Mulțimea numerelor reale

Numerele reale (R) reprezintă una dintre cele mai importante mulțimi din matematică. Ea include numerele naturale (N), numerele întregi (Z) și numerele raționale (Q).

Relația dintre aceste mulțimi este: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Numerele care sunt reale dar nu sunt raționale se numesc numere iraționale.

Operația de adunare pe R asociază fiecărei perechi de numere reale un unic număr real numit sumă. Aceasta are câteva proprietăți importante:

• Comutativă: a + b = b + a $ex: √3 + 2√3 = 2√3 + √3$
• Asociativă: $a + b$ + c = a + $b + c$
• Element neutru: a + 0 = a
• Opusul lui a este -a

Bine de știut! Operațiile cu numere reale sunt fundamentale pentru algebră și analiză matematică. Înțelegerea lor te va ajuta enorm la rezolvarea exercițiilor mai complexe.

Înmulțirea și rădăcina pătrată

Înmulțirea numerelor reale are proprietăți similare adunării. Pentru orice numere reale a, b și c:

• Comutativă: a·b = b·a
• Asociativă: (a·b)·c = a·(b·c)
• Element neutru: a·1 = a
• Inversul lui a este a⁻¹ = 1/a (când a ≠ 0)

Rădăcina pătrată a unui număr real pozitiv a este numărul real pozitiv care, ridicat la pătrat, dă a. Notăm această operație cu √a.

Câteva reguli importante pentru operații cu radicali:

• √a · √b = √(a·b)
• √$a/b$ = √a/√b
• √$a^m$ = (√a)^m
• a√b = √(a²·b)

Atenție! Întotdeauna √a² = |a|, nu doar a. Asta pentru că rădăcina pătrată dă mereu un rezultat pozitiv, iar modulul asigură această condiție.

Modulul unui număr real

Modulul unui număr real x, notat |x|, reprezintă distanța de la x până la originea axei numerelor reale (0). Matematic:

• |x| = x, dacă x ≥ 0
• |x| = -x, dacă x < 0

Câteva exemple: |10| = 10, |-10| = 10, |5√2| = 5√2, |2-√7| = √7-2 (dacă √7 > 2).

Proprietățile modulului sunt foarte utile în rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor:

• |x| ≥ 0 pentru orice x
• |x| = 0 doar dacă x = 0
• |xy| = |x|·|y|
• |x/y| = |x|/|y|
• |x+y| ≤ |x| + |y| (inegalitatea triunghiului)

Trucul meu preferat: O inecuație de forma |x| < c înseamnă că x ∈ $-c, c$, iar |x| > c înseamnă că x ∈ $-∞, -c$ ∪ $c, +∞$. Acest lucru îți va simplifica mult rezolvarea inecuațiilor!

Formula radicalilor compuși

Când lucrezi cu expresii de forma √(a±√b), poți folosi formulele radicalilor compuși pentru a le simplifica:

• √$a+√b$ = √$(a+c)/2$ + √$(a-c)/2$, unde c = √$a²-b$
• √$a-√b$ = √$(a+c)/2$ - √$(a-c)/2$, unde c = √$a²-b$

Să vedem un exemplu: pentru √(5+2√6), avem:

• a = 5
• b = 24 $deoarece 2√6 = √24$
• c = √(5²-24) = √(25-24) = √1 = 1

Aplicând formula: √(5+2√6) = √((5+1)/2) + √((5-1)/2) = √3 + √2

Sfat util: Aceste formule par complicate la început, dar cu puțină practică vei vedea că te ajută mult la simplificarea expresiilor care conțin radicali compuși.

Aproximări prin lipsă sau adaos

Pentru un număr real pozitiv x, putem face aproximări zecimale cu o eroare mai mică decât 10⁻ⁿ în două moduri:

• Aproximarea prin lipsă (x'): păstrăm primele n cifre zecimale
• Aproximarea prin adaos (x''): aproximarea prin lipsă + 10⁻ⁿ

De exemplu, pentru x = √6 = 2,449483742...:

Avem întotdeauna relația: x' ≤ x ≤ x''.

Important: În practică, când rezolvi probleme, vei folosi adesea aproximările. Este esențial să știi dacă trebuie să aproximezi prin lipsă sau prin adaos, în funcție de contextul problemei.

Partea întreagă și partea fracționară

Partea întreagă a unui număr real x, notată $x$, este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x.

Exemple:

• $4,57$ = 4
• $-4,57$ = -5 $atenție, nu -4!$

Partea fracționară a unui număr x, notată {x}, se calculează ca x - $x$.

Exemple:

• {4,57} = 4,57 - 4 = 0,57
• {-4,57} = -4,57 - (-5) = 0,43

Câteva proprietăți importante:

• x - 1 < $x$ ≤ x
• $x$ ≤ x < $x$ + 1
• 0 ≤ {x} < 1
• $x + n$ = $x$ + n, pentru orice n întreg

Nu uita! Egalitatea lui Hermite: $x$ + $-x$ = 0 sau -1, în funcție de valoarea lui {x}. Acest lucru te va ajuta mult în problemele cu partea întreagă.

Intervale de numere reale

Intervalele sunt submulțimi ale mulțimii numerelor reale care conțin toate numerele cuprinse între două capete (care pot fi incluse sau excluse).

Intervalele mărginite:

• $a, b$ = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (interval închis)
• (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} $interval semi-deschis$
• [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} $interval semi-deschis$
• (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} (interval deschis)

Intervalele nemărginite:

• (-∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
• $a, +∞$ = {x ∈ R | x > a}

Operații cu intervale:

• A ∪ B = reuniune (numerele care sunt în A sau în B)
• A ∩ B = intersecție (numerele care sunt și în A și în B)
• A \ B = diferență (numerele din A care nu sunt în B)

Vizualizează! Desenează intervalele pe axa numerelor reale pentru a înțelege mai bine relațiile dintre ele. Acest lucru te va ajuta enorm la rezolvarea inecuațiilor.

Propoziție, predicat și cuantificatori

În logica matematică, întâlnim câțiva termeni fundamentali:

O propoziție este un enunț care poate fi doar adevărat sau fals. Valoarea sa de adevăr, notată v(p), este 1 pentru adevărat și 0 pentru fals.

Exemple de propoziții:

• "Numărul 2 este impar" (falsă)
• "Anul 2004 este bisect" (adevărată)

Un predicat este un enunț care depinde de una sau mai multe variabile și care devine o propoziție când variabilelor li se atribuie valori.

Cuantificatorii sunt operatori logici care exprimă cantitatea:

• ∀ $pentru orice/oricare$
• ∃ (există)

Aplicație practică: Cuantificatorii sunt foarte importanți în definirea conceptelor matematice. De exemplu, definiția continuității unei funcții folosește ambii cuantificatori: "∀ε>0, ∃δ>0 astfel încât...".

Operații logice elementare

În logica matematică avem cinci operații fundamentale:

1. Negația (¬p sau p̄): inversează valoarea de adevăr a propoziției

   • v(¬p) = 1 - v(p)

2. Disjuncția (p ∨ q): adevărată când cel puțin una dintre propoziții este adevărată

   • v(p ∨ q) = max(v(p), v(q))

3. Conjuncția (p ∧ q): adevărată doar când ambele propoziții sunt adevărate

   • v(p ∧ q) = min(v(p), v(q))

4. Implicația (p → q): falsă doar când antecedentul (p) e adevărat și consecventul (q) e fals

   • v(p → q) = 1 dacă v(p) ≤ v(q)

5. Echivalența (p ↔ q): adevărată când ambele propoziții au aceeași valoare de adevăr

   • v(p ↔ q) = 1 dacă v(p) = v(q)

Pont pentru examen: Implicația p → q este echivalentă cu ¬p ∨ q. Această transformare te poate ajuta mult la demonstrarea echivalenței unor expresii logice.

Metoda inducției matematice

Inducția matematică este o metodă de demonstrație pentru propoziții care depind de un număr natural n. Metoda are doi pași:

1. Verificarea bazei de inducție: demonstrăm că propoziția P(m) este adevărată pentru un număr natural m inițial $adesea m = 1$

2. Pasul inductiv: presupunem că P(k) este adevărată și demonstrăm că P(k) → P$k+1$ este adevărată

Exemplu: Să demonstrăm că 1 + 2 + 3 + ... + n = n$n+1$/2 pentru orice n ≥ 1.

Baza: Pentru n = 1, avem 1 = 1(1+1)/2 = 1 (adevărat)

Pasul inductiv: Presupunem P(k): 1 + 2 + ... + k = k$k+1$/2 Trebuie să arătăm că P$k+1$: 1 + 2 + ... + k + $k+1$ = $k+1$$k+2$/2

Secret de succes: În inducția matematică, pasul inductiv este crucial. Pornește întotdeauna de la membrul stâng al lui P$k+1$ și folosește presupunerea că P(k) este adevărată pentru a ajunge la membrul drept.