Knowunity AI

Mai mult

Cariere

Program de Creatori

Accesează aplicația

Materii

MatematicăMatematică912 vizualizări·Actualizat May 22, 2026·42 pagini

Formule Esențiale pentru Bacalaureat

R
Raluca Sirbu@ralucasir_f91md

Logaritmii, puterile, rădăcinile și numerele complexe reprezintă concepte matematice fundamentale... Afișează mai mult

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
Page 11
Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Page 23
Page 24
Page 25
Page 26
Page 27
Page 28
Page 29
Page 30
Page 31
Page 32
Page 33
Page 34
Page 35
Page 36
Page 37
Page 38
Page 39
Page 40
Page 41
Page 42
1 / 42
1
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Logaritmi

Logaritmul reprezintă operația inversă a ridicării la putere. Dacă a^x = N, atunci x = log_a N, unde a > 0, a ≠ 1 și N > 0. Pentru a exista un logaritm, trebuie respectate trei condiții: baza să fie pozitivă, diferită de 1, iar cantitatea (numărul din care luăm logaritm) trebuie să fie pozitivă.

Există două tipuri speciale de logaritmi pe care îi vei folosi frecvent: logaritmul zecimal lgx=log10xlg x = log₁₀ x și logaritmul natural lnx=logex,undee≈2,71ln x = log_e x, unde e ≈ 2,71.

Proprietățile logaritmilor te ajută să simplifici calcule complexe:

  • log_a 1 = 0 și log_a a = 1
  • log_a x^n = n · log_a x
  • log_a (x·y) = log_a x + log_a y
  • log_a x/yx/y = log_a x - log_a y
  • log_a b = log_c b / log_c a (formula de schimbare a bazei)

De reținut! Funcțiile logaritmice și exponențiale au comportamente de monotonie opuse: când baza a ∈ (0,1), funcția logaritmică este strict descrescătoare, iar când a > 1, este strict crescătoare.

2
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Puteri și radicali

Puterile sunt operații matematice unde un număr (baza) este înmulțit cu sine de un anumit număr de ori (exponentul). Pentru a^n, a este baza, iar n este exponentul.

Proprietățile puterilor te ajută să simplifici expresii complexe:

  • a^0 = 1 (orice număr la puterea zero este 1)
  • a^n · a^m = a^n+mn+m (înmulțirea puterilor cu aceeași bază)
  • a^n / a^m = a^n−mn-m (împărțirea puterilor cu aceeași bază)
  • ana^n^m = a^(n·m) (puterea unei puteri)
  • a^−n-n = 1/a^n (puterea negativă)

Radicalii reprezintă operația inversă a ridicării la putere. √a este rădăcina de ordin 2 a lui a, iar ∛a este rădăcina de ordin 3.

Pentru radicalii de ordin par (cum ar fi rădăcina pătrată), expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau zero. Pentru radicalii de ordin impar (cum ar fi rădăcina cubică), nu există această restricție.

Important! Reține că radicalii pot fi scriși ca puteri cu exponent fracționar: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), și în general √^n x = x^1/n1/n, ceea ce îți permite să folosești proprietățile puterilor pentru simplificarea expresiilor cu radicali.

3
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Numere complexe - forma algebrică

Numerele complexe extind sistemul numeric real și se scriu în forma algebrică z = a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar i este unitatea imaginară cu proprietatea i² = -1.

În orice număr complex z = a + bi:

  • a = Re(z) reprezintă partea reală
  • b = Im(z) reprezintă partea imaginară

Două numere complexe sunt egale a1+b1i=a2+b2ia₁ + b₁i = a₂ + b₂i dacă și numai dacă a₁ = a₂ și b₁ = b₂.

Conjugatul unui număr complex z = a + bi este z̄ = a - bi, iar modulul său se calculează cu formula |z| = √a2+b2a² + b².

Proprietățile modulului și conjugatului te ajută la simplificarea calculelor:

  • |z| = |z̄|
  • |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
  • z∈ℝ ⟺ z = z̄
  • |z|² = z·z̄

Reține! Pentru puterile lui i există un model repetitiv: i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, după care ciclul se repetă. Astfel, poți calcula orice putere a lui i folosind restul împărțirii exponentului la 4.

4
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Formule de calcul prescurtat și concepte fundamentale

Formulele de calcul prescurtat sunt esențiale pentru simplificarea expresiilor algebrice:

  • a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  • a−ba - b² = a² - 2ab + b²
  • a² - b² = a−ba - ba+ba + b
  • a³ - b³ = a−ba - ba2+ab+b2a² + ab + b²
  • a³ + b³ = a+ba + ba2−ab+b2a² - ab + b²

Partea întreagă și fracționară a unui număr real x:

  • [x] reprezintă cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x
  • {x} reprezintă diferența x - [x], adică partea fracționară

Proprietăți importante: x = [x] + {x}, partea fracționară este întotdeauna între 0 și 1, iar {x + n} = {x} pentru orice n întreg.

Modulul unui număr real |x| reprezintă distanța de la x la 0 pe axa numerelor: |x| = x pentru x ≥ 0 și |x| = -x pentru x < 0

Sfat util! Inegalitățile cu modul pot fi reformulate: |x| ≤ A înseamnă că -A ≤ x ≤ A, iar |x| ≥ A înseamnă că x ≤ -A sau x ≥ A. Acest lucru te ajută să rezolvi rapid ecuații și inecuații cu modul.

5
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Funcții - definiții și proprietăți

O funcție f: A → B stabilește o corespondență între elementele mulțimii A (domeniul funcției) și elementele mulțimii B (codomeniul), astfel încât fiecărui element din A îi corespunde exact un element din B.

Reprezentarea grafică a funcției (Gf) este formată din toate punctele de coordonate (x, f(x)) din planul xOy, unde x∈A.

Pentru a găsi intersecția graficului cu axele de coordonate:

  • Cu axa Ox: rezolvi ecuația f(x) = 0
  • Cu axa Oy: calculezi valoarea f(0)

Când lucrezi cu două funcții, f și g, punctele de intersecție ale graficelor lor se găsesc rezolvând ecuația f(x) = g(x). După determinarea abscisei, calculezi și ordonata folosind una dintre funcții.

Important pentru practică! Compunerea funcțiilor (f∘g)(x) = f(g(x)) este o operație frecvent întâlnită în probleme. Pentru a o calcula, înlocuiești x din expresia lui f cu expresia funcției g.

6
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Funcții - tipuri și proprietăți

Funcțiile se clasifică după comportamentul lor față de operații specifice:

Funcții pare și impare: Pentru o mulțime simetrică A:

  • O funcție f este pară dacă f−x-x = f(x) pentru orice x∈A
  • O funcție f este impară dacă f−x-x = -f(x) pentru orice x∈A

Funcții periodice: O funcție f este periodică cu perioada T dacă fx+Tx+T = f(x) pentru orice x din domeniu. Cea mai mică perioadă pozitivă se numește perioadă principală.

Imaginea funcției (Im f) reprezintă mulțimea tuturor valorilor pe care le ia funcția: Im f = {f(x) | x∈A}.

Proprietăți importante:

  • O funcție este injectivă dacă valori diferite din domeniu au imagini diferite
  • O funcție este surjectivă dacă orice element din codomeniu este imaginea cel puțin a unui element din domeniu
  • O funcție este bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă

Sfat practic! Funcțiile strict monotone sunt întotdeauna injective. O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Inversa funcției f, notată f⁻¹, are proprietatea că f(f⁻¹(x)) = x și f⁻¹(f(x)) = x.

7
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0. Reprezentarea sa grafică este o dreaptă.

Monotonia funcției depinde de valoarea lui a:

  • Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare
  • Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare

Pentru a determina semnul funcției, rezolvi ecuația f(x) = 0, care dă x = -b/a. Apoi analizezi comportamentul funcției:

x-∞-b/a+∞
f(x)semn contrar lui a0semn a

Aplicații practice: Funcția de gradul I este esențială pentru modelarea multor fenomene din viața reală, cum ar fi costurile, distanțele și alte relații liniare. De asemenea, este baza pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, care apar frecvent în probleme practice.

8
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Funcția de gradul al II-lea

Funcția de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c sunt numere reale și a ≠ 0. Graficul său este o parabolă.

Pentru ecuația asociată ax² + bx + c = 0, calculăm discriminantul Δ = b² - 4ac și analizăm:

  • Dacă Δ > 0: ecuația are două soluții reale distincte x₁ = −b−√Δ-b-√Δ/2a și x₂ = −b+√Δ-b+√Δ/2a
  • Dacă Δ = 0: ecuația are două soluții reale egale x₁ = x₂ = -b/2a
  • Dacă Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

Semnul funcției depinde de semnul lui a și de valorile rădăcinilor (dacă există).

Relațiile lui Viète pentru rădăcinile x₁ și x₂ sunt:

  • Suma rădăcinilor: S = x₁ + x₂ = -b/a
  • Produsul rădăcinilor: P = x₁·x₂ = c/a

Trucul rezolvării! Pentru a forma o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile x₁ și x₂ date, calculezi S și P, apoi scrii ecuația în forma x² - Sx + P = 0. Acest procedeu este foarte util în probleme de concurs.

9
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Graficul funcției de gradul al II-lea

Parabola, graficul funcției de gradul al II-lea, are un punct extrem numit vârf (V), cu coordonatele: V−b/2a,−Δ/4a-b/2a, -Δ/4a

Comportamentul funcției depinde de semnul lui a:

  • Dacă a < 0, V este punct de maxim și funcția atinge valoarea maximă f_max = -Δ/4a
  • Dacă a > 0, V este punct de minim și funcția atinge valoarea minimă f_min = -Δ/4a

Axa de simetrie a parabolei are ecuația x = -b/2a, fiind paralelă cu axa Oy și trecând prin vârful parabolei.

Poziția parabolei față de axa Ox depinde de discriminantul Δ:

  • Dacă Δ > 0: parabola intersectează axa Ox în două puncte distincte
  • Dacă Δ = 0: parabola este tangentă la axa Ox oatingeı^ntr−unsingurpuncto atinge într-un singur punct
  • Dacă Δ < 0: parabola nu intersectează axa Ox

Vizualizează! Imaginea (domeniul de valori) funcției depinde de vârf: pentru a < 0, Im f = −∞,−Δ/4a],iarpentrua>0,Imf=[−Δ/4a,+∞-∞, -Δ/4a], iar pentru a > 0, Im f = [-Δ/4a, +∞. Monotonia funcției se schimbă la vârf, fiind crescătoare pe o parte și descrescătoare pe cealaltă.

10
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Ecuații speciale

Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical:

  • Pentru √f(x) = g(x), impunem condițiile f(x) ≥ 0 și g(x) ≥ 0
  • Pentru ³√f(x) = g(x), nu avem condiții suplimentare pentru f(x)

Metoda de rezolvare implică ridicarea la putere pentru eliminarea radicalului:

  • Pentru √f(x) = g(x), ridicăm la pătrat: f(x) = g(x)²
  • Pentru ³√f(x) = g(x), ridicăm la cub: f(x) = g(x)³

Ecuațiile exponențiale implică necunoscuta în exponent:

  • a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x), pentru orice a > 0, a ≠ 1
  • a^f(x) = b ⟹ f(x) = log_a b

Ecuațiile logaritmice implică necunoscuta în argumentul logaritmului:

  • log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x), cu condiția f(x) > 0 și g(x) > 0
  • log_a f(x) = N ⟹ f(x) = a^N, cu condiția f(x) > 0

Atenție! La ecuațiile iraționale și logaritmice este obligatorie verificarea soluțiilor, deoarece prin ridicare la putere sau prin alte transformări pot apărea soluții străine care nu satisfac ecuația inițială.

11
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
12
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
13
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
14
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
15
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
16
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
17
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
18
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
19
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
20
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
21
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
22
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
23
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
24
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
25
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
26
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
27
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
28
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
29
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
30
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
31
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
32
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
33
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
34
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
35
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
36
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
37
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
38
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
39
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
40
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
41
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
42
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Cel mai popular conținut: Mathematical Reasoning

4
MatematicăMatematică

Probleme EN subiectul 3 ex 1

Modele exerciții des întâlnite

84786
MatematicăMatematică

Evaluare națională

Matematică

84228
MatematicăMatematică

Reguli de adunare a numerelor intregi

-numere cu semne comune, -numere cu semne diferite

51300
LogicăLogică

Raporturi logice între termeni și clasificare

Notițe logică

121441

Cel mai popular conținut la Matematică

9
MatematicăMatematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

124,49080
MatematicăMatematică

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

126,764216
MatematicăMatematică

Portofoliu geometrie clasele 5-8

Pdf cu tot ce trebuie sa știi la geometrie clasa 8

85,550109
MatematicăMatematică

EN CLASA a6

Evaluarea națională pentru clasa a-6-a matematica fizica și biologie

61,53318
MatematicăMatematică

formule bac mate

formule

121,91636
MatematicăMatematică

Teorie Bac Mate

Teorie BAC Mate

101,93159
MatematicăMatematică

exercitii bac mate sub 1

exercitii bac mate sub 1

121,32134
MatematicăMatematică

portofoliu matematica pentru evaluare

portofoliu algebra si geometrie plana pentru evaluarea națională,clasa a8a pentru un nivel mediu

81,11923
MatematicăMatematică

Formule mate pe subiecte

Formule mate pe subiecte

1293621

Cel mai popular conținut

9
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseuri Limba si literatura română

Eseurile sunt structurate dupa barem. Aceste eseuri sunt pentru profilul real, bune si pentru uman dar lipsesc relatiile dintre personaje si caracrerizarile.

126,124136
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Toate eseurile pentru bac

Contin eseul propriu zis si schematizarea acestuia

124,22091
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu”Luceafărul” de Mihai Eminescu complet

eseu

115,95092
BiologieBiologie

Notițe-Bio 11-12

Biologie. Anatomie, fiziologie și genetică

114,11177
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Rezumat ultima noapte de dragoste, întâia de război

Rezumat pe capitole

122,85134
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

eseul complet moara cu noroc

116,001116
GeografieGeografie

Materie geografie

Bac geografie

128,237120
MatematicăMatematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

124,49080
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu- Leoaica tanara, iubirea

Eseu pt bac

123,11444

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan Sutilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klichutilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Annautilizator iOS

MatematicăMatematică912 vizualizări·Actualizat May 22, 2026·42 pagini

Formule Esențiale pentru Bacalaureat

R
Raluca Sirbu@ralucasir_f91md

Logaritmii, puterile, rădăcinile și numerele complexe reprezintă concepte matematice fundamentale pentru liceu. Aceste noțiuni îți vor fi esențiale atât pentru rezolvarea diverselor probleme, cât și pentru înțelegerea aprofundată a matematicii și aplicațiilor sale.

1
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Logaritmi

Logaritmul reprezintă operația inversă a ridicării la putere. Dacă a^x = N, atunci x = log_a N, unde a > 0, a ≠ 1 și N > 0. Pentru a exista un logaritm, trebuie respectate trei condiții: baza să fie pozitivă, diferită de 1, iar cantitatea (numărul din care luăm logaritm) trebuie să fie pozitivă.

Există două tipuri speciale de logaritmi pe care îi vei folosi frecvent: logaritmul zecimal lgx=log10xlg x = log₁₀ x și logaritmul natural lnx=logex,undee≈2,71ln x = log_e x, unde e ≈ 2,71.

Proprietățile logaritmilor te ajută să simplifici calcule complexe:

  • log_a 1 = 0 și log_a a = 1
  • log_a x^n = n · log_a x
  • log_a (x·y) = log_a x + log_a y
  • log_a x/yx/y = log_a x - log_a y
  • log_a b = log_c b / log_c a (formula de schimbare a bazei)

De reținut! Funcțiile logaritmice și exponențiale au comportamente de monotonie opuse: când baza a ∈ (0,1), funcția logaritmică este strict descrescătoare, iar când a > 1, este strict crescătoare.

2
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Puteri și radicali

Puterile sunt operații matematice unde un număr (baza) este înmulțit cu sine de un anumit număr de ori (exponentul). Pentru a^n, a este baza, iar n este exponentul.

Proprietățile puterilor te ajută să simplifici expresii complexe:

  • a^0 = 1 (orice număr la puterea zero este 1)
  • a^n · a^m = a^n+mn+m (înmulțirea puterilor cu aceeași bază)
  • a^n / a^m = a^n−mn-m (împărțirea puterilor cu aceeași bază)
  • ana^n^m = a^(n·m) (puterea unei puteri)
  • a^−n-n = 1/a^n (puterea negativă)

Radicalii reprezintă operația inversă a ridicării la putere. √a este rădăcina de ordin 2 a lui a, iar ∛a este rădăcina de ordin 3.

Pentru radicalii de ordin par (cum ar fi rădăcina pătrată), expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau zero. Pentru radicalii de ordin impar (cum ar fi rădăcina cubică), nu există această restricție.

Important! Reține că radicalii pot fi scriși ca puteri cu exponent fracționar: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), și în general √^n x = x^1/n1/n, ceea ce îți permite să folosești proprietățile puterilor pentru simplificarea expresiilor cu radicali.

3
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Numere complexe - forma algebrică

Numerele complexe extind sistemul numeric real și se scriu în forma algebrică z = a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar i este unitatea imaginară cu proprietatea i² = -1.

În orice număr complex z = a + bi:

  • a = Re(z) reprezintă partea reală
  • b = Im(z) reprezintă partea imaginară

Două numere complexe sunt egale a1+b1i=a2+b2ia₁ + b₁i = a₂ + b₂i dacă și numai dacă a₁ = a₂ și b₁ = b₂.

Conjugatul unui număr complex z = a + bi este z̄ = a - bi, iar modulul său se calculează cu formula |z| = √a2+b2a² + b².

Proprietățile modulului și conjugatului te ajută la simplificarea calculelor:

  • |z| = |z̄|
  • |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
  • z∈ℝ ⟺ z = z̄
  • |z|² = z·z̄

Reține! Pentru puterile lui i există un model repetitiv: i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, după care ciclul se repetă. Astfel, poți calcula orice putere a lui i folosind restul împărțirii exponentului la 4.

4
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Formule de calcul prescurtat și concepte fundamentale

Formulele de calcul prescurtat sunt esențiale pentru simplificarea expresiilor algebrice:

  • a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  • a−ba - b² = a² - 2ab + b²
  • a² - b² = a−ba - ba+ba + b
  • a³ - b³ = a−ba - ba2+ab+b2a² + ab + b²
  • a³ + b³ = a+ba + ba2−ab+b2a² - ab + b²

Partea întreagă și fracționară a unui număr real x:

  • [x] reprezintă cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x
  • {x} reprezintă diferența x - [x], adică partea fracționară

Proprietăți importante: x = [x] + {x}, partea fracționară este întotdeauna între 0 și 1, iar {x + n} = {x} pentru orice n întreg.

Modulul unui număr real |x| reprezintă distanța de la x la 0 pe axa numerelor: |x| = x pentru x ≥ 0 și |x| = -x pentru x < 0

Sfat util! Inegalitățile cu modul pot fi reformulate: |x| ≤ A înseamnă că -A ≤ x ≤ A, iar |x| ≥ A înseamnă că x ≤ -A sau x ≥ A. Acest lucru te ajută să rezolvi rapid ecuații și inecuații cu modul.

5
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Funcții - definiții și proprietăți

O funcție f: A → B stabilește o corespondență între elementele mulțimii A (domeniul funcției) și elementele mulțimii B (codomeniul), astfel încât fiecărui element din A îi corespunde exact un element din B.

Reprezentarea grafică a funcției (Gf) este formată din toate punctele de coordonate (x, f(x)) din planul xOy, unde x∈A.

Pentru a găsi intersecția graficului cu axele de coordonate:

  • Cu axa Ox: rezolvi ecuația f(x) = 0
  • Cu axa Oy: calculezi valoarea f(0)

Când lucrezi cu două funcții, f și g, punctele de intersecție ale graficelor lor se găsesc rezolvând ecuația f(x) = g(x). După determinarea abscisei, calculezi și ordonata folosind una dintre funcții.

Important pentru practică! Compunerea funcțiilor (f∘g)(x) = f(g(x)) este o operație frecvent întâlnită în probleme. Pentru a o calcula, înlocuiești x din expresia lui f cu expresia funcției g.

6
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Funcții - tipuri și proprietăți

Funcțiile se clasifică după comportamentul lor față de operații specifice:

Funcții pare și impare: Pentru o mulțime simetrică A:

  • O funcție f este pară dacă f−x-x = f(x) pentru orice x∈A
  • O funcție f este impară dacă f−x-x = -f(x) pentru orice x∈A

Funcții periodice: O funcție f este periodică cu perioada T dacă fx+Tx+T = f(x) pentru orice x din domeniu. Cea mai mică perioadă pozitivă se numește perioadă principală.

Imaginea funcției (Im f) reprezintă mulțimea tuturor valorilor pe care le ia funcția: Im f = {f(x) | x∈A}.

Proprietăți importante:

  • O funcție este injectivă dacă valori diferite din domeniu au imagini diferite
  • O funcție este surjectivă dacă orice element din codomeniu este imaginea cel puțin a unui element din domeniu
  • O funcție este bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă

Sfat practic! Funcțiile strict monotone sunt întotdeauna injective. O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Inversa funcției f, notată f⁻¹, are proprietatea că f(f⁻¹(x)) = x și f⁻¹(f(x)) = x.

7
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0. Reprezentarea sa grafică este o dreaptă.

Monotonia funcției depinde de valoarea lui a:

  • Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare
  • Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare

Pentru a determina semnul funcției, rezolvi ecuația f(x) = 0, care dă x = -b/a. Apoi analizezi comportamentul funcției:

x-∞-b/a+∞
f(x)semn contrar lui a0semn a

Aplicații practice: Funcția de gradul I este esențială pentru modelarea multor fenomene din viața reală, cum ar fi costurile, distanțele și alte relații liniare. De asemenea, este baza pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, care apar frecvent în probleme practice.

8
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Funcția de gradul al II-lea

Funcția de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c sunt numere reale și a ≠ 0. Graficul său este o parabolă.

Pentru ecuația asociată ax² + bx + c = 0, calculăm discriminantul Δ = b² - 4ac și analizăm:

  • Dacă Δ > 0: ecuația are două soluții reale distincte x₁ = −b−√Δ-b-√Δ/2a și x₂ = −b+√Δ-b+√Δ/2a
  • Dacă Δ = 0: ecuația are două soluții reale egale x₁ = x₂ = -b/2a
  • Dacă Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

Semnul funcției depinde de semnul lui a și de valorile rădăcinilor (dacă există).

Relațiile lui Viète pentru rădăcinile x₁ și x₂ sunt:

  • Suma rădăcinilor: S = x₁ + x₂ = -b/a
  • Produsul rădăcinilor: P = x₁·x₂ = c/a

Trucul rezolvării! Pentru a forma o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile x₁ și x₂ date, calculezi S și P, apoi scrii ecuația în forma x² - Sx + P = 0. Acest procedeu este foarte util în probleme de concurs.

9
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Graficul funcției de gradul al II-lea

Parabola, graficul funcției de gradul al II-lea, are un punct extrem numit vârf (V), cu coordonatele: V−b/2a,−Δ/4a-b/2a, -Δ/4a

Comportamentul funcției depinde de semnul lui a:

  • Dacă a < 0, V este punct de maxim și funcția atinge valoarea maximă f_max = -Δ/4a
  • Dacă a > 0, V este punct de minim și funcția atinge valoarea minimă f_min = -Δ/4a

Axa de simetrie a parabolei are ecuația x = -b/2a, fiind paralelă cu axa Oy și trecând prin vârful parabolei.

Poziția parabolei față de axa Ox depinde de discriminantul Δ:

  • Dacă Δ > 0: parabola intersectează axa Ox în două puncte distincte
  • Dacă Δ = 0: parabola este tangentă la axa Ox oatingeı^ntr−unsingurpuncto atinge într-un singur punct
  • Dacă Δ < 0: parabola nu intersectează axa Ox

Vizualizează! Imaginea (domeniul de valori) funcției depinde de vârf: pentru a < 0, Im f = −∞,−Δ/4a],iarpentrua>0,Imf=[−Δ/4a,+∞-∞, -Δ/4a], iar pentru a > 0, Im f = [-Δ/4a, +∞. Monotonia funcției se schimbă la vârf, fiind crescătoare pe o parte și descrescătoare pe cealaltă.

10
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Ecuații speciale

Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical:

  • Pentru √f(x) = g(x), impunem condițiile f(x) ≥ 0 și g(x) ≥ 0
  • Pentru ³√f(x) = g(x), nu avem condiții suplimentare pentru f(x)

Metoda de rezolvare implică ridicarea la putere pentru eliminarea radicalului:

  • Pentru √f(x) = g(x), ridicăm la pătrat: f(x) = g(x)²
  • Pentru ³√f(x) = g(x), ridicăm la cub: f(x) = g(x)³

Ecuațiile exponențiale implică necunoscuta în exponent:

  • a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x), pentru orice a > 0, a ≠ 1
  • a^f(x) = b ⟹ f(x) = log_a b

Ecuațiile logaritmice implică necunoscuta în argumentul logaritmului:

  • log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x), cu condiția f(x) > 0 și g(x) > 0
  • log_a f(x) = N ⟹ f(x) = a^N, cu condiția f(x) > 0

Atenție! La ecuațiile iraționale și logaritmice este obligatorie verificarea soluțiilor, deoarece prin ridicare la putere sau prin alte transformări pot apărea soluții străine care nu satisfac ecuația inițială.

11
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
12
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
13
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
14
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
15
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
16
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
17
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
18
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
19
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
20
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
21
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
22
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
23
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
24
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
25
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
26
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
27
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
28
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
29
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
30
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
31
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
32
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
33
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
34
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
35
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
36
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
37
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
38
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
39
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
40
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
41
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi
42
of 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTUL. E gratuit!

  • Acces la toate documentele
  • Îmbunătățește notele tale!
  • Alătură-te milioanelor de elevi

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Cel mai popular conținut: Mathematical Reasoning

4
MatematicăMatematică

Probleme EN subiectul 3 ex 1

Modele exerciții des întâlnite

84786
MatematicăMatematică

Evaluare națională

Matematică

84228
MatematicăMatematică

Reguli de adunare a numerelor intregi

-numere cu semne comune, -numere cu semne diferite

51300
LogicăLogică

Raporturi logice între termeni și clasificare

Notițe logică

121441

Cel mai popular conținut la Matematică

9
MatematicăMatematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

124,49080
MatematicăMatematică

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

126,764216
MatematicăMatematică

Portofoliu geometrie clasele 5-8

Pdf cu tot ce trebuie sa știi la geometrie clasa 8

85,550109
MatematicăMatematică

EN CLASA a6

Evaluarea națională pentru clasa a-6-a matematica fizica și biologie

61,53318
MatematicăMatematică

formule bac mate

formule

121,91636
MatematicăMatematică

Teorie Bac Mate

Teorie BAC Mate

101,93159
MatematicăMatematică

exercitii bac mate sub 1

exercitii bac mate sub 1

121,32134
MatematicăMatematică

portofoliu matematica pentru evaluare

portofoliu algebra si geometrie plana pentru evaluarea națională,clasa a8a pentru un nivel mediu

81,11923
MatematicăMatematică

Formule mate pe subiecte

Formule mate pe subiecte

1293621

Cel mai popular conținut

9
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseuri Limba si literatura română

Eseurile sunt structurate dupa barem. Aceste eseuri sunt pentru profilul real, bune si pentru uman dar lipsesc relatiile dintre personaje si caracrerizarile.

126,124136
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Toate eseurile pentru bac

Contin eseul propriu zis si schematizarea acestuia

124,22091
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu”Luceafărul” de Mihai Eminescu complet

eseu

115,95092
BiologieBiologie

Notițe-Bio 11-12

Biologie. Anatomie, fiziologie și genetică

114,11177
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Rezumat ultima noapte de dragoste, întâia de război

Rezumat pe capitole

122,85134
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

eseul complet moara cu noroc

116,001116
GeografieGeografie

Materie geografie

Bac geografie

128,237120
MatematicăMatematică

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

124,49080
Limba și literatura românăLimba și literatura română

Eseu- Leoaica tanara, iubirea

Eseu pt bac

123,11444

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan Sutilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klichutilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Annautilizator iOS