Funcția de gradul I

Funcția de gradul I are forma f$x$ = ax + b, unde a ≠ 0. Graficul ei este o dreaptă pe tot domeniul când domeniul de definiție este R, sau o semidreaptă când domeniul este un semiinterval.

Monotonia acestei funcții depinde de valoarea lui a:

• Dacă a > 0, funcția este monoton crescătoare
• Dacă a < 0, funcția este monoton descrescătoare

Pentru a găsi intersecțiile cu axele de coordonate:

• Cu Ox: punem y = 0, deci ax + b = 0, obținem x = -b/a
• Cu Oy: punem x = 0, deci y = b

Pro-tip! Pentru a afla semnul funcției de gradul I, calculează punctul de intersecție cu Ox $x = -b/a$ și apoi analizează semnul valorilor de o parte și de alta a acestui punct.

Funcția de gradul al II-lea are forma f$x$ = ax² + bx + c, unde a ≠ 0. Pentru ecuația ax² + bx + c = 0, calculăm Δ = b² - 4ac și avem:

• Dacă Δ > 0: ecuația are două soluții distincte x₁ = $-b-√Δ$/(2a) și x₂ = $-b+√Δ$/(2a)
• Dacă Δ = 0: ecuația are o soluție dublă x₁ = x₂ = -b/(2a)
• Dacă Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

Funcția de gradul II

Graficul funcției de gradul II este o parabolă. Dacă a > 0, parabola este convexă (deschisă în sus) și funcția are un punct minim. Dacă a < 0, parabola este concavă și funcția are un punct maxim.

Punctul extrem (minim sau maxim) are coordonatele V(xv, yv), unde:

• xv = -b/(2a)
• yv = -Δ/(4a) unde Δ = b² - 4ac

Pentru intersecția cu axele de coordonate:

• Cu Oy: x = 0, deci y = f(0) = c
• Cu Ox: y = 0, deci rezolvăm ax² + bx + c = 0:
  • Dacă Δ > 0: două puncte de intersecție
  • Dacă Δ = 0: un punct de tangență
  • Dacă Δ < 0: nicio intersecție

Atenție! Relațiile lui Viète sunt foarte utile pentru a rezolva probleme cu ecuații de gradul II! Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației, atunci: x₁ + x₂ = -b/a și x₁·x₂ = c/a.

Când lucrezi cu funcții de gradul II, gândește-te la ele ca la parabole și concentrează-te pe forma lor și pe punctele importante (vârful și intersecțiile).

Semnul funcției de gradul II

Un exemplu concret de ecuație de gradul II este x² - 5x + 4 = 0. Aplicând relațiile lui Viète, observăm că x₁ + x₂ = 5 și x₁·x₂ = 4, ceea ce ne confirmă forma ecuației.

Pentru a analiza semnul funcției de gradul II, trebuie să luăm în considerare discriminantul și valorile funcției:

Când Δ ≥ 0 (ecuația are soluții reale x₁ și x₂), semnul funcției f$x$ = ax² + bx + c este:

• În intervalul $-∞, x₁$ și $x₂, +∞$: același semn cu a
• În intervalul (x₁, x₂): semn contrar lui a

Când Δ < 0 (ecuația nu are soluții reale), funcția f$x$ păstrează semnul lui a pe tot domeniul (-∞, +∞).

Reține! O expresie de gradul al II-lea păstrează semnul lui a dacă și numai dacă Δ ≤ 0. Acest lucru este esențial pentru rezolvarea inecuațiilor de gradul II!

Funcțiile de gradul II sunt versatile și apar în multe aplicații. Cu puțină practică, vei putea să le analizezi rapid și să rezolvi probleme complexe cu ușurință.