Andreea

26.11.2025

Matematică

Integrale nedefinite

171

•

26 nov. 2025

•

2 pagini

Integrale Nedefinite - Ghid Simplu

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Andreea

@andreea_chykv

Integralele reprezintă un concept fundamental în matematică, fiind esențiale pentru... Afișează mai mult

$## Integrale nedefinite 1 | $\int 1 \ dx = \int \ dx = x + C$ ---|---|---|--- 2 | $\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\int u^n(x)$

Integrale nedefinite

Integralele nedefinite sunt un instrument matematic puternic care ne ajută să "inversăm" procesul de derivare. Ele reprezintă familia de funcții primitive ale unei funcții date.

Iată formulele esențiale pe care trebuie să le reții pentru examen:

Integrala unei constante: $\int 1 \ dx = x + C$
Pentru puteri: $\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
Pentru funcții exponențiale: $\int e^x \ dx = e^x + C$ și $\int a^x \ dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
Pentru funcția de tip $\frac{1}{x}$ : $\int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| + C$

Formulele pentru funcțiile trigonometrice sunt la fel de importante:

$\int \sin x \ dx = -\cos x + C$
$\int \cos x \ dx = \sin x + C$
$\int \text{tg} x \ dx = -\ln|\cos x| + C$
$\int \text{ctg} x \ dx = \ln|\sin x| + C$

Atenție! Fiecare formulă are și o variantă de substituție unde apare $u(x)$ și $u'(x)$ . De exemplu: $\int u^n(x) \cdot u'(x) \ dx = \frac{u^{n+1}(x)}{n+1} + C$ . Aceste formule sunt extrem de utile pentru rezolvarea integralelor mai complexe.

$## Integrale nedefinite 1 | $\int 1 \ dx = \int \ dx = x + C$ ---|---|---|--- 2 | $\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\int u^n(x)$

Aplicații ale integralei definite

Integralele definite au numeroase aplicații practice, fiind esențiale pentru calcularea ariilor și volumelor. Ele transformă probleme geometrice complexe în calcule mai simple.

Pentru a calcula aria unei suprafețe plane delimitate de graficul funcției $f$ , axa Ox și dreptele $x = a$ și $x = b$ , folosim formula: $\text{Aria}(T_f) = \int_a^b |f(x)| dx$ . Modulul asigură că obținem o valoare pozitivă indiferent dacă funcția este pozitivă sau negativă.

Când avem două curbe care delimitează o suprafață, calculăm aria dintre ele cu formula: $\text{Aria}(T_{f,g}) = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ . Diferența dintre funcții ne dă înălțimea "fâșiei" la fiecare punct $x$ .

Pro-Tip: Pentru volumul unui corp de rotație obținut prin rotirea graficului funcției $f$ în jurul axei Ox, formula este $\text{Vol}(C_f) = \pi \int_a^b f^2(x) dx$ . Observă cum apare $f^2(x)$ - aceasta reprezintă aria cercului de rază $f(x)$ înmulțită cu $\pi$ .

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Ștefan S

utilizator iOS

Samantha Klich

utilizator Android

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Matematică

•

171

•

26 nov. 2025

•

2 pagini

Integrale Nedefinite - Ghid Simplu

Andreea

@andreea_chykv

Integralele reprezintă un concept fundamental în matematică, fiind esențiale pentru calculul ariilor, volumelor și rezolvarea multor probleme practice. În notițele de mai jos, vei găsi formulele principale pentru integrale nedefinite și câteva dintre cele mai importante aplicații ale integralelor definite.

$## Integrale nedefinite 1 | $\int 1 \ dx = \int \ dx = x + C$ ---|---|---|--- 2 | $\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\int u^n(x)$

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Integrale nedefinite

Integralele nedefinite sunt un instrument matematic puternic care ne ajută să "inversăm" procesul de derivare. Ele reprezintă familia de funcții primitive ale unei funcții date.

Iată formulele esențiale pe care trebuie să le reții pentru examen:

Integrala unei constante: $\int 1 \ dx = x + C$
Pentru puteri: $\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
Pentru funcții exponențiale: $\int e^x \ dx = e^x + C$ și $\int a^x \ dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
Pentru funcția de tip $\frac{1}{x}$ : $\int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| + C$

Formulele pentru funcțiile trigonometrice sunt la fel de importante:

$\int \sin x \ dx = -\cos x + C$
$\int \cos x \ dx = \sin x + C$
$\int \text{tg} x \ dx = -\ln|\cos x| + C$
$\int \text{ctg} x \ dx = \ln|\sin x| + C$

Atenție! Fiecare formulă are și o variantă de substituție unde apare $u(x)$ și $u'(x)$ . De exemplu: $\int u^n(x) \cdot u'(x) \ dx = \frac{u^{n+1}(x)}{n+1} + C$ . Aceste formule sunt extrem de utile pentru rezolvarea integralelor mai complexe.

$## Integrale nedefinite 1 | $\int 1 \ dx = \int \ dx = x + C$ ---|---|---|--- 2 | $\int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\int u^n(x)$

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Aplicații ale integralei definite

Integralele definite au numeroase aplicații practice, fiind esențiale pentru calcularea ariilor și volumelor. Ele transformă probleme geometrice complexe în calcule mai simple.

Pro-Tip: Pentru volumul unui corp de rotație obținut prin rotirea graficului funcției $f$ în jurul axei Ox, formula este $\text{Vol}(C_f) = \pi \int_a^b f^2(x) dx$ . Observă cum apare $f^2(x)$ - aceasta reprezintă aria cercului de rază $f(x)$ înmulțită cu $\pi$ .

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Simulare completă ✓ Planuri de eseu

Simulare

Quiz

Flashcard-uri

Eseu

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Ștefan S

utilizator iOS

Samantha Klich

utilizator Android

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Ștefan S

utilizator iOS

Samantha Klich

utilizator Android

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS