•

3 ian. 2026

•

4 pagini

Legi de Compoziție - Notițe Matematică Clasa a XII-a

Livia Maftei

@liviamaftei

Legile de compoziție reprezintă operații matematice care asociază două elemente... Afișează mai mult

1 / 4

# Legi de compoziție

Aek: Fie M o multime nevida (M + d)

P: MxM→M S.m. lege de comportie sau op. algebrică pe M.

MxMe (x,y) → ((x)) EM

c

Legi de compoziție - Noțiuni fundamentale

O lege de compoziție pe o mulțime M este o funcție care asociază fiecărei perechi de elemente din M un alt element din M. Practic, avem o funcție P: M×M→M care transformă perechea (x,y) într-un element din M, numit compusul lui x cu y.

Exemplele cele mai familiare de legi de compoziție includ adunarea numerelor naturale $+: N×N→N$ sau adunarea matricelor pătratice. În practică, aceste legi sunt notate cu diverse simboluri precum +, *, ⊥, ∇, etc.

Să vedem un exemplu concret: legea * definită pe Z×Z prin xy = x·y-x-y+7. Astfel, 23 = 2·3-2-3+7 = 6-2-3+7 = 8. De asemenea, putem calcula expresii compuse: (3*(-1))0 = 20 = 5.

💡 Notă utilă: Atunci când lucrezi cu legi de compoziție, respectă ordinea operațiilor și folosește paranteze pentru a evita confuziile!

Operații modulo și clase de resturi

Operațiile modulo sunt extrem de utile în matematică. Când spunem "a mod m", ne referim la restul împărțirii lui a la m. De exemplu, 257 mod 4 = 1 $pentru că 257 = 64×4 + 1$ .

Pentru numerele negative, folosim formula: a mod m = m - $-a mod m$ când a < 0. Așadar, -5 mod 4 = 4 - (5 mod 4) = 4 - 1 = 3.

Pe baza operației modulo, putem defini două legi de compoziție importante:

Adunarea modulo m: a⊕b = $a+b$ mod m
Înmulțirea modulo m: a⊗b = (a·b) mod m

Aceste operații ne permit să lucrăm cu clasele de resturi modulo m. O clasă de resturi reprezintă toate numerele întregi care dau același rest la împărțirea cu m. De exemplu, pentru m=3, avem clasele:

0̂ = {..., -3, 0, 3, 6, 9, ...}
1̂ = {..., -2, 1, 4, 7, 10, ...}
2̂ = {..., -1, 2, 5, 8, 11, ...}

🔍 Important! Mulțimea Z₃ = {0̂, 1̂, 2̂} formează un sistem matematic închis, ceea ce înseamnă că rezultatul oricărei operații între elementele sale rămâne în aceeași mulțime.

Adunarea și înmulțirea claselor de resturi

Când lucrăm cu clase de resturi modulo n (notate Zₙ), putem defini două operații fundamentale:

Adunarea claselor: â + b̂ = a⊕b, unde a⊕b = $a+b$ mod n
Înmulțirea claselor: â · b̂ = a⊗b, unde a⊗b = (a·b) mod n

Aceste operații respectă proprietăți algebrice importante și pot fi reprezentate prin tabele. De exemplu, pentru Z₄ = {0̂, 1̂, 2̂, 3̂}, tabelele arată astfel:

Pentru adunare (+):

+	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	1̂	2̂	3̂
1̂	1̂	2̂	3̂	0̂
2̂	2̂	3̂	0̂	1̂
3̂	3̂	0̂	1̂	2̂

Pentru înmulțire (·):

·	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	0̂	0̂	0̂
1̂	0̂	1̂	2̂	3̂
2̂	0̂	2̂	0̂	2̂
3̂	0̂	3̂	2̂	1̂

💡 Sfat practic: Aceste tabele sunt esențiale pentru rezolvarea ecuațiilor în Zₙ! Memorează structura lor și vei putea rezolva rapid probleme complexe.

Rezolvarea ecuațiilor în Zₙ

Pentru a rezolva ecuații în mulțimea claselor de resturi, putem folosi două metode principale:

Metoda particulară implică utilizarea tabelelor pentru a identifica valorile care satisfac ecuația. De exemplu, pentru ecuația 2̂·x + 4̂ = 1̂ în Z₅, putem verifica fiecare valoare posibilă pentru x folosind tabelele de adunare și înmulțire.

Metoda generală presupune verificarea sistematică a fiecărei valori posibile din Zₙ. Pentru ecuația 2̂·x + 4̂ = 1̂ în Z₅, verificăm:

Pentru x = 0̂: 2̂·0̂ + 4̂ = 0̂ + 4̂ = 4̂ ≠ 1̂ (Fals)
Pentru x = 1̂: 2̂·1̂ + 4̂ = 2̂ + 4̂ = 6̂ = 1̂ (Adevărat)
Pentru x = 2̂: 2̂·2̂ + 4̂ = 4̂ + 4̂ = 8̂ = 3̂ ≠ 1̂ (Fals)
Pentru x = 3̂: 2̂·3̂ + 4̂ = 6̂ + 4̂ = 10̂ = 0̂ ≠ 1̂ (Fals)
Pentru x = 4̂: 2̂·4̂ + 4̂ = 8̂ + 4̂ = 12̂ = 2̂ ≠ 1̂ (Fals)

Deci soluția este x = 1̂.

🔑 Cheie pentru succes: Când rezolvi ecuații în Zₙ, încearcă întotdeauna să simplifici expresiile folosind proprietățile aritmeticii modulo. Ține minte că â + n̂ = â și că â·n̂ = â·n mod n.

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Cele mai populare conținuturi: Divisibility and Congruence

Divizibilitate

Teorie și exerciții clasa 6

+	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	1̂	2̂	3̂
1̂	1̂	2̂	3̂	0̂
2̂	2̂	3̂	0̂	1̂
3̂	3̂	0̂	1̂	2̂

·	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	0̂	0̂	0̂
1̂	0̂	1̂	2̂	3̂
2̂	0̂	2̂	0̂	2̂
3̂	0̂	3̂	2̂	1̂

+	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	1̂	2̂	3̂
1̂	1̂	2̂	3̂	0̂
2̂	2̂	3̂	0̂	1̂
3̂	3̂	0̂	1̂	2̂

·	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	0̂	0̂	0̂
1̂	0̂	1̂	2̂	3̂
2̂	0̂	2̂	0̂	2̂
3̂	0̂	3̂	2̂	1̂

+	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	1̂	2̂	3̂
1̂	1̂	2̂	3̂	0̂
2̂	2̂	3̂	0̂	1̂
3̂	3̂	0̂	1̂	2̂

·	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	0̂	0̂	0̂
1̂	0̂	1̂	2̂	3̂
2̂	0̂	2̂	0̂	2̂
3̂	0̂	3̂	2̂	1̂

+	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	1̂	2̂	3̂
1̂	1̂	2̂	3̂	0̂
2̂	2̂	3̂	0̂	1̂
3̂	3̂	0̂	1̂	2̂

·	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	0̂	0̂	0̂
1̂	0̂	1̂	2̂	3̂
2̂	0̂	2̂	0̂	2̂
3̂	0̂	3̂	2̂	1̂

Legi de Compoziție - Notițe Matematică Clasa a XII-a

Legi de compoziție - Noțiuni fundamentale

Operații modulo și clase de resturi

Adunarea și înmulțirea claselor de resturi

Rezolvarea ecuațiilor în Zₙ

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Este Knowunity chiar gratuită?

Cele mai populare conținuturi: Divisibility and Congruence

Divizibilitate

Cele mai populare conținuturi la Matematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule matematică pentru bac

Portofoliu geometrie clasele 5-8

notite examen clasa a 8 a matematică

teorie evaluare nationala

Geometrie

Geometrie Clasa a 8 a portofoliu

Formule bac 2025 mate

Teorie Bac Mate

Cele mai populare conținuturi

Eseuri Bacalaureat Română

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

Evaluare Nationala lb Romana

Materie BAC Anatomie + Genetica

Materie geografie

Eseu Eu nu strivesc corola de minuni a lumii-Lucian Blaga

Eseu Povestea lui Harap Alb

Eseu-,,Povestea lui Harap Alb”

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

4.8/5

Legi de Compoziție - Notițe Matematică Clasa a XII-a

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Legi de compoziție - Noțiuni fundamentale

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Operații modulo și clase de resturi

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Adunarea și înmulțirea claselor de resturi

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Rezolvarea ecuațiilor în Zₙ

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Este Knowunity chiar gratuită?

Cele mai populare conținuturi: Divisibility and Congruence

Divizibilitate

Cele mai populare conținuturi la Matematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule matematică pentru bac

Portofoliu geometrie clasele 5-8

notite examen clasa a 8 a matematică

teorie evaluare nationala

Geometrie

Geometrie Clasa a 8 a portofoliu

Formule bac 2025 mate

Teorie Bac Mate

Cele mai populare conținuturi

Eseuri Bacalaureat Română

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

Evaluare Nationala lb Romana

Materie BAC Anatomie + Genetica

Materie geografie

Eseu Eu nu strivesc corola de minuni a lumii-Lucian Blaga

Eseu Povestea lui Harap Alb

Eseu-,,Povestea lui Harap Alb”

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

4.8/5

+	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	1̂	2̂	3̂
1̂	1̂	2̂	3̂	0̂
2̂	2̂	3̂	0̂	1̂
3̂	3̂	0̂	1̂	2̂

·	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	0̂	0̂	0̂
1̂	0̂	1̂	2̂	3̂
2̂	0̂	2̂	0̂	2̂
3̂	0̂	3̂	2̂	1̂

+	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	1̂	2̂	3̂
1̂	1̂	2̂	3̂	0̂
2̂	2̂	3̂	0̂	1̂
3̂	3̂	0̂	1̂	2̂

·	0̂	1̂	2̂	3̂
0̂	0̂	0̂	0̂	0̂
1̂	0̂	1̂	2̂	3̂
2̂	0̂	2̂	0̂	2̂
3̂	0̂	3̂	2̂	1̂