Tehnica descompunerii în fracții simple
Pentru suma ∑m≥116m2−8m−31, primul pas este să factorizăm numitorul.
Rezolvăm ecuația 16m2−8m−3=0 folosind formula pentru rădăcinile ecuației de gradul doi:
m1,2=328±16, obținând m1=43 și m2=−41
Astfel, descompunem numitorul: 16m2−8m−3=(4m−3)(4m+1)
Folosind descompunerea în fracții simple:
(4k−3)(4k+1)1=41[4k−31−4k+11]
Sumând termenii, obținem o serie telescopică:
Sm=41(1−51+51−91+...+4m−31−4m+11)
Majoritatea termenilor se anulează, lăsându-ne doar cu termenii de la capete:
Sm=41(1−4m+11)
🧠 Factorizarea este cheia în rezolvarea multor serii! Încearcă întotdeauna să aduci problema la o formă pe care știi să o rezolvi.