor:

1. Comutativitate: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (ordinea nu contează)
2. Asociativitate: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ (modul de grupare nu contează)
3. Element neutru: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$ (vectorul nul nu modifică suma)
4. Element opus: Pentru orice vector $\vec{a}$ există vectorul opus $-\vec{a}$ cu aceeași lungime și direcție, dar sens opus. Astfel, $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

💡 Aceste proprietăți fac ca algebra vectorilor să fie similară cu algebra numerelor reale, ceea ce ne permite să manipulăm expresii vectoriale cu ușurință.

Exercițiu: Pentru punctele distincte A, B, C, D, E putem calcula sume vectoriale precum $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (observă cum se anulează punctul B).

Înmulțirea vectorilor cu numere reale și vectori în reper cartezian

Când înmulțim un vector $\vec{v}$ cu un număr real (scalar) $\alpha$, obținem un vector $\alpha \cdot \vec{v}$ care:

• Are aceeași direcție ca $\vec{v}$
• Are modul $|\alpha \cdot \vec{v}| = |\alpha| \cdot |\vec{v}|$
• Are același sens cu $\vec{v}$ dacă $\alpha > 0$, sens opus dacă $\alpha < 0$, și devine vectorul nul când $\alpha = 0$

Doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari dacă și numai dacă există un scalar $\alpha$ astfel încât $\vec{a} = \alpha \cdot \vec{b}$.

În reperul cartezian din plan, folosim versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$ (vectori unitari pe axele OX și OY) pentru a descrie orice vector. Astfel, pentru un punct M(x,y) în plan:

• Vectorul de poziție $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$
• Numerele x și y sunt coordonatele vectorului $\overrightarrow{OM}$

🔍 Descompunerea unui vector în componente după axele de coordonate este esențială pentru calcule matematice precise. Este ca și cum am spune "mergi 3 pași la dreapta și 2 pași înainte" în loc de "mergi în direcția aceea".

Reperul cartezian (O; $\vec{i}$; $\vec{j}$) ne oferă un cadru standard pentru exprimarea și calculul vectorilor.

Coordonatele vectorilor și calculul modulului

În reperul cartezian, orice vector poate fi scris în funcție de versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$. Pentru un punct M(x,y), vectorul său de poziție este $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

Definiții importante:

• Versorii sunt vectori unitari (de lungime 1) care determină direcțiile axelor de coordonate
• Reperul cartezian este sistemul format din originea O și versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$
• Vectorul de poziție al unui punct este vectorul de la originea reperului la acel punct

Pentru un vector $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$, modulul se calculează cu formula: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Dacă avem două puncte A și B cu coordonatele A($x_A$, $y_A$) și B($x_B$, $y_B$), atunci:

• Vectorul $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$
• Modulul $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, care reprezintă chiar distanța dintre punctele A și B

⚠️ Atenție la ordinea punctelor când calculezi vectorul $\overrightarrow{AB}$ - este diferit de $\overrightarrow{BA}$! De fapt, $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.

Coordonatele ne permit să facem calcule precise cu vectori și să rezolvăm probleme complexe de geometrie analitică.

Operații cu vectori în coordonate și modulul vectorului

Când lucrăm cu vectori în coordonate, operațiile devin foarte simple. Pentru doi vectori $\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j}$ și $\vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j}$:

Adunarea: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1)\vec{i} + (a_2 + b_2)\vec{j}$ Scăderea: $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1)\vec{i} + (a_2 - b_2)\vec{j}$ Înmulțirea cu scalar: $\alpha\vec{a} = \alpha a_1\vec{i} + \alpha a_2\vec{j}$

Pentru un vector $\vec{AB}$ între punctele A($x_A$, $y_A$) și B($x_B$, $y_B$):

• Coordonatele: $\vec{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$
• Modulul: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Exemple de calcule:

• Pentru $\vec{CD} = -3\vec{i} + \vec{j}$, modulul este $|\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
• Pentru punctele A$-5,2$ și B$0,-7$, putem calcula:
  1. Coordonatele vectorului: $\vec{AB} = 5\vec{i} + (-9)\vec{j}$
  2. Modulul: $|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + (-9)^2} = \sqrt{106}$

🔑 Modulul vectorului reprezintă lungimea sa geometrică și coincide cu distanța dintre punctele care definesc vectorul.

Aceste formule ne permit să rezolvăm rapid probleme cu vectori fără a face construcții geometrice complexe.

Operații cu vectori și aplicații în geometrie

Operații cu vectori în coordonate ne permit să rezolvăm eficient diverse probleme:

Pentru vectorii $\vec{v_1} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}$ și $\vec{v_2} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$:

• Suma: $\vec{v_1} + \vec{v_2} = (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j}$
• Diferența: $\vec{v_1} - \vec{v_2} = (x_1 - x_2)\vec{i} + (y_1 - y_2)\vec{j}$
• Înmulțirea cu scalar: $a\vec{v} = ax\vec{i} + ay\vec{j}$

Exemplu: Pentru vectorii $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ și $\vec{b} = -5\vec{i} - \vec{j}$:

• $\vec{a} + \vec{b} = (2-5)\vec{i} + (3-1)\vec{j} = -3\vec{i} + 2\vec{j}$
• $2\vec{a} - 3\vec{b} = 2(2\vec{i} + 3\vec{j}) - 3(-5\vec{i} - \vec{j}) = 4\vec{i} + 6\vec{j} + 15\vec{i} + 3\vec{j} = 19\vec{i} + 9\vec{j}$

Calculul distanței între puncte: Pentru punctele A(x₁,y₁) și B(x₂,y₂), distanța este: $d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²}$

💡 Operațiile cu vectori sunt similare celor cu numere complexe în formă algebrică - se adună/scad componentele de pe aceleași direcții.

Vectorii sunt instrumente puternice în geometrie, fizică și multe alte domenii științifice, permițându-ne să descompunem și să analizăm forțe, mișcări și relații spațiale.

Mijlocul segmentului și centrul de greutate al triunghiului

Coordonatele mijlocului unui segment: Pentru segmentul [AB] cu A($x_A$, $y_A$) și B($x_B$, $y_B$), mijlocul M are coordonatele:

• $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
• $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Exemplu: Pentru A$-3,0$ și B$2,-1$, mijlocul M are coordonatele:

• $x_M = \frac{-3+2}{2} = -\frac{1}{2}$
• $y_M = \frac{0-1}{2} = -\frac{1}{2}$ Deci M($-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$)

Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi: Pentru triunghiul ABC cu A($x_A$, $y_A$), B($x_B$, $y_B$) și C($x_C$, $y_C$), centrul de greutate G are coordonatele:

• $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
• $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

Exemplu: Pentru triunghiul cu A$-3,0$, B$2,-1$ și C(0,5), centrul de greutate G are coordonatele:

• $x_G = \frac{-3+2+0}{3} = -\frac{1}{3}$
• $y_G = \frac{0-1+5}{3} = \frac{4}{3}$ Deci G($-\frac{1}{3}$, $\frac{4}{3}$)

🔍 Centrul de greutate al unui triunghi este punctul de concurență al medianelor și împarte fiecare mediană în raportul 2:1 (începând de la vârf).

Aceste formule sunt foarte utile în rezolvarea problemelor de geometrie analitică, permițându-ne să calculăm rapid coordonatele unor puncte importante fără a face construcții geometrice complexe.