Progresii: Aritmetice și Geometrice

Progresiile sunt șiruri de numere care urmează un anumit tipar. Există două tipuri principale de progresii pe care trebuie să le stăpânești.

În progresiile aritmetice, fiecare termen diferă de precedentul cu o valoare constantă numită rație (r). De exemplu, în șirul 2, 5, 8, 11..., rația este 3. Formula de recurență este a$n+1$ = a(n) + r, iar termenul general se calculează cu a(n) = a1 + $n-1$r.

În progresiile geometrice, fiecare termen este obținut înmulțind termenul anterior cu o valoare constantă numită rație (q). În șirul 2, 6, 18, 54..., rația este 3. Formula de recurență este b$n+1$ = b(n) * q, iar termenul general este b(n) = b1 * q^$n-1$.

💡 Reține formulele pentru suma primilor n termeni! Pentru aritmetice: S(n) = $a1 + an$ * n/2, iar pentru geometrice: S(n) = b1$q^n - 1$/$q - 1$ când q ≠ 1 sau S(n) = n * b1 când q = 1.

Pentru a verifica dacă trei numere A, B, C sunt în progresie aritmetică, verifici dacă 2B = A + C. Pentru progresie geometrică, trebuie să ai B² = A * C.

Logaritmi: Putere și Simplificare

Logaritmii sunt operații inverse exponențierii. Dacă a^x = N, atunci x = log_a N. Această relație simplă ascunde o unealtă matematică extrem de puternică.

Pentru ca un logaritm log_a N să existe, trebuie să îndeplinească trei condiții: baza a > 0, a ≠ 1, și numărul N > 0. Vei folosi frecvent două tipuri speciale de logaritmi: logaritmul zecimal $lg x = log_10 x$ și logaritmul natural $ln x = log_e x, unde e ≈ 2,71$.

Proprietățile logaritmilor te ajută să simplifici calcule complexe:

• log_a 1 = 0 și log_a a = 1
• log_a $x^n$ = n * log_a x
• log_a $x*y$ = log_a x + log_a y
• log_a $x/y$ = log_a x - log_a y

Poți schimba baza logaritmului folosind formula: log_a b = log_c b / log_c a, ceea ce îți permite să transformi orice logaritm într-unul mai ușor de calculat.

💡 Nu uita de monotonia funcției logaritmice! Dacă a ∈ (0, 1), atunci funcția este strict descrescătoare, iar dacă a > 1, funcția este strict crescătoare.

Funcțiile logaritmice și exponențiale sunt inverse una alteia, ceea ce le face foarte utile în rezolvarea ecuațiilor.

Puteri și Radicali: Fundamente Algebrice

Puterile și radicalii sunt operații fundamentale care apar în aproape toate domeniile matematicii.

O putere este expresia a^n unde a este baza, iar n este exponentul. Proprietățile puterilor simplifică multe calcule:

• a^0 = 1 pentru orice a ≠ 0
• a^n * a^m = a^$n+m$
• a^n / a^m = a^$n-m$
• $a^n$^m = a^$n*m$
• a^$-n$ = 1/a^n

Radicalii reprezintă operația inversă ridicării la putere. Radical de ordin n din a este numărul care ridicat la puterea n dă a. Pentru radicalii de ordin par, expresia de sub radical trebuie să fie ≥ 0, în timp ce radicalii de ordin impar există pentru orice număr real.

Cele mai importante proprietăți ale radicalilor sunt:

• √a * √b = √$a*b$
• √a / √b = √$a/b$
• (√a)^n = a^$n/2$
• √$x^q$ = x^$q/n$

💡 Poți exprima radicalii ca puteri cu exponent fracționar! De exemplu, √x = x^(1/2) și ∛x = x^(1/3), ceea ce face calculele mult mai ușoare.

Stăpânirea acestor proprietăți te va ajuta să simplifici expresii complexe și să rezolvi ecuații care conțin radicali.

Numere Complexe în Forma Algebrică

Numerele complexe extind conceptul de număr real, permițând rezolvarea ecuațiilor care nu au soluții în mulțimea numerelor reale.

Un număr complex în forma algebrică se scrie ca z = a + bi, unde:

• a este partea reală a numărului complex (notată Re(z))
• b este partea imaginară a numărului complex (notată Im(z))
• i este unitatea imaginară, cu proprietatea i² = -1

Numerele complexe au câteva proprietăți importante:

• Un număr este real dacă și numai dacă partea lui imaginară este zero $b = 0$
• Un număr complex este zero dacă și numai dacă atât partea reală cât și partea imaginară sunt zero $a = 0 și b = 0$

💡 Numerele complexe apar natural când încerci să rezolvi ecuații de gradul 2 cu discriminant negativ. De exemplu, ecuația x² + 1 = 0 are soluțiile x = ±i.

Numerele complexe sunt esențiale în matematica avansată și au numeroase aplicații în fizică, inginerie electrică și alte domenii științifice.

Formule de Calcul Prescurtat și Operații Speciale

Formulele de calcul prescurtat sunt instrumente puternice care te ajută să simplifici expresii algebrice complexe.

Formule de calcul prescurtat esențiale:

• a² - b² = $a - b$$a + b$ (diferența de pătrate)
• $a + b$² = a² + 2ab + b² (pătratul sumei)
• $a - b$² = a² - 2ab + b² (pătratul diferenței)
• a³ - b³ = $a - b$$a² + ab + b²$ (diferența de cuburi)
• a³ + b³ = $a + b$$a² - ab + b²$ (suma de cuburi)

Partea întreagă a unui număr real x, notată $x$, este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x. Partea fracționară {x} = x - $x$.

Proprietăți importante:

• x - 1 < $x$ ≤ x
• $x + n$ = $x$ + n, pentru n întreg
• {x} ∈ [0, 1)
• {x + n} = {x}, pentru n întreg

Modulul unui număr real |x| reprezintă distanța de la x la origine:

• |x| = x dacă x ≥ 0
• |x| = -x dacă x < 0

💡 Inegalitățile cu modul se rezolvă examinând cazurile: |x| ≤ A echivalent cu -A ≤ x ≤ A, iar |x| ≥ A echivalent cu x ≤ -A sau x ≥ A.

Aceste formule și concepte te ajută să rezolvi rapid probleme complexe și să te pregătești eficient pentru examene.

Funcții - Definiții și Proprietăți Fundamentale

Funcțiile sunt relații care asociază fiecărui element dintr-o mulțime A (domeniul) un singur element dintr-o mulțime B (codomeniul).

Notația standard pentru o funcție este f: A → B, x → f(x), unde:

• A este domeniul funcției
• B este codomeniul funcției
• f(x) este legea de corespondență a funcției

Graficul unei funcții f, notat Gf, este mulțimea tuturor perechilor ordonate (x, y) unde y = f(x). Fiecare punct de pe grafic are două coordonate:

• Prima coordonată (x) = abscisa punctului
• A doua coordonată (y) = ordonata punctului = f(x)

Pentru a găsi punctele de intersecție cu axele de coordonate:

• Intersecția cu Ox: rezolvă f(x) = 0
• Intersecția cu Oy: calculează f(0)

💡 Pentru a găsi punctele de intersecție între două grafice (Gf și Gg), rezolvă ecuația f(x) = g(x) pentru a afla abscisa, apoi calculează ordonata substituind valoarea lui x.

Compunerea funcțiilor f și g se notează (f∘g)(x) = f(g(x)). Această operație este esențială în studiul funcțiilor și al relațiilor dintre ele.

Clasificarea și Proprietățile Funcțiilor

Funcțiile se pot clasifica în diverse categorii în funcție de comportamentul lor. Să explorăm cele mai importante tipuri.

O funcție f este pară dacă f$-x$ = f(x) pentru orice x din domeniu. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy. Exemplu: f(x) = x².

O funcție f este impară dacă f$-x$ = -f(x) pentru orice x din domeniu. Graficul unei funcții impare este simetric față de origine. Exemplu: f(x) = x³.

O funcție f este periodică cu perioada T dacă f$x + T$ = f(x) pentru orice x din domeniu. Cea mai mică perioadă nenulă pozitivă se numește perioadă principală.

Imaginea unei funcții f: A → B, notată Im(f), reprezintă mulțimea tuturor valorilor pe care le poate lua funcția: Im(f) = {f(x) | x ∈ A}.

O funcție f este:

• Injectivă dacă f(x₁) = f(x₂) implică x₁ = x₂
• Surjectivă dacă pentru orice y ∈ B există x ∈ A astfel încât f(x) = y
• Bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă

💡 O funcție bijectivă este și inversabilă. Inversa funcției f, notată f⁻¹, are proprietatea că f(f⁻¹(x)) = x și f⁻¹(f(x)) = x.

Referitor la monotonie, o funcție f poate fi:

• Crescătoare: x₁ < x₂ implică f(x₁) ≤ f(x₂)
• Descrescătoare: x₁ < x₂ implică f(x₁) ≥ f(x₂)
• Strict crescătoare: x₁ < x₂ implică f(x₁) < f(x₂)
• Strict descrescătoare: x₁ < x₂ implică f(x₁) > f(x₂)

Funcția de Gradul I

Funcția de gradul I, cunoscută și ca funcție liniară, are forma generală f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0.

Graficul unei funcții de gradul I este o dreaptă, iar coeficientul a reprezintă panta dreptei. Cu cât valoarea absolută a lui a este mai mare, cu atât dreapta este mai înclinată.

Monotonia funcției de gradul I depinde de semnul lui a:

• Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare
• Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare

Pentru a determina semnul funcției de gradul I, rezolvă ecuația f(x) = 0, care dă x = -b/a. Apoi:

• Pentru x < -b/a, f(x) are semn contrar lui a
• Pentru x > -b/a, f(x) are același semn cu a

💡 Funcția de gradul I este bijectivă pe R, ceea ce înseamnă că are inversă. Inversa funcției f(x) = ax + b este f⁻¹(x) = $x - b$/a.

Funcțiile de gradul I sunt folosite frecvent pentru a modela relații liniare, cum ar fi costul în funcție de cantitate sau distanța în funcție de timp.

Funcția de Gradul al II-lea: Baza și Ecuații

Funcția de gradul al II-lea are forma generală f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c sunt numere reale și a ≠ 0.

Ecuația de gradul al II-lea ax² + bx + c = 0 are discriminantul Δ = b² - 4ac, care determină numărul de soluții:

• Dacă Δ > 0: două soluții reale distincte x₁ = $-b - √Δ$/(2a) și x₂ = $-b + √Δ$/(2a)
• Dacă Δ = 0: două soluții reale egale x₁ = x₂ = -b/(2a)
• Dacă Δ < 0: nu există soluții reale

Relațiile lui Viète pentru ecuația ax² + bx + c = 0 cu rădăcinile x₁ și x₂:

• Suma rădăcinilor: S = x₁ + x₂ = -b/a
• Produsul rădăcinilor: P = x₁·x₂ = c/a

Semnul funcției de gradul al II-lea depinde de soluțiile ecuației f(x) = 0:

Pentru Δ > 0 (cu x₁ < x₂):

• Pentru x < x₁ sau x > x₂, f(x) are semnul lui a
• Pentru x₁ < x < x₂, f(x) are semn contrar lui a

💡 Pentru a forma o ecuație de gradul al II-lea când cunoști rădăcinile x₁ și x₂, calculează S = x₁ + x₂ și P = x₁·x₂, apoi scrie ecuația x² - Sx + P = 0.

Stăpânirea acestor concepte te va ajuta să rezolvi numeroase probleme legate de funcții de gradul al II-lea.

Funcția de Gradul al II-lea: Grafic și Proprietăți

Graficul funcției de gradul al II-lea este o parabolă care are un punct de extrem numit vârf (V). Coordonatele vârfului sunt V$-b/(2a), -Δ/(4a)$.

Natura vârfului depinde de semnul lui a:

• Dacă a < 0, vârful este un punct de maxim și valoarea maximă a funcției este -Δ/(4a)
• Dacă a > 0, vârful este un punct de minim și valoarea minimă a funcției este -Δ/(4a)

Axa de simetrie a parabolei are ecuația x = -b/(2a).

Poziția parabolei față de axa Ox depinde de discriminantul Δ:

• Dacă Δ > 0: parabola intersectează axa Ox în două puncte distincte
• Dacă Δ = 0: parabola este tangentă axei Ox
• Dacă Δ < 0: parabola nu intersectează axa Ox

Monotonia și imaginea funcției de gradul al II-lea:

Pentru a < 0 $vârf = maxim$:

• Funcția crește strict pe $-∞, -b/(2a)$
• Funcția descrește strict pe $-b/(2a), +∞$
• Imaginea funcției este (-∞, -Δ/(4a)]

💡 Pentru a > 0 $vârf = minim$:

• Funcția descrește strict pe $-∞, -b/(2a)$
• Funcția crește strict pe $-b/(2a), +∞$
• Imaginea funcției este [-Δ/(4a), +∞)

Aceste proprietăți te vor ajuta să analizezi și să reprezinți grafic funcții de gradul al II-lea, un subiect frecvent întâlnit în teste și examene.