Progresii și formule algebrice

Progresiile aritmetice sunt secvențe în care diferența dintre termenii consecutivi este constantă. Pentru orice termen al progresiei, folosești formula: $a_m = a_1 + (m-1)r$, iar pentru suma primilor m termeni: $S_m = \frac{(a_1 + a_m)m}{2}$.

Pentru calcule rapide, reține că media aritmetică a două numere este $M_a = \frac{a+b}{2}$, iar media geometrică este $M_g = \sqrt{a+b}$. Aceste concepte sunt strâns legate de progresii.

La operațiile cu puteri, formulele esențiale includ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ și $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Pentru radicali, ține minte că $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ și $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Sfat util: Formulele pentru produse notabile precum $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ și $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ te ajută să rezolvi rapid exerciții complexe fără a face calcule laborioase!

În cazul progresiilor geometrice, folosește formulele: $b_m = b_1 \cdot q^{m-1}$ și $S_m = \frac{b_1(q^m - 1)}{q-1}$ pentru $q \neq 1$. Aceste formule îți economisesc timp considerabil la rezolvarea problemelor.

Funcții

Funcțiile sunt relații care asociază fiecărui element dintr-o mulțime un singur element dintr-o altă mulțime. Pentru a verifica dacă un punct aparține graficului unei funcții, trebuie să verifici dacă coordonatele satisfac ecuația funcției.

De exemplu, pentru funcția $f(x) = 3x + 2$, un punct $A(a;4)$ aparține graficului funcției dacă $f(a) = 4$. Rezolvând ecuația $3a + 2 = 4$, obținem $a = \frac{2}{3}$, deci punctul $A(\frac{2}{3};4)$ aparține graficului.

Pentru a găsi intersecția graficului cu axele, urmează aceste reguli simple:

• Cu axa Ox: punem $y = 0$ și rezolvăm $f(x) = 0$
• Cu axa Oy: punem $x = 0$ și calculăm $y = f(0)$

Reține: Pentru a găsi punctele de intersecție între graficele a două funcții, rezolvă ecuația $f(x) = g(x)$. Aceasta este o tehnică esențială pentru rezolvarea multor probleme de analiză!

Monotonia funcției depinde de coeficientul dominant:

• Dacă $a > 0$, funcția este strict crescătoare
• Dacă $a < 0$, funcția este strict descrescătoare

Studierea semnului funcției te ajută să înțelegi comportamentul acesteia și să trasezi graficul corect.

Ecuații speciale și probabilități

Când rezolvi ecuații iraționale de forma $\sqrt{f(x)} = g(x)$, urmează acești pași:

1. Verifică condițiile de existență: $f(x) \geq 0$ și $g(x) \geq 0$
2. Ridică la pătrat: $f(x) = (g(x))^2$
3. Verifică soluțiile în ecuația inițială pentru a elimina soluțiile false

Pentru ecuații exponențiale ca $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, aplică proprietatea de bijecție a funcției exponențiale pentru a obține $f(x) = g(x)$. În cazul $a^{f(x)} = b$, soluția este $f(x) = \log_a b$.

Ecuațiile logaritmice de forma $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ se rezolvă verificând mai întâi condițiile $f(x) > 0$, $g(x) > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$, apoi aplicând $f(x) = g(x)$.

Atenție: La ecuațiile iraționale și logaritmice, verificarea soluțiilor este obligatorie pentru a elimina soluțiile false care pot apărea în urma operațiilor aplicate!

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul total de cazuri posibile. Pentru calculul combinatoric, reține formulele:

• Permutări: $P_m = m!$
• Aranjamente: $A^k_m = \frac{m!}{(m-k)!}$
• Combinări: $C^k_m = \frac{m!}{k!(m-k)!}$

Trigonometrie și geometrie

Teorema sinusurilor este un instrument puternic pentru trigonometria triunghiului: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = 2R$, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Teorema cosinusului îți permite să calculezi:

• Laturile: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
• Unghiurile: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Aria unui triunghi poate fi calculată folosind formula generală $A_\triangle = \frac{l_1 \cdot l_2 \cdot \sin(\alpha)}{2}$, unde $\alpha$ este unghiul format de laturile $l_1$ și $l_2$.

Pont de reținut: Când ai un triunghi dreptunghic, teorema lui Pitagora $ip^2 = C_1^2 + C_2^2$ și funcțiile trigonometrice de bază $\sin$, $\cos$, $\tg$, $\ctg$ sunt cele mai simple instrumente pentru rezolvare!

Pentru triunghiul dreptunghic, aria se calculează simplu ca $A_\triangle = \frac{C_1 \cdot C_2}{2}$, iar înălțimea pe ipotenuză este $h = \frac{C_1 \cdot C_2}{ip}$. Aceste formule sunt foarte utile în probleme practice.