Inducția matematică

Inducția matematică ne ajută să verificăm dacă o anumită proprietate matematică este adevărată pentru toate numerele naturale. Pornim prin testarea unor cazuri particulare pentru a vedea dacă putem observa un tipar.

Să analizăm primul exemplu: predicatul $P(m)$ afirmă că "$m^2 + m + 11$ este număr prim" pentru $m \in \mathbb{N}$. Verificăm această afirmație pentru primele valori:

• Pentru $m=0$: $0^2 + 0 + 11 = 11$ (adevărat, 11 este prim)
• Pentru $m=1$: $1^2 + 1 + 11 = 13$ (adevărat, 13 este prim)
• Pentru $m=2$: $2^2 + 2 + 11 = 17$ (adevărat, 17 este prim)
• Pentru $m=3$: $3^2 + 3 + 11 = 23$ (adevărat, 23 este prim)
• Pentru $m=4$: $4^2 + 4 + 11 = 31$ (adevărat, 31 este prim)

Atenție! Deși formula pare să genereze numere prime pentru primele valori, la $m=10$ obținem $10^2 + 10 + 11 = 121 = 11^2$, care nu este prim. Deci afirmația nu este adevărată pentru toate numerele naturale.

Al doilea exemplu verifică formula pentru suma pătratelor primelor $m$ numere naturale: $1^2 + 2^2 + ... + m^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$. Și aici verificăm pentru câteva valori:

• Pentru $m=1$: $1^2 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$ (adevărat)
• Pentru $m=2$: $1^2 + 2^2 = 5 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{6} = 5$ (adevărat)
• Pentru $m=3$: $1^2 + 2^2 + 3^2 = 14 = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14$ (adevărat)
• Pentru $m=4$: $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30 = \frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} = 30$ (adevărat)