Derivate și Integrale

Derivatele reprezintă rata de schimbare a unei funcții și sunt esențiale în analiza matematică. Iată formulele fundamentale:

• Derivate constante și de bază: $c' = 0$, $x' = 1$
• Pentru puteri: $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• Funcții trigonometrice: $(sin x)'= cos x$, $(cos x)' = -sin x$
• Funcții exponențiale: $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x lna$
• Funcții logaritmice: $(ln x)'= \frac{1}{x}$

Integralele reprezintă operația inversă derivării și calculează aria de sub o curbă. Cele mai importante formule sunt:

Atenție! Nu uita niciodată constanta de integrare C când calculezi o integrală nedefinită!

Formule pentru integrale:

• $\int c dx = cx + C$
• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
• $\int sin x dx = -cos x + C$
• $\int cos x dx = sin x + C$

Pentru integrarea prin părți, folosește formula: $\int f'.g dx = f.g - \int f.g' dx$, unde ALENI (prioritate pentru): $e^x$, $sin x$, $cos x$, $x^n$

Limite și Reguli de Derivare

Regulile de derivare te ajută să găsești derivata expresiilor complexe:

• Derivata sumei: $(f±g)' = f'±g'$
• Derivata produsului: $(fg)' = f'g + fg'$
• Derivata raportului: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g-fg'}{g^2}$
• Derivata funcției compuse: $(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)$

Limitele remarcabile sunt esențiale pentru simplificarea calculelor:

• $\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{tg x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{arcsin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{arctg x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$
• $\lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x} = 1$

Sfat practic: Pentru ecuația tangentei la graficul unei funcții în punctul $(x_0, f(x_0))$, folosește formula $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$.

Operații cu infinit:

• $a+\infty = \infty$ pentru orice număr a
• $\infty+\infty = \infty$
• $a·\infty = \infty$ pentru a > 0
• $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $0·\infty$ sunt forme nedeterminate și necesită metode speciale

Algebră

Ecuațiile sunt elementul de bază al algebrei și au multiple aplicații practice:

• Ecuația de gradul I: $ax+b = 0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}$
• Ecuația de gradul II: $ax²+bx + c = 0$
  • $\Delta=b^2-4ac$ (discriminantul)
  • Dacă $\Delta<0$: nu are soluții reale
  • Dacă $\Delta=0$: $x=-\frac{b}{2a}$
  • Dacă $\Delta>0$: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Pentru funcția de gradul II $f(x) = ax^2 + bx + c$, graficul este o parabolă cu vârful în punctul $V(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$.

Important! Imaginea funcției de gradul II depinde de semnul lui a: pentru $a>0$, $Im f(x)=[-\frac{\Delta}{4a}, +\infty)$, iar pentru $a<0$, $Im f(x)=(-\infty, -\frac{\Delta}{4a}]$.

Formulele pentru permutări, aranjamente și combinări sunt esențiale în probabilități:

• Permutări: $P_n = n!$ unde $n! = 1 · 2 · 3 · ... · n$
• Aranjamente: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
• Combinări: $C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

Nu uita că $0! = 1$ - acest lucru poate fi crucial în rezolvarea problemelor!

Progresii și Logaritmi

Progresiile sunt șiruri cu aplicații multiple în matematică și viața reală:

Progresii aritmetice:

• Termenul din mijloc: $a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
• Termenul general: $a_n = a_1+(n-1)·r$ (unde r este rația)
• Suma primilor n termeni: $S_n = \frac{(a_1+a_n)·n}{2}$

Progresii geometrice:

• Media geometrică: $b_n = \sqrt{b_{n-1}·b_{n+1}}$
• Termenul general: $b_n = b_1 · q^{n-1}$ (unde q este rația)
• Suma primilor n termeni: $S_n = b_1 · \frac{q^n-1}{q-1}$

Proprietăți ale logaritmilor:

• $\log_a(A·B) = \log_a A + \log_a B$
• $\log_a(A/B) = \log_a A - \log_a B$
• $\log_a(A^n) = n·\log_a A$
• $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
• $\log_a A = \frac{\log_b A}{\log_b a}$ (formula de schimbare a bazei)

Reține! Pentru calculele cu logaritmi, trebuie respectate condițiile: $A>0$, $a>0$, $a≠1$. Convențional, $\log_a a = 1$ și $\log_a 1 = 0$.

Reguli pentru puteri și radicali:

• $a^m · a^n = a^{m+n}$
• $(a^m)^n = a^{m·n}$
• $\sqrt{a·b} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$
• $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Aceste reguli te ajută să simplifici expresiile și să rezolvi ecuații exponențiale și logaritmice.

Simboluri și Formule de Calcul Prescurtat

Matematica folosește simboluri pentru a exprima idei complexe într-un mod concis:

• $\in$ (aparține); $\subset$ (include); $\forall$ $oricare/pentru orice$
• $\exists$ (există); $\emptyset$ (mulțimea vidă); $\cup$ (reuniune); $\cap$ (intersecție)
• Relații: $<$ (mai mic), $>$ (mai mare), $\leq$ (mai mic sau egal), $\geq$ (mai mare sau egal)
• Divizibilitate: $|$ (divide), $:$ (divizibil)

Formule de calcul prescurtat - esențiale pentru algebră:

• $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
• $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
• $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Sfat util: Aceste formule nu trebuie memorate mecanic - încearcă să le deduci prin înmulțire sau ridicare la putere pentru a le înțelege!

Asimptotele funcțiilor ajută la schițarea graficelor:

• Asimptota verticală: $x=a$ dacă $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$
• Asimptota orizontală: $y=b$ dacă $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$
• Asimptota oblică: $y = mx + n$ dacă $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = m$ și $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] = n$

Aceste concepte sunt fundamentale pentru analiza funcțiilor și reprezentările grafice.

Inecuații și Probabilități

Inecuațiile compară expresii matematice și găsesc intervale de soluții:

Inecuații de gradul I: $ax + b > 0$ sau $<$, $\leq$, $\geq$

• Soluția depinde de semnul lui $a$ și de valoarea $-\frac{b}{a}$

Inecuații de gradul II: $ax^2+bx+c > 0$ sau $<$, $\leq$, $\geq$

• Pentru $\Delta<0$: soluția depinde doar de semnul lui $a$
• Pentru $\Delta=0$: soluția implică un singur punct critic $x=-\frac{b}{2a}$
• Pentru $\Delta>0$: soluția implică două puncte critice $x_1$ și $x_2$

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raport:

$$P = \frac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}}$$

Atenție! La rezolvarea inecuațiilor, este esențial să verifici semnul expresiei în fiecare interval determinat de punctele critice.

Relațiile lui Viète pentru ecuații de gradul II $ax^2 + bx + c = 0$:

• Suma rădăcinilor: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Produsul rădăcinilor: $x_1 · x_2 = \frac{c}{a}$

Forma canonică a trinomului de gradul II: $$ax^2+bx+c = a$x+\frac{b}{2a}$^2 - \frac{\Delta}{4a}$$

Aceste formule sunt utile pentru rezolvarea rapidă a ecuațiilor și inecuațiilor.

Trigonometrie

Trigonometria studiază relațiile dintre unghiuri și laturile triunghiurilor:

Formula fundamentală: $sin^2x + cos^2x = 1$

Funcții trigonometrice de bază:

• $sin x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}$
• $cos x = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}$
• $tg x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} = \frac{sin x}{cos x}$
• $ctg x = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}} = \frac{cos x}{sin x}$

Formule pentru suma și diferența unghiurilor:

• $sin(a \pm b) = sin a · cos b \pm cos a · sin b$
• $cos(a \pm b) = cos a · cos b \mp sin a · sin b$
• $tg(a \pm b) = \frac{tg a \pm tg b}{1 \mp tg a · tg b}$

Memorează ușor! Funcțiile sin, tg și ctg sunt impare $f(-x) = -f(x)$, iar funcția cos este pară $f(-x) = f(x)$.

Formule pentru unghiuri duble:

• $sin 2x = 2 sin x · cos x$
• $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$

Teoreme importante în triunghiuri:

• Teorema sinusurilor: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$ (unde R este raza cercului circumscris)
• Teorema cosinusurilor: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc · cos A$

Aceste formule sunt fundamentale pentru rezolvarea triunghiurilor și pentru multe aplicații în fizică și inginerie.

Geometrie Analitică

Geometria analitică folosește coordonate pentru a rezolva probleme geometrice:

Distanța dintre două puncte: $$AB = \sqrt{$x_2-x_1$^2 + $y_2-y_1$^2}$$

Vectorul determinat de două puncte: $$\overrightarrow{AB} = $x_2-x_1$\overrightarrow{i} + $y_2-y_1$\overrightarrow{j}$$

Ecuația dreptei prin două puncte: $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ sau $$\begin{vmatrix} x & y & 1 \ x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$

Important! Ecuația explicită a unei drepte este $y = mx + n$, unde $m$ este panta dreptei și poate fi calculată ca $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Relații între drepte:

• Drepte paralele: $m_1 = m_2$
• Drepte perpendiculare: $m_1 · m_2 = -1$

Puncte speciale:

• Mijlocul unui segment: $M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
• Centrul de greutate al unui triunghi: $G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

Distanța de la un punct la o dreaptă: $$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Pentru aria triunghiului, poți folosi determinantul: $$A = \frac{1}{2}|\Delta|, \text{ unde } \Delta = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}$$

Grupuri și Structuri Algebrice

Structurile algebrice sunt fundamentale în matematica modernă:

Un grup $(G,\circ)$ este o structură care satisface:

1. Închidere: $\forall x,y \in G \Rightarrow x \circ y \in G$
2. Asociativitate: $\forall x,y,z \in G \Rightarrow (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$
3. Existența elementului neutru: $\exists e \in G$ astfel încât $x \circ e = e \circ x = x, \forall x \in G$
4. Existența simetricalului: $\forall x \in G, \exists x' \in G$ astfel încât $x \circ x' = x' \circ x = e$

Grup comutativ (abelian): dacă $\forall x,y \in G \Rightarrow x \circ y = y \circ x$

Izomorfism între grupuri: o funcție $f: G \rightarrow G'$ care:

• Păstrează operația: $f(x \circ y) = f(x) \circ' f(y), \forall x,y \in G$
• Este bijectivă (injectivă și surjectivă)

Conceptul cheie! Un subgrup $H$ al lui $G$ trebuie să conțină elementul neutru și să fie închis la operația grupului și la formarea de simetrizabile.

Un inel $(A,+,\cdot)$ este o structură unde:

1. $(A,+)$ este un grup comutativ
2. $(A,\cdot)$ este un monoid (asociativ)
3. Operația $\cdot$ este distributivă față de $+$:
   • $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$
   • $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$

Aceste concepte abstracte au aplicații importante în criptografie, teoria codurilor și fizică.

Valori Trigonometrice și Matrici

Valori trigonometrice pentru unghiuri uzuale:

Matrici - operații fundamentale:

• Inversa unei matrici: $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^$(unde$A^$ este matricea adjunctă)
• Pentru calculul adjunctei, se folosesc minorii și cofactorii: $a_{ij} = (-1)^{i+j}|M_{ij}|$

Sisteme de ecuații liniare:

• Incompatibil: nu are soluții $S = \emptyset$ - când $\det A = 0$ și rangul matricei extinse ≠ rangul matricei sistemului
• Compatibil determinat: are o singură soluție - când $\det A \neq 0$ sau rangul = numărul de necunoscute
• Compatibil nedeterminat: are infinitate de soluții - când $\det A = 0$ și rangul < numărul de necunoscute

Aplicație practică! Matricile inversabile sunt folosite în criptografie, grafică computerizată și sisteme de coordonate.

Aceste concepte sunt esențiale în algebra liniară și au numeroase aplicații în informatică, fizică și inginerie.