•

5 ian. 2026

•

3 pagini

Formule și Proprietăți Integrale - Clasa a 12-a

Oana Natasha Iurașcu

@oananatashaiura

Primitivele și integralele nedefinite reprezintă concepte fundamentale în calculul diferențial... Afișează mai mult

1 / 3

$# Primitive si integrale 1. Primitive - Fie $I: I \to \mathbb{R}$. Functia admite primitive pe intervalul I daca $\exists F: I \to \mathbb$

Primitive și Integrale Nedefinite

Primitivele sunt funcții care, atunci când sunt derivate, ne dau o anumită funcție. Formal, dacă avem o funcție $f: I \to \mathbb{R}$ , aceasta admite primitive pe intervalul I dacă există o funcție $F: I \to \mathbb{R}$ derivabilă pe I astfel încât $F'(x) = f(x)$ .

Integrala nedefinită a unei funcții $f$ se notează cu $\int f(x) dx = F(x) + C$ , unde $C$ este o constantă arbitrară. Aceasta reprezintă mulțimea tuturor primitivelor funcției $f$ .

⚡ Reține că integrala nedefinită nu este o singură funcție, ci o familie de funcții care diferă între ele printr-o constantă!

Proprietățile fundamentale ale integralelor nedefinite pe care trebuie să le cunoști sunt:

$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ (linearitatea)
$\int a f(x) dx = a \int f(x) dx$ (scoaterea constantei)
$\int (a f(x) \pm b g(x)) dx = a \int f(x) dx \pm b \int g(x) dx$ (combinarea primelor două)

$# Primitive si integrale 1. Primitive - Fie $I: I \to \mathbb{R}$. Functia admite primitive pe intervalul I daca $\exists F: I \to \mathbb$

Metode de Calcul ale Primitivelor

Integrarea directă este metoda fundamentală pentru calculul primitivelor, bazată pe memorarea unor formule standard. Iată cele mai importante formule pe care trebuie să le știi:

Pentru funcții de bază: $\int dx = x + C$ , $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ și general $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $pentru $n \neq -1$$ . Pentru funcții exponențiale: $\int e^x dx = e^x + C$ și $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ .

Pentru funcții cu radicali avem: $\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ și $\int \sqrt[n]{x} dx = \frac{n x \sqrt[n]{x}}{n+1} + C$ . Pentru funcții de tip $\frac{1}{x}$ avem: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ și $\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$ .

🧠 Fii atent la formulele pentru funcțiile trigonometrice - ele urmează un tipar logic! De exemplu, integrala sinusului dă minus cosinusul și invers.

Pentru funcțiile trigonometrice: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ , $\int \cos x dx = \sin x + C$ , $\int \tg x dx = -\ln|\cos x| + C$ și $\int \ctg x dx = \ln|\sin x| + C$ . De asemenea, $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tg x + C$ și $\int \frac{1}{sin^2 x} dx = -\ctg x + C$ .

$# Primitive si integrale 1. Primitive - Fie $I: I \to \mathbb{R}$. Functia admite primitive pe intervalul I daca $\exists F: I \to \mathbb$

Formule Speciale de Integrare

Integralele care conțin expresii pătratice au formule specifice care apar frecvent în probleme. Pentru funcții raționale cu numitor de forma $x^2 + a^2$ : $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ și $\int \frac{x}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2 + a^2) + C$ .

Pentru funcții cu numitor de forma $x^2 - a^2$ : $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x - a}{x + a}| + C$ . Când avem radicali în numitor: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$ și $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \sqrt{x^2 + a^2} + C$ .

Funcțiile cu radicali de forma $\sqrt{a^2 - x^2}$ apar în calculul ariilor pentru cerc: $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$ și $\int \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = -\sqrt{a^2 - x^2} + C$ .

💡 Formula $\int f(x) f'(x) dx = \frac{f^2(x)}{2} + C$ este extrem de utilă! Identifică acest tipar în probleme complexe și vei putea simplifica mult calculele.

Aceste formule par multe, dar există o logică în spatele lor. Încearcă să vezi conexiunile dintre ele în loc să le memorezi mecanic. De exemplu, observă cum funcțiile trigonometrice și cele cu radicali sunt conectate prin substituții.

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Cele mai populare conținuturi: Constant of Integration (c)

INTEGRALE

Integrale clasa a 12 a formule +primitive+ proprietati

Formule și Proprietăți Integrale - Clasa a 12-a

Primitive și Integrale Nedefinite

Metode de Calcul ale Primitivelor

Formule Speciale de Integrare

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Este Knowunity chiar gratuită?

Cele mai populare conținuturi: Constant of Integration (c)

INTEGRALE

Cele mai populare conținuturi la Matematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule matematică pentru bac

Portofoliu geometrie clasele 5-8

notite examen clasa a 8 a matematică

teorie evaluare nationala

Geometrie

Geometrie Clasa a 8 a portofoliu

Formule bac 2025 mate

Teorie Bac Mate

Cele mai populare conținuturi

Eseuri Bacalaureat Română

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

Evaluare Nationala lb Romana

Materie BAC Anatomie + Genetica

Materie geografie

Eseu Eu nu strivesc corola de minuni a lumii-Lucian Blaga

Eseu Povestea lui Harap Alb

Eseu-,,Povestea lui Harap Alb”

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

4.8/5

Formule și Proprietăți Integrale - Clasa a 12-a

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Primitive și Integrale Nedefinite

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Metode de Calcul ale Primitivelor

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Formule Speciale de Integrare

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Este Knowunity chiar gratuită?

Cele mai populare conținuturi: Constant of Integration (c)

INTEGRALE

Cele mai populare conținuturi la Matematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule matematică pentru bac

Portofoliu geometrie clasele 5-8

notite examen clasa a 8 a matematică

teorie evaluare nationala

Geometrie

Geometrie Clasa a 8 a portofoliu

Formule bac 2025 mate

Teorie Bac Mate

Cele mai populare conținuturi

Eseuri Bacalaureat Română

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

Evaluare Nationala lb Romana

Materie BAC Anatomie + Genetica

Materie geografie

Eseu Eu nu strivesc corola de minuni a lumii-Lucian Blaga

Eseu Povestea lui Harap Alb

Eseu-,,Povestea lui Harap Alb”

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

4.8/5