Progresii aritmetice și geometrice

Progresiile sunt șiruri de numere care urmează anumite reguli matematice. În progresiile aritmetice, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă (notată cu r), iar în progresiile geometrice, raportul dintre doi termeni consecutivi este constant (notat cu q).

Formula de recurență pentru progresiile aritmetice este aₙ₊₁ = aₙ + r, iar pentru progresiile geometrice bₙ₊₁ = bₙ · q. Termenul general al unei progresii aritmetice se calculează cu formula aₙ = a₁ + (n-1)r, iar pentru progresii geometrice folosim bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.

💡 Pentru a verifica rapid dacă trei numere A, B, C sunt termeni consecutivi într-o progresie aritmetică, folosește relația 2B = A+C. Pentru progresii geometrice, verifică dacă B² = A·C.

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculează cu formula Sₙ = (a₁ + aₙ) · n/2. Pentru progresii geometrice, folosim Sₙ = b₁(qⁿ-1)/(q-1) când q≠1, sau Sₙ = n·b₁ când q=1.

Numere complexe în formă algebrică

Numerele complexe extind sistemul numerelor reale, fiind exprimate în forma z = a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar i este unitatea imaginară cu proprietatea i² = -1.

Partea reală a unui număr complex z se notează Re$z$ = a, iar partea imaginară Im$z$ = b. Două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale. Un număr complex este real când Im$z$ = 0.

Conjugatul unui număr complex z = a + bi este z̄ = a - bi. Modulul lui z se calculează ca |z| = √$a² + b²$ și are proprietăți importante:

• |z| = |z̄|
• |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
• |z|² = z·z̄

💡 Pentru calculul raportului între două numere complexe, amplifică fracția cu conjugatul numitorului pentru a obține o formă algebrică simplificată.

Pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul II cu coeficienți reali și discriminant negativ, soluțiile sunt numere complexe conjugate: x₁,₂ = $-b ± i√(-Δ)$/2a.

Funcții - definiții și proprietăți

O funcție f: A → B este o relație care asociază fiecărui element x din mulțimea A un unic element f$x$ din mulțimea B. Domeniul funcției este mulțimea A, iar codomeniul este mulțimea B.

Graficul unei funcții (Gf) este mulțimea perechilor ordonate (x, f$x$), unde x parcurge domeniul funcției. Pentru a găsi punctele de intersecție cu axele de coordonate, punem condiții specifice:

• Pentru intersecția cu axa Ox: f$x$ = 0
• Pentru intersecția cu axa Oy: x = 0, deci y = f(0)

Când determinăm punctele de intersecție a două grafice Gf și Gg, rezolvăm ecuația f$x$ = g$x$ pentru a găsi abscisa, apoi calculăm ordonata.

Compunerea funcțiilor f și g se notează (f∘g)$x$ = f(g$x$) și reprezintă aplicarea funcției f asupra rezultatului funcției g.

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I are forma generală f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0. Aceasta este o funcție liniară reprezentată grafic printr-o dreaptă.

Monotonia funcției depinde de semnul lui a:

• Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare
• Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare

Pentru a determina semnul funcției, rezolvăm ecuația f$x$ = 0, obținând x = -b/a. Apoi analizăm:

• Pentru x < -b/a, funcția are semn contrar lui a
• Pentru x = -b/a, funcția este zero
• Pentru x > -b/a, funcția are același semn cu a

💡 O funcție de gradul I poate fi folosită pentru a modela multe situații din viața reală unde există o relație liniară între două mărimi, cum ar fi costul în funcție de cantitate.

Funcția de gradul al doilea

Funcția de gradul al doilea are forma f(x) = ax² + bx + c (a≠0), iar graficul său este o parabolă. Punctul de extrem al parabolei se numește vârf și are coordonatele V$-b/(2a), -Δ/(4a)$, unde Δ = b² - 4ac.

Când a < 0, vârful este punct de maxim și funcția atinge valoarea maximă f_max = -Δ/(4a). Când a > 0, vârful este punct de minim și funcția atinge valoarea minimă f_min = -Δ/(4a).

Poziția parabolei față de axa Ox depinde de discriminantul Δ:

• Dacă Δ > 0, parabola intersectează axa Ox în două puncte distincte
• Dacă Δ = 0, parabola este tangentă la axa Ox
• Dacă Δ < 0, parabola nu intersectează axa Ox

💡 Axa de simetrie a parabolei are ecuația x = -b/(2a) și trece prin vârful parabolei.

Monotonia funcției de gradul al doilea depinde de semnul lui a și de poziția vârfului. Funcția este strict crescătoare pe intervalul $-∞, -b/(2a)$ și strict descrescătoare pe [-b/(2a), +∞) când a < 0, iar când a > 0, situația se inversează.

Ecuații

Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical. Pentru a rezolva o ecuație de forma √f$x$ = g$x$:

1. Punem condiții de existență: f$x$ ≥ 0 (pentru radical de ordin par)
2. Ridicăm la pătrat: f$x$ = g$x$²
3. Verificăm soluțiile (pentru a elimina soluțiile false)

Ecuațiile exponențiale implică necunoscuta la exponent. Tipurile principale sunt:

• a^(f$x$) = a^(g$x$) ⟹ f$x$ = g$x$
• a^(f$x$) = b ⟹ f$x$ = log_a b

Ecuațiile logaritmice implică necunoscuta în argument sau bază a logaritmului:

• log_a f$x$ = log_a g$x$ ⟹ f$x$ = g$x$, cu condiția ca f$x$ > 0, g$x$ > 0, a > 0, a ≠ 1
• log_a f$x$ = N ⟹ f$x$ = a^N, cu condiția ca f$x$ > 0, a > 0, a ≠ 1

💡 Când rezolvi ecuații iraționale, verificarea soluțiilor este esențială deoarece ridicarea la putere poate introduce soluții străine!

Ecuații trigonometrice

Ecuațiile trigonometrice fundamentale și soluțiile lor generale sunt:

• sin x = a $a ∈ [-1, 1]$ ⟹ x = $-1$^k · arcsin a + kπ, k ∈ Z
• cos x = a $a ∈ [-1, 1]$ ⟹ x = ± arccos a + 2kπ, k ∈ Z
• tg x = a (a ∈ R) ⟹ x = arctg a + kπ, k ∈ Z
• ctg x = a (a ∈ R) ⟹ x = arcctg a + kπ, k ∈ Z

Pentru ecuații de forma sin f$x$ = sin g$x$, cos f$x$ = cos g$x$ sau tg f$x$ = tg g$x$, folosim:

• sin f$x$ = sin g$x$ ⟹ f$x$ = $-1$^k · g$x$ + kπ, k ∈ Z
• cos f$x$ = cos g$x$ ⟹ f$x$ = ±g$x$ + 2kπ, k ∈ Z
• tg f$x$ = tg g$x$ ⟹ f$x$ = g$x$ + kπ, k ∈ Z

💡 Pentru ecuațiile de forma a·cos x + b·sin x + c = 0, poți folosi substituția tg$x/2$ = t și formulele cos x = $1-t²$/$1+t²$ și sin x = 2t/$1+t²$, dar verifică și x = $2k+1$π, k ∈ Z!

Formulele trigonometrice esențiale sunt sin²x + cos²x = 1 și cos 2x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x.

Geometrie analitică

Distanța dintre două puncte A(xₐ, yₐ) și B(xᵦ, yᵦ) se calculează cu formula: AB = √((xᵦ - xₐ)² + (yᵦ - yₐ)²)

Coordonatele mijlocului unui segment AB sunt: M(xₘ, yₘ) unde xₘ = (xₐ + xᵦ)/2 și yₘ = (yₐ + yᵦ)/2

Panta unei drepte $m$ se poate determina în mai multe moduri:

• m = tg α, unde α este unghiul format de dreaptă cu axa Ox
• m = -a/b pentru dreapta cu ecuația ax + by + c = 0
• m = (yᵦ - yₐ)/(xᵦ - xₐ) pentru dreapta ce trece prin punctele A și B (xᵦ ≠ xₐ)

Ecuația dreptei poate fi determinată cunoscând:

• Două puncte A și B: |x y 1; xₐ yₐ 1; xᵦ yᵦ 1| = 0 sau $x-xₐ$/(xᵦ-xₐ) = $y-yₐ$/(yᵦ-yₐ)
• Un punct A și panta m: y - yₐ = m$x - xₐ$

💡 Ține minte conceptele geometrice: mediatoarea unui segment este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului; înălțimea este perpendiculara din vârf pe latura opusă; mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.

Elemente de trigonometrie

Cercul trigonometric este reprezentarea geometrică a funcțiilor trigonometrice. Valorile remarcabile sunt:

• La 0°(0): sin = 0, cos = 1
• La 90°$π/2$: sin = 1, cos = 0
• La 180°(π): sin = 0, cos = -1
• La 270°$3π/2$: sin = -1, cos = 0
• La 360°(2π): sin = 0, cos = 1

Valorile pentru unghiurile de 30°, 45° și 60° sunt:

• 30°$π/6$: sin = 1/2, cos = √3/2, tg = 1/√3, ctg = √3
• 45°$π/4$: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1, ctg = 1
• 60°$π/3$: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3, ctg = 1/√3

💡 Semnele funcțiilor trigonometrice depind de cadranul în care se află unghiul: în cadranul I toate sunt pozitive, în cadranul II doar sin este pozitiv, în cadranul III doar tg este pozitiv, în cadranul IV doar cos este pozitiv.

Acest sistem de memorare te ajută să determini rapid semnul funcțiilor trigonometrice pentru orice unghi.

Funcții trigonometrice inverse

Funcțiile trigonometrice inverse reprezintă operațiile inverse ale funcțiilor trigonometrice, cu domenii și codomenii specifice:

Arcsin și Arctg:

• arcsin x: $-1,1$ → $-π/2, π/2$
• arctg x: R → $-π/2, π/2$
• arcsin(sin x) = x, pentru x ∈ $-π/2, π/2$
• arctg(tg x) = x, pentru x ∈ $-π/2, π/2$
• arcsin$-x$ = -arcsin x, pentru x ∈ $-1,1$
• arctg$-x$ = -arctg x, pentru x ∈ R

Arccos și Arcctg:

• arccos x: $-1,1$ → [0, π]
• arcctg x: R → (0, π)
• arccos(cos x) = x, pentru x ∈ [0, π]
• arcctg(ctg x) = x, pentru x ∈ (0, π)
• arccos$-x$ = π - arccos x, pentru x ∈ $-1,1$
• arcctg$-x$ = π - arcctg x, pentru x ∈ R

💡 Funcțiile trigonometrice inverse sunt esențiale pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și pentru calcularea unghiurilor în probleme geometrice.

Aceste relații te vor ajuta să manipulezi expresiile care implică funcții trigonometrice inverse, care apar frecvent în problemele de bacalaureat.