Intervale

Intervale sunt submulțimi ale mulțimii numerelor reale (R) care reprezintă toate numerele dintre două valori. Pe axa numerelor, intervale pot fi:

• marginite (corespund unui segment de dreaptă cu un început și un sfârșit)
• nemărginite (corespund unei semidrepte care se extinde la infinit)

O proprietate importantă a dreptei este că între oricare două puncte, oricât de apropiate, există întotdeauna un al treilea punct între ele. Asta înseamnă că între oricare două numere reale există mereu un alt număr real!

Știai că? Poți caracteriza un interval simetric față de originea axei folosind modulul. De exemplu, numerele cuprinse între -2 și 2 sunt exact numerele a căror distanță față de origine este cel mult 2.

Cu intervalele putem face operații precum intersecție (∩) și reuniune (∪), la fel ca la orice submulțimi. Nu uita însă că nu orice submulțime a lui R este un interval!

Puteri

Puterile sunt o modalitate simplă de a scrie înmulțirea repetată a unui număr cu el însuși. Iată câteva reguli fundamentale:

Pentru orice număr a diferit de zero, avem regulile de bază: a⁰ = 1 și a¹ = a. Când lucrăm cu puteri, folosim aceste proprietăți:

• La înmulțire: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ și (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
• La împărțire: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ și a⁻ᵐ = 1/(aᵐ)

Atenție! La ridicarea unui produs la putere, fiecare factor se ridică la acea putere: (a·b)ᵐ = aᵐ · bᵐ

Când ai puteri cu exponent negativ, folosește regula: a⁻ᵐ = 1/(aᵐ). Iar pentru fracții: $a/b$ᵐ = aᵐ/bᵐ. Verifică întotdeauna exemplele pentru a te asigura că aplici corect regulile!

Aproximarea numerelor

Aproximarea numerelor este utilă în situații practice când nu avem nevoie de precizie exactă. Există două metode principale:

Aproximarea prin lipsă înseamnă să găsim cel mai mare număr format doar din zeci, sute sau mii (după caz) care este mai mic decât numărul dat. Practic, "rotunjim în jos".

Aproximarea prin adaos înseamnă să găsim cel mai mic număr format doar din zeci, sute sau mii (după caz) care este mai mare decât numărul dat. Practic, "rotunjim în sus".

Exemplu practic: Pentru numărul 83961, aproximarea la zeci ar fi 83960 (prin lipsă) și 83970 (prin adaos), iar la sute ar fi 83900 (prin lipsă) și 84000 (prin adaos).

Această tehnică te ajută să faci calcule mentale mai ușor și să estimezi rezultatele în probleme practice din viața de zi cu zi.

Operații cu numere întregi

Operațiile cu numere întregi urmează reguli simple, dar trebuie să fim atenți la semne:

La adunarea numerelor întregi cu același semn, păstrăm semnul și adunăm valorile. De exemplu: +2+(+3)=+5 și -2+(-2)=-4.

La adunarea numerelor cu semne diferite, scriem semnul numărului mai mare în modul și scădem valorile. Exemplu: -4+3=-1 $semnul lui -4 și 4-3=1$.

Pentru înmulțire și împărțire, folosim regula semnelor:

• (+)·(+)=(+) și (+):(+)=(+)
• (-)·(-)=(+) și (-):(-)=(+)
• (-)·(+)=(-) și (-):(+)=(-)

Trucul care te ajută: La ridicarea la putere, (-1)ⁿ = -1 dacă n este impar și (+1) dacă n este par. Exemplu: (-3)² = 9, dar (-2)³ = -8.

Aceste reguli simple te vor ajuta să rezolvi rapid exerciții cu numere întregi și să dezvolți încredere în abilitățile tale matematice!

Fracții și probleme cu ecuații

Fracțiile sunt rapoarte între două numere întregi, unde numitorul este nenul. O fracție arată câte părți luăm din întreg. În fracția a/b, a este numărătorul, iar b este numitorul.

Două fracții sunt echivalente dacă a·d = b·c pentru fracțiile a/b și c/d. Această proprietate se numește "produsul extremilor egal cu produsul mezilor".

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca fracția: (număr cazuri favorabile)/(număr cazuri posibile).

Pentru rezolvarea problemelor cu ecuații, urmează acești pași:

1. Identifică datele cunoscute și pe cele necunoscute
2. Notează necunoscuta cu o literă (de obicei x)
3. Scrie ecuația folosind relațiile dintre datele problemei
4. Rezolvă ecuația și verifică soluția
5. Formulează răspunsul la problema inițială

Exemplu util: Dacă mama are 31 de ani și fiul 7 ani, peste câți ani vârsta mamei va fi de trei ori mai mare decât a fiului? Notăm cu x numărul de ani și scriem ecuația: 31+x = 3$7+x$. Rezultă x=5, deci peste 5 ani!

Ecuațiile sunt instrumente puternice care te ajută să rezolvi multe probleme din viața reală.

Fracții ordinare

Fracțiile ordinare exprimă raportul a două numere întregi, unde a este numărătorul și b este numitorul (b≠0).

Ele pot fi:

• subunitare când a<b (valoarea este mai mică decât 1)
• echi unitare când a=b (valoarea este exact 1)
• supraunitare când a>b (valoarea este mai mare decât 1)

Pentru fracțiile supraunitare, putem scoate întregii din fracție: 17/3 = 17:3 = 5 rest 2 → 5²/₃

Invers, putem introduce întregii în fracție: 5²/₃ = (5·3+2)/3 = 17/3

Trucul matematic: Pentru a afla "a/b din l" înmulțești: (a·l)/b. Iar pentru a calcula "p% din m" folosești formula: (p·m)/100.

Fracțiile echivalente sunt fracții diferite care reprezintă aceeași valoare. Două fracții a/b și c/d sunt echivalente $a/b = c/d$ dacă a·d = c·b. Această proprietate te va ajuta să compari, să simplifici și să lucrezi eficient cu fracții.

Compararea numerelor

Compararea numerelor întregi este simplă: numărul mai mare este cel situat mai la dreapta pe axa numerelor. Exemple: -2>-3 $deși ambele sunt negative, -2 este mai aproape de zero$ și -14<2 (numerele negative sunt întotdeauna mai mici decât cele pozitive).

Pentru fracții, avem trei situații:

1. Fracții cu același numitor: fracția mai mare este cea cu numărătorul mai mare (2/6<5/6)
2. Fracții cu același numărător: fracția mai mare este cea cu numitorul mai mic (3/8<3/4)
3. Fracții cu numitori și numărători diferite: aducem la același numitor prin amplificare/simplificare

La fracții zecimale, comparăm:

• Mai întâi întregii (13,05>14,99 este fals, pentru că 13<14)
• Apoi zecimile, sutimile etc., în ordine (2,76>2,67 este adevărat, pentru că 7>6)

Sfat util: Pentru a compara numere periodice, poți adăuga zerouri la cele cu mai puține cifre după virgulă sau poți dezvolta perioada (1,(2)<1,(23) înseamnă 1,222<1,2323).

Stăpânind aceste reguli, vei putea compara rapid orice numere întâlnești!

Compararea radicalilor

Radicalii pot fi comparați folosind diverse metode inteligente:

Metoda 1: Introducem factori sub radical pentru a putea compara mai ușor. Exemplu: 2√3 ? 3√2 Transformăm: 2√3 = √(4·3) = √12 și 3√2 = √(9·2) = √18 Comparăm √12 < √18, deci 2√3 < 3√2

Metoda 2: Ridicăm la pătrat și comparăm. Exemplu: 6 ? 4√3 Avem: 6 = √36 și 4√3 = √48 Comparăm √36 < √48, deci 6 < 4√3

Trucul modulului: Pentru a calcula |4√3-7|, compară mai întâi 4√3 cu 7. Dacă 4√3 < 7, atunci |4√3-7| = 7-4√3. Dacă 4√3 > 7, atunci |4√3-7| = 4√3-7.

Nu uita regulile de bază: |x| = x dacă x ≥ 0 și |x| = -x dacă x < 0. Aceste strategii te vor ajuta să rezolvi exerciții cu radicali mult mai repede!

Înmulțirea, împărțirea și puteri cu exponent întreg

Înmulțirea este operația prin care asociem perechii de numere a și b produsul lor a·b. Ea are proprietăți importante:

• Este asociativă: (a·b)·c = a·(b·c)
• Are element neutru 1: a·1 = 1·a = a
• Este comutativă: a·b = b·a
• Este distributivă față de adunare: a·$b+c$ = a·b+a·c

Împărțirea este operația prin care asociem perechii de numere a și b (b≠0) câtul a/b = a·$1/b$.

Ridicarea la putere cu exponent întreg înseamnă aⁿ = a·a·...·a (de n ori). Pentru orice a≠0, definim a⁰=1 și a⁻ⁿ=1/aⁿ.

Reține regulile esențiale:

• aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (la înmulțire, adunăm exponenții)
• aᵐ:aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (la împărțire, scădem exponenții)
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (la putere la putere, înmulțim exponenții)

Exemplu practic: (2√5)² = 2²·√5² = 4·5 = 20. Aceste reguli te vor ajuta să simplifici expresii complexe cu puteri și radicali!

Proporționalitate și regula de trei simplă

Mărimile direct proporționale sunt mărimi care variază în același sens - când una crește, crește și cealaltă. Pentru mărimile x, y, z direct proporționale cu 2, 4, 5, putem scrie: x/2 = y/4 = z/5 = k, unde k este constanta de proporționalitate. Din aceste relații putem calcula: x = 2k, y = 4k, z = 5k.

Mărimile invers proporționale variază în sens contrar - când una crește, cealaltă scade. Pentru mărimile x, y, z invers proporționale cu 2, 4, 6, avem: x·2 = y·4 = z·6 = k, de unde: x = k/2, y = k/4, z = k/6.

Regula de trei simplă este o metodă rapidă de a rezolva probleme de proporționalitate:

• Pentru mărimi direct proporționale: a/b = c/x ⟹ x = (b·c)/a
• Pentru mărimi invers proporționale: a/b = x/c ⟹ x = (a·c)/b

Aplicație practică: Dacă 3 muncitori termină o lucrare în 12 zile, în câte zile vor termina 9 muncitori aceeași lucrare? Fiind invers proporțional, avem: 3/12 = x/9 ⟹ x = 4 zile.

Aceste reguli simple te vor ajuta să rezolvi rapid probleme cu proporții pe care le întâlnești și în viața de zi cu zi!