Formule de arii și relații geometrice

Aria unui triunghi poate fi calculată în mai multe moduri, în funcție de ce date ai:

• Formula de bază: A = (b·h)/2
• Cu sinusul unghiului: A = (l₁·l₂·sin(l₁,l₂))/2
• Formula lui Heron: A = √$p(p-a)(p-b)(p-c)$, unde p este semiperimetrul

Pentru fiecare formă geometrică există formule specifice de arie:

• Paralelogram: A = b·h
• Dreptunghi: A = L·l
• Romb: A = (d₁·d₂)/2
• Trapez: A = $(B+b)·h$/2

💡 În matematică, nu e nevoie să memorezi toate formulele, ci să înțelegi relațiile dintre ele!

Teoreme esențiale în triunghiul dreptunghic

În triunghiul dreptunghic există relații metrice foarte importante:

Teorema înălțimii: AD² = CD·DB Teorema lui Pitagora: ip² = c₁² + c₂² (pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor) Teorema catetei: AC² = CD·CB

Aceste teoreme sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor de geometrie.

Relații trigonometrice

Relațiile trigonometrice leagă unghiurile de laturile triunghiului dreptunghic:

• sin x = cateta opusă / ipotenuză
• cos x = cateta alăturată / ipotenuză
• tg x = cateta opusă / cateta alăturată

Pentru unghiurile de 30°, 45° și 60°, există valori exacte care trebuie știute. De exemplu, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2.

Congruență și asemănare

Două triunghiuri sunt congruente când sunt identice (au aceeași formă și mărime). Cazurile de congruență sunt:

• L.U.L. $Latură-Unghi-Latură$
• U.L.U. $Unghi-Latură-Unghi$
• L.L.L. $Latură-Latură-Latură$

Două triunghiuri sunt asemenea când au aceeași formă, dar mărimi diferite. Cazurile de asemănare sunt similare celor de congruență.

Mulțimi și operații fundamentale

Mulțimile sunt colecții de elemente cu proprietăți comune. Fiecare mulțime se poate nota cu simboluri specifice:

• Mulțimea vidă: nu conține niciun element
• Mulțimea numerelor naturale: N = {0, 1, 2, 3...}
• Mulțimea numerelor întregi: Z = {...-2, -1, 0, 1, 2...}
• Mulțimea numerelor raționale: Q (fracții)
• Mulțimea numerelor reale: R (include toate numerele)

Cu mulțimile putem face operații precum reuniunea (A∪B), intersecția (A∩B) și diferența $A-B$.

💡 Reține că N⊂Z⊂Q⊂R - adică fiecare mulțime este inclusă în următoarea!

Numerele pot fi pare (de forma 2k) sau impare $de forma 2k+1$. În calcule, este util să știi că un pătrat perfect nu poate avea ultima cifră 2, 3, 7 sau 8.

În algebra de bază, operațiile cu variabile urmează reguli simple: 5x+2x=7x, a+a=2a. La ecuații, termenii se pot trece dintr-un membru în altul cu semn schimbat.

Formule importante de calcul sunt:

• $a+b$$a-b$ = a²-b²
• $a+b$² = a²+2ab+b²
• $a-b$² = a²-2ab+b²

Pentru fracții zecimale, transformarea în fracții ordinare este esențială. De exemplu, 0,7 = 7/10, iar 2,(5) = 2,555... = 23/9.

Divizibilitate și numere prime

Divizibilitatea este o relație importantă: scriem 2|18 când 2 divide pe 18. Un număr prim se divide doar cu 1 și cu el însuși (ex: 2, 3, 5, 7, 11).

Criteriile de divizibilitate te ajută să verifici rapid dacă un număr se divide cu altul:

• Cu 2: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8
• Cu 3: suma cifrelor se divide cu 3
• Cu 5: ultima cifră este 0 sau 5

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) și cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) sunt concepte fundamentale. De exemplu, (8;12) = 4 și $8;12$ = 24.

Unghiuri și relații fundamentale

Unghiurile sunt elemente de bază în geometrie. Ele pot fi:

• Complementare: suma lor este 90° (exemplu: 20° și 70°)
• Suplementare: suma lor este 180° (exemplu: 20° și 160°)
• Opuse la vârf: au același vârf și laturile unuia sunt în prelungirea laturilor celuilalt

Când două drepte sunt tăiate de o secantă, se formează unghiuri alterne interne, alterne externe și corespondente. Dacă dreptele sunt paralele, aceste perechi de unghiuri sunt congruente.

💡 Ține minte că suma unghiurilor într-un triunghi este întotdeauna 180°, iar într-un patrulater este 360°!

Linii importante în triunghi

În orice triunghi există patru tipuri importante de linii:

• Bisectoarea - împarte un unghi în două unghiuri congruente
• Mediatoarea - perpendiculară pe mijlocul unei laturi
• Înălțimea - perpendiculară din vârf pe latura opusă
• Mediana - unește un vârf cu mijlocul laturii opuse

Fiecare dintre aceste linii are un punct de concurență specific:

• Bisectoarele se intersectează în centrul cercului înscris
• Mediatoarele se intersectează în centrul cercului circumscris
• Înălțimile se intersectează în ortocentru
• Medianele se intersectează în centrul de greutate

Formule pentru corpuri geometrice

Pentru calculul volumelor și ariilor corpurilor din spațiu, sunt esențiale câteva formule:

• Prismă: V = A·h (aria bazei × înălțime)
• Piramidă: V = (A·h)/3
• Cilindru: V = π·R²·h, A₁ = 2π·R·h
• Con: V = (π·R²·h)/3

Pentru sferă: V = (4π·R³)/3, A = 4π·R².

Trigonometrie

În trigonometrie, funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă leagă unghiurile de laturile triunghiului dreptunghic:

• sinus = cateta opusă / ipotenuză
• cosinus = cateta alăturată / ipotenuză
• tangentă = cateta opusă / cateta alăturată
• cotangentă = cateta alăturată / cateta opusă

Relațiile fundamentale: sin² α + cos² α = 1 și sin α = cos(90° - α).