Mulțimi numerice și operații cu mulțimi

Matematica folosește diferite tipuri de numere, organizate în mulțimi. Cea mai simplă este mulțimea numerelor naturale (ℕ), care include 0, 1, 2, 3 și așa mai departe.

Pe lângă numerele naturale, avem și alte mulțimi importante:

• Mulțimea numerelor întregi (ℤ): include numere negative, zero și pozitive
• Mulțimea numerelor raționale (ℚ): numere care pot fi scrise ca fracții
• Mulțimea numerelor reale (ℝ): include toate numerele de pe axa numerelor

Putem face diferite operații cu mulțimile:

• Reuniunea (A∪B): toate elementele care aparțin fie lui A, fie lui B, fie ambelor
• Intersecția (A∩B): elementele comune ambelor mulțimi

Ține minte! Mulțimile se includ una în alta: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Asta înseamnă că orice număr natural este și întreg, orice întreg este și rațional, și așa mai departe.

Intervale și teoreme de împărțire

Când vorbim despre diferența dintre mulțimi, notăm A\B și obținem elementele care aparțin lui A, dar nu aparțin lui B.

În matematică, există două teoreme importante despre împărțire:

• Teorema împărțirii cu rest în ℕ: Pentru orice număr natural a și orice număr natural nenul b, există un cât c și un rest r, cu r mai mic decât b
• Teorema împărțirii cu rest în ℤ: Funcționează similar pentru numerele întregi

Intervalele sunt mulțimi de numere reale între două valori. Ele pot fi:

• Interval deschis (a,b): numerele strict între a și b
• Interval închis $a,b$: numerele între a și b, inclusiv a și b
• Interval semideschis (a,b] sau [a,b): include doar unul dintre capete

Sfat util: Când vezi modulul unui număr (|x|), gândește-te la distanța de la x la 0 pe axa numerelor. De exemplu, |x| < a înseamnă că x este în intervalul $-a,a$.

Intervale nemărginite și aproximări

Uneori avem nevoie să reprezentăm mulțimi de numere care se extind la infinit. Pentru asta folosim intervale nemărginite:

• (a,∞): toate numerele mai mari decât a
• [a,∞): toate numerele mai mari sau egale cu a
• $-∞,a$: toate numerele mai mici decât a
• (-∞,a]: toate numerele mai mici sau egale cu a

Aproximările ne ajută să lucrăm mai ușor cu numere mari:

• Aproximarea prin lipsă la zeci, sute, etc. înseamnă să rotunjim în jos
• Aproximarea prin adaos înseamnă să rotunjim în sus

Pentru operațiile matematice de bază, e important să știi proprietățile lor:

• Adunarea este comutativă $a+b=b+a$ și asociativă $(a+b)+c=a+(b+c)$
• Înmulțirea este comutativă, asociativă și distributivă față de adunare

Notă importantă: În viața de zi cu zi, aproximările sunt foarte utile - când estimezi cât timp îți ia să ajungi la școală sau câți bani vei cheltui la cumpărături.

Puteri și proprietățile lor

Puterile sunt o modalitate rapidă de a scrie înmulțirea repetată a aceluiași număr. De exemplu, a^n înseamnă a înmulțit cu el însuși de n ori.

Câteva reguli importante pentru puteri:

• a^0 = 1 (pentru orice a diferit de 0)
• a^1 = a
• 1^n = 1 (pentru orice n)
• 0^n = 0 (pentru n > 0)

Când lucrezi cu puteri, poți folosi următoarele proprietăți:

• La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, aduni exponenții: a^m · a^n = a^$m+n$
• La împărțirea puterilor cu aceeași bază, scazi exponenții: a^m / a^n = a^$m-n$
• Puterea unei puteri înseamnă înmulțirea exponenților: $a^m$^n = a^(m·n)

Un truc util este suma lui Gauss, care te ajută să calculezi rapid suma primelor n numere naturale: 1+2+3+...+n = n$n+1$/2.

Uite un truc! Pentru a calcula (-1)^n, verifică dacă n este par sau impar. Dacă n e par, rezultatul este 1. Dacă n e impar, rezultatul este -1.

Divizibilitate și criterii

Factorialul unui număr natural n, notat n!, este produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n. De exemplu, 5! = 1·2·3·4·5 = 120.

În aritmetică, spunem că un număr a este divizibil cu b dacă există un număr natural c astfel încât a = b·c. Când un număr se divide exact la altul, nu rămâne rest.

Câteva proprietăți importante ale divizibilității:

• Orice număr este divizibil cu 1
• Orice număr divide 0
• Dacă d divide a și d divide b, atunci d divide și suma a+b

Criteriile de divizibilitate te ajută să verifici rapid dacă un număr se împarte exact la altul:

• Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8
• Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3
• Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5
• Un număr este divizibil cu 10 dacă ultima cifră este 0

Exemplu practic: Poți verifica rapid dacă 324 este divizibil cu 3 calculând 3+2+4=9. Deoarece 9 este divizibil cu 3, și 324 este divizibil cu 3!

Divizori și numere prime

Divizorii proprii ai unui număr sunt toți divizorii săi cu excepția lui 1 și a numărului însuși. De exemplu, divizorii proprii ai lui 12 sunt 2, 3, 4 și 6.

Un număr natural mai mare decât 1 care are doar doi divizori (1 și el însuși) se numește număr prim. Dacă are mai mulți divizori, este un număr compus.

CMMDC (cel mai mare divizor comun) a două numere este cel mai mare număr care divide exact ambele numere. Pentru a-l calcula:

• Descompune numerele în factori primi
• Alege factorii comuni, la cea mai mică putere
• Înmulțește-i între ei

CMMMC (cel mai mic multiplu comun) a două numere este cel mai mic număr care se divide exact la ambele numere. Pentru a-l calcula:

• Descompune numerele în factori primi
• Ia toți factorii (comuni și necomuni), la cea mai mare putere
• Înmulțește-i între ei

Formula magică: Pentru orice două numere a și b: (a,b) · $a,b$ = a · b. Asta îți permite să calculezi CMMMC dacă știi CMMDC, sau invers.

Operații cu numere întregi și fracții

La înmulțirea și adunarea numerelor întregi, trebuie să ții cont de semne:

• Plus cu plus dă plus: $+a$ + $+b$ = +$a+b$
• Plus cu minus: depinde care e mai mare
• Minus cu minus dă plus: $-a$ · $-b$ = +(a·b)
• Minus cu plus dă minus: $-a$ · $+b$ = -(a·b)

Fracția ordinară se scrie sub forma a/b, unde a se numește numărător și b numitor. Fracțiile pot fi:

• Subunitare când a < b $ex: 3/7$
• Echiunitare când a = b $ex: 5/5 = 1$
• Supraunitare când a > b $ex: 7/3$

Două fracții sunt echivalente dacă a·d = b·c. O fracție este ireductibilă când numărătorul și numitorul sunt prime între ele (nu au divizori comuni).

Pentru a simplifica o fracție, împărțim și numărătorul și numitorul la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplu util: Fracția 12/18 se poate simplifica împărțind și numărătorul și numitorul la 6, obținând 2/3. Această fracție este ireductibilă pentru că 2 și 3 nu au divizori comuni.

Fracții și procente

Pentru a introduce un număr întreg într-o fracție, folosești formula: a/c = $a·c+b$/c.

Procentul este o fracție cu numitorul 100. De exemplu, 25% = 25/100 = 1/4.

La împărțirea fracțiilor, înmulțim prima fracție cu inversul celei de-a doua: $a/b$ : $c/d$ = $a/b$ · $d/c$ = (a·d)/(b·c).

Fracțiile zecimale sunt un mod de a scrie fracțiile folosind virgulă. Orice fracție cu numitorul o putere a lui 10 poate fi scrisă ca fracție zecimală.

Pentru a transforma o fracție zecimală în fracție ordinară:

• Pentru zecimale periodice simple: 0,(a) = a/9
• Pentru zecimale periodice mixte: 0,a(b) = $10a+b-a$/90

Putem ridica fracțiile la putere folosind proprietăți similare cu cele ale puterilor numerelor întregi:

• $a/b$^m · $a/b$^n = $a/b$^$m+n$
• $a/b$^m : $a/b$^n = $a/b$^$m-n$

Sfat practic: Când calculezi 15% dintr-o sumă, poți înmulți suma cu 0,15. De exemplu, 15% din 200 lei = 200 · 0,15 = 30 lei.

Rădăcina pătrată și operații cu radicali

Rădăcina pătrată a unui număr x este numărul care, înmulțit cu el însuși, dă x. Notăm √x = m dacă m² = x.

Un pătrat perfect este un număr care are rădăcina pătrată un număr natural.

Câteva reguli de calcul cu radicali:

• √(a²) = |a| pentru orice a real
• √(a·b) = √a · √b, pentru a și b nenegative
• √$a/b$ = √a/√b, pentru a ≥ 0, b > 0
• √$x^n$ = x^$n/2$, pentru x ≥ 0

Putem scoate factori de sub radical: √(a²·b) = |a|·√b. Putem introduce factori sub radical: a·√b = √(a²b), pentru a și b nenegative.

Raționalizarea numitorului înseamnă să transformăm o fracție cu radical la numitor într-o fracție echivalentă fără radical la numitor.

Exemplu concret: Pentru a raționaliza 1/√2, înmulțim și numărătorul și numitorul cu √2: 1/√2 = (1·√2)/(√2·√2) = √2/2. Acum numitorul nu mai conține radical!

Modulul și medii

Partea întreagă a unui număr real x, notată $x$, este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x.

Partea fracționară a unui număr real x, notată {x}, este diferența dintre număr și partea sa întreagă: {x} = x - $x$.

Modulul (sau valoarea absolută) a unui număr real x, notat |x|, reprezintă distanța de la x la 0 pe axa numerelor. Se calculează astfel:

• |x| = x, dacă x ≥ 0
• |x| = -x, dacă x < 0

Proprietăți importante ale modulului:

• |x| ≥ 0 pentru orice număr real x
• |x| = 0 doar când x = 0
• |x| = |-x|
• |x·y| = |x|·|y|

În statistică, folosim diferite tipuri de medii:

• Media aritmetică a două numere x și y este $x+y$/2
• Pentru mai multe numere: $x₁ + x₂ + ... + xₙ$/n

Aplicație practică: Media aritmetică te ajută să calculezi media notelor tale. Dacă ai notele 8, 9, 7, 10, media ta este (8+9+7+10)/4 = 8,5.