Materii

SchoolGPT

Cariere

Accesează aplicația

Materii

Formule Esențiale pentru Bacalaureat

2

0

R

Raluca Sirbu

11.12.2025

Matematică

Formule matematică pentru bac

Materii

Matematică

707

•

11 dec. 2025

•

42 pagini

Formule Esențiale pentru Bacalaureat

R

Raluca Sirbu

@ralucasir_f91md

Logaritmii, puterile, rădăcinile și numerele complexe reprezintă concepte matematice fundamentale... Afișează mai mult

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
Page 11
Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Page 23
Page 24
Page 25
Page 26
Page 27
Page 28
Page 29
Page 30
Page 31
Page 32
Page 33
Page 34
Page 35
Page 36
Page 37
Page 38
Page 39
Page 40
Page 41
Page 42
1 / 42
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Logaritmi

Logaritmul reprezintă operația inversă a ridicării la putere. Dacă a^x = N, atunci x = log_a N, unde a > 0, a ≠ 1 și N > 0. Pentru a exista un logaritm, trebuie respectate trei condiții: baza să fie pozitivă, diferită de 1, iar cantitatea (numărul din care luăm logaritm) trebuie să fie pozitivă.

Există două tipuri speciale de logaritmi pe care îi vei folosi frecvent: logaritmul zecimal lgx=log10xlg x = log₁₀ x și logaritmul natural lnx=logex,undee≈2,71ln x = log_e x, unde e ≈ 2,71.

Proprietățile logaritmilor te ajută să simplifici calcule complexe:

  • log_a 1 = 0 și log_a a = 1
  • log_a x^n = n · log_a x
  • log_a (x·y) = log_a x + log_a y
  • log_a x/yx/y = log_a x - log_a y
  • log_a b = log_c b / log_c a (formula de schimbare a bazei)

De reținut! Funcțiile logaritmice și exponențiale au comportamente de monotonie opuse: când baza a ∈ (0,1), funcția logaritmică este strict descrescătoare, iar când a > 1, este strict crescătoare.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Puteri și radicali

Puterile sunt operații matematice unde un număr (baza) este înmulțit cu sine de un anumit număr de ori (exponentul). Pentru a^n, a este baza, iar n este exponentul.

Proprietățile puterilor te ajută să simplifici expresii complexe:

  • a^0 = 1 (orice număr la puterea zero este 1)
  • a^n · a^m = a^n+mn+m (înmulțirea puterilor cu aceeași bază)
  • a^n / a^m = a^n−mn-m (împărțirea puterilor cu aceeași bază)
  • ana^n^m = a^(n·m) (puterea unei puteri)
  • a^−n-n = 1/a^n (puterea negativă)

Radicalii reprezintă operația inversă a ridicării la putere. √a este rădăcina de ordin 2 a lui a, iar ∛a este rădăcina de ordin 3.

Pentru radicalii de ordin par (cum ar fi rădăcina pătrată), expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau zero. Pentru radicalii de ordin impar (cum ar fi rădăcina cubică), nu există această restricție.

Important! Reține că radicalii pot fi scriși ca puteri cu exponent fracționar: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), și în general √^n x = x^1/n1/n, ceea ce îți permite să folosești proprietățile puterilor pentru simplificarea expresiilor cu radicali.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Numere complexe - forma algebrică

Numerele complexe extind sistemul numeric real și se scriu în forma algebrică z = a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar i este unitatea imaginară cu proprietatea i² = -1.

În orice număr complex z = a + bi:

  • a = Re(z) reprezintă partea reală
  • b = Im(z) reprezintă partea imaginară

Două numere complexe sunt egale a1+b1i=a2+b2ia₁ + b₁i = a₂ + b₂i dacă și numai dacă a₁ = a₂ și b₁ = b₂.

Conjugatul unui număr complex z = a + bi este z̄ = a - bi, iar modulul său se calculează cu formula |z| = √a2+b2a² + b².

Proprietățile modulului și conjugatului te ajută la simplificarea calculelor:

  • |z| = |z̄|
  • |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
  • z∈ℝ ⟺ z = z̄
  • |z|² = z·z̄

Reține! Pentru puterile lui i există un model repetitiv: i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, după care ciclul se repetă. Astfel, poți calcula orice putere a lui i folosind restul împărțirii exponentului la 4.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Formule de calcul prescurtat și concepte fundamentale

Formulele de calcul prescurtat sunt esențiale pentru simplificarea expresiilor algebrice:

  • a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  • a−ba - b² = a² - 2ab + b²
  • a² - b² = a−ba - ba+ba + b
  • a³ - b³ = a−ba - ba2+ab+b2a² + ab + b²
  • a³ + b³ = a+ba + ba2−ab+b2a² - ab + b²

Partea întreagă și fracționară a unui număr real x:

  • xx reprezintă cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x
  • {x} reprezintă diferența x - xx, adică partea fracționară

Proprietăți importante: x = xx + {x}, partea fracționară este întotdeauna între 0 și 1, iar {x + n} = {x} pentru orice n întreg.

Modulul unui număr real |x| reprezintă distanța de la x la 0 pe axa numerelor: |x| = x pentru x ≥ 0 și |x| = -x pentru x < 0

Sfat util! Inegalitățile cu modul pot fi reformulate: |x| ≤ A înseamnă că -A ≤ x ≤ A, iar |x| ≥ A înseamnă că x ≤ -A sau x ≥ A. Acest lucru te ajută să rezolvi rapid ecuații și inecuații cu modul.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Funcții - definiții și proprietăți

O funcție f: A → B stabilește o corespondență între elementele mulțimii A (domeniul funcției) și elementele mulțimii B (codomeniul), astfel încât fiecărui element din A îi corespunde exact un element din B.

Reprezentarea grafică a funcției (Gf) este formată din toate punctele de coordonate (x, f(x)) din planul xOy, unde x∈A.

Pentru a găsi intersecția graficului cu axele de coordonate:

  • Cu axa Ox: rezolvi ecuația f(x) = 0
  • Cu axa Oy: calculezi valoarea f(0)

Când lucrezi cu două funcții, f și g, punctele de intersecție ale graficelor lor se găsesc rezolvând ecuația f(x) = g(x). După determinarea abscisei, calculezi și ordonata folosind una dintre funcții.

Important pentru practică! Compunerea funcțiilor (f∘g)(x) = f(g(x)) este o operație frecvent întâlnită în probleme. Pentru a o calcula, înlocuiești x din expresia lui f cu expresia funcției g.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Funcții - tipuri și proprietăți

Funcțiile se clasifică după comportamentul lor față de operații specifice:

Funcții pare și impare: Pentru o mulțime simetrică A:

  • O funcție f este pară dacă f−x-x = f(x) pentru orice x∈A
  • O funcție f este impară dacă f−x-x = -f(x) pentru orice x∈A

Funcții periodice: O funcție f este periodică cu perioada T dacă fx+Tx+T = f(x) pentru orice x din domeniu. Cea mai mică perioadă pozitivă se numește perioadă principală.

Imaginea funcției (Im f) reprezintă mulțimea tuturor valorilor pe care le ia funcția: Im f = {f(x) | x∈A}.

Proprietăți importante:

  • O funcție este injectivă dacă valori diferite din domeniu au imagini diferite
  • O funcție este surjectivă dacă orice element din codomeniu este imaginea cel puțin a unui element din domeniu
  • O funcție este bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă

Sfat practic! Funcțiile strict monotone sunt întotdeauna injective. O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Inversa funcției f, notată f⁻¹, are proprietatea că f(f⁻¹(x)) = x și f⁻¹(f(x)) = x.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0. Reprezentarea sa grafică este o dreaptă.

Monotonia funcției depinde de valoarea lui a:

  • Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare
  • Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare

Pentru a determina semnul funcției, rezolvi ecuația f(x) = 0, care dă x = -b/a. Apoi analizezi comportamentul funcției:

x-∞-b/a+∞
f(x)semn contrar lui a0semn a

Aplicații practice: Funcția de gradul I este esențială pentru modelarea multor fenomene din viața reală, cum ar fi costurile, distanțele și alte relații liniare. De asemenea, este baza pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, care apar frecvent în probleme practice.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Funcția de gradul al II-lea

Funcția de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c sunt numere reale și a ≠ 0. Graficul său este o parabolă.

Pentru ecuația asociată ax² + bx + c = 0, calculăm discriminantul Δ = b² - 4ac și analizăm:

  • Dacă Δ > 0: ecuația are două soluții reale distincte x₁ = −b−√Δ-b-√Δ/2a și x₂ = −b+√Δ-b+√Δ/2a
  • Dacă Δ = 0: ecuația are două soluții reale egale x₁ = x₂ = -b/2a
  • Dacă Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

Semnul funcției depinde de semnul lui a și de valorile rădăcinilor (dacă există).

Relațiile lui Viète pentru rădăcinile x₁ și x₂ sunt:

  • Suma rădăcinilor: S = x₁ + x₂ = -b/a
  • Produsul rădăcinilor: P = x₁·x₂ = c/a

Trucul rezolvării! Pentru a forma o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile x₁ și x₂ date, calculezi S și P, apoi scrii ecuația în forma x² - Sx + P = 0. Acest procedeu este foarte util în probleme de concurs.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Graficul funcției de gradul al II-lea

Parabola, graficul funcției de gradul al II-lea, are un punct extrem numit vârf (V), cu coordonatele: V−b/2a,−Δ/4a-b/2a, -Δ/4a

Comportamentul funcției depinde de semnul lui a:

  • Dacă a < 0, V este punct de maxim și funcția atinge valoarea maximă f_max = -Δ/4a
  • Dacă a > 0, V este punct de minim și funcția atinge valoarea minimă f_min = -Δ/4a

Axa de simetrie a parabolei are ecuația x = -b/2a, fiind paralelă cu axa Oy și trecând prin vârful parabolei.

Poziția parabolei față de axa Ox depinde de discriminantul Δ:

  • Dacă Δ > 0: parabola intersectează axa Ox în două puncte distincte
  • Dacă Δ = 0: parabola este tangentă la axa Ox oatingeı^ntr−unsingurpuncto atinge într-un singur punct
  • Dacă Δ < 0: parabola nu intersectează axa Ox

Vizualizează! Imaginea (domeniul de valori) funcției depinde de vârf: pentru a < 0, Im f = −∞,−Δ/4a],iarpentrua>0,Imf=[−Δ/4a,+∞-∞, -Δ/4a], iar pentru a > 0, Im f = [-Δ/4a, +∞. Monotonia funcției se schimbă la vârf, fiind crescătoare pe o parte și descrescătoare pe cealaltă.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Ecuații speciale

Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical:

  • Pentru √f(x) = g(x), impunem condițiile f(x) ≥ 0 și g(x) ≥ 0
  • Pentru ³√f(x) = g(x), nu avem condiții suplimentare pentru f(x)

Metoda de rezolvare implică ridicarea la putere pentru eliminarea radicalului:

  • Pentru √f(x) = g(x), ridicăm la pătrat: f(x) = g(x)²
  • Pentru ³√f(x) = g(x), ridicăm la cub: f(x) = g(x)³

Ecuațiile exponențiale implică necunoscuta în exponent:

  • a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x), pentru orice a > 0, a ≠ 1
  • a^f(x) = b ⟹ f(x) = log_a b

Ecuațiile logaritmice implică necunoscuta în argumentul logaritmului:

  • log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x), cu condiția f(x) > 0 și g(x) > 0
  • log_a f(x) = N ⟹ f(x) = a^N, cu condiția f(x) > 0

Atenție! La ecuațiile iraționale și logaritmice este obligatorie verificarea soluțiilor, deoarece prin ridicare la putere sau prin alte transformări pot apărea soluții străine care nu satisfac ecuația inițială.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_
# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_


Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Cele mai populare conținuturi: Mathematical Reasoning

Evaluare națională

Matematică

MatematicăMatematică
8

Culegere

ajutatoare

LogicăLogică
12

Raporturi logice între termeni și clasificare

Notițe logică

LogicăLogică
12

Probleme EN subiectul 3 ex 1

Modele exerciții des întâlnite

MatematicăMatematică
8

Cele mai populare conținuturi la Matematică

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

MatematicăMatematică
12

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

MatematicăMatematică
12

Portofoliu geometrie clasele 5-8

Pdf cu tot ce trebuie sa știi la geometrie clasa 8

MatematicăMatematică
8

notite examen clasa a 8 a matematică

toata materia necesara pentru examenul din clasa a 8 a la algebra

MatematicăMatematică
8

Geometrie

conține formule importante care se dau la EN

MatematicăMatematică
8

Teorie Bac Mate

Teorie BAC Mate

MatematicăMatematică
10

Recapitulare Geometrie

Drepte, semidrepte, segment.Unghiuri

MatematicăMatematică
7

teorie evaluare nationala

formule

MatematicăMatematică
8

Geometrie Clasa a 8 a portofoliu

Portofoliu clasa a 8 a Geometrie

MatematicăMatematică
8

Cele mai populare conținuturi

Eseuri Bacalaureat Română

Eseuri bac română

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

eseul complet moara cu noroc

Limba și literatura românăLimba și literatura română
11

Eseu-,,Povestea lui Harap Alb”

eseul

Limba și literatura românăLimba și literatura română
9

Evaluare Nationala lb Romana

Tot ce trebuie sa stii pt examen

Limba și literatura românăLimba și literatura română
7

Eseu Povestea lui Harap Alb

Tema și viziunea despre lume

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Materie geografie

Bac geografie

GeografieGeografie
12

Materie BAC Anatomie + Genetica

Notite pentru examenul de bacaluareat la disciplina biologie: anatomie si genetica

BiologieBiologie
12

Eseu Plumb

schita plumb

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

MatematicăMatematică
12

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Materii

Matematică

 

Matematică

•

707

•

11 dec. 2025

•

42 pagini

Formule Esențiale pentru Bacalaureat

R

Raluca Sirbu

@ralucasir_f91md

Logaritmii, puterile, rădăcinile și numerele complexe reprezintă concepte matematice fundamentale pentru liceu. Aceste noțiuni îți vor fi esențiale atât pentru rezolvarea diverselor probleme, cât și pentru înțelegerea aprofundată a matematicii și aplicațiilor sale.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Logaritmi

Logaritmul reprezintă operația inversă a ridicării la putere. Dacă a^x = N, atunci x = log_a N, unde a > 0, a ≠ 1 și N > 0. Pentru a exista un logaritm, trebuie respectate trei condiții: baza să fie pozitivă, diferită de 1, iar cantitatea (numărul din care luăm logaritm) trebuie să fie pozitivă.

Există două tipuri speciale de logaritmi pe care îi vei folosi frecvent: logaritmul zecimal lgx=log10xlg x = log₁₀ x și logaritmul natural lnx=logex,undee≈2,71ln x = log_e x, unde e ≈ 2,71.

Proprietățile logaritmilor te ajută să simplifici calcule complexe:

  • log_a 1 = 0 și log_a a = 1
  • log_a x^n = n · log_a x
  • log_a (x·y) = log_a x + log_a y
  • log_a x/yx/y = log_a x - log_a y
  • log_a b = log_c b / log_c a (formula de schimbare a bazei)

De reținut! Funcțiile logaritmice și exponențiale au comportamente de monotonie opuse: când baza a ∈ (0,1), funcția logaritmică este strict descrescătoare, iar când a > 1, este strict crescătoare.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Puteri și radicali

Puterile sunt operații matematice unde un număr (baza) este înmulțit cu sine de un anumit număr de ori (exponentul). Pentru a^n, a este baza, iar n este exponentul.

Proprietățile puterilor te ajută să simplifici expresii complexe:

  • a^0 = 1 (orice număr la puterea zero este 1)
  • a^n · a^m = a^n+mn+m (înmulțirea puterilor cu aceeași bază)
  • a^n / a^m = a^n−mn-m (împărțirea puterilor cu aceeași bază)
  • ana^n^m = a^(n·m) (puterea unei puteri)
  • a^−n-n = 1/a^n (puterea negativă)

Radicalii reprezintă operația inversă a ridicării la putere. √a este rădăcina de ordin 2 a lui a, iar ∛a este rădăcina de ordin 3.

Pentru radicalii de ordin par (cum ar fi rădăcina pătrată), expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau zero. Pentru radicalii de ordin impar (cum ar fi rădăcina cubică), nu există această restricție.

Important! Reține că radicalii pot fi scriși ca puteri cu exponent fracționar: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), și în general √^n x = x^1/n1/n, ceea ce îți permite să folosești proprietățile puterilor pentru simplificarea expresiilor cu radicali.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Numere complexe - forma algebrică

Numerele complexe extind sistemul numeric real și se scriu în forma algebrică z = a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar i este unitatea imaginară cu proprietatea i² = -1.

În orice număr complex z = a + bi:

  • a = Re(z) reprezintă partea reală
  • b = Im(z) reprezintă partea imaginară

Două numere complexe sunt egale a1+b1i=a2+b2ia₁ + b₁i = a₂ + b₂i dacă și numai dacă a₁ = a₂ și b₁ = b₂.

Conjugatul unui număr complex z = a + bi este z̄ = a - bi, iar modulul său se calculează cu formula |z| = √a2+b2a² + b².

Proprietățile modulului și conjugatului te ajută la simplificarea calculelor:

  • |z| = |z̄|
  • |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
  • z∈ℝ ⟺ z = z̄
  • |z|² = z·z̄

Reține! Pentru puterile lui i există un model repetitiv: i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, după care ciclul se repetă. Astfel, poți calcula orice putere a lui i folosind restul împărțirii exponentului la 4.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Formule de calcul prescurtat și concepte fundamentale

Formulele de calcul prescurtat sunt esențiale pentru simplificarea expresiilor algebrice:

  • a+ba + b² = a² + 2ab + b²
  • a−ba - b² = a² - 2ab + b²
  • a² - b² = a−ba - ba+ba + b
  • a³ - b³ = a−ba - ba2+ab+b2a² + ab + b²
  • a³ + b³ = a+ba + ba2−ab+b2a² - ab + b²

Partea întreagă și fracționară a unui număr real x:

  • xx reprezintă cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x
  • {x} reprezintă diferența x - xx, adică partea fracționară

Proprietăți importante: x = xx + {x}, partea fracționară este întotdeauna între 0 și 1, iar {x + n} = {x} pentru orice n întreg.

Modulul unui număr real |x| reprezintă distanța de la x la 0 pe axa numerelor: |x| = x pentru x ≥ 0 și |x| = -x pentru x < 0

Sfat util! Inegalitățile cu modul pot fi reformulate: |x| ≤ A înseamnă că -A ≤ x ≤ A, iar |x| ≥ A înseamnă că x ≤ -A sau x ≥ A. Acest lucru te ajută să rezolvi rapid ecuații și inecuații cu modul.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Funcții - definiții și proprietăți

O funcție f: A → B stabilește o corespondență între elementele mulțimii A (domeniul funcției) și elementele mulțimii B (codomeniul), astfel încât fiecărui element din A îi corespunde exact un element din B.

Reprezentarea grafică a funcției (Gf) este formată din toate punctele de coordonate (x, f(x)) din planul xOy, unde x∈A.

Pentru a găsi intersecția graficului cu axele de coordonate:

  • Cu axa Ox: rezolvi ecuația f(x) = 0
  • Cu axa Oy: calculezi valoarea f(0)

Când lucrezi cu două funcții, f și g, punctele de intersecție ale graficelor lor se găsesc rezolvând ecuația f(x) = g(x). După determinarea abscisei, calculezi și ordonata folosind una dintre funcții.

Important pentru practică! Compunerea funcțiilor (f∘g)(x) = f(g(x)) este o operație frecvent întâlnită în probleme. Pentru a o calcula, înlocuiești x din expresia lui f cu expresia funcției g.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Funcții - tipuri și proprietăți

Funcțiile se clasifică după comportamentul lor față de operații specifice:

Funcții pare și impare: Pentru o mulțime simetrică A:

  • O funcție f este pară dacă f−x-x = f(x) pentru orice x∈A
  • O funcție f este impară dacă f−x-x = -f(x) pentru orice x∈A

Funcții periodice: O funcție f este periodică cu perioada T dacă fx+Tx+T = f(x) pentru orice x din domeniu. Cea mai mică perioadă pozitivă se numește perioadă principală.

Imaginea funcției (Im f) reprezintă mulțimea tuturor valorilor pe care le ia funcția: Im f = {f(x) | x∈A}.

Proprietăți importante:

  • O funcție este injectivă dacă valori diferite din domeniu au imagini diferite
  • O funcție este surjectivă dacă orice element din codomeniu este imaginea cel puțin a unui element din domeniu
  • O funcție este bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă

Sfat practic! Funcțiile strict monotone sunt întotdeauna injective. O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Inversa funcției f, notată f⁻¹, are proprietatea că f(f⁻¹(x)) = x și f⁻¹(f(x)) = x.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0. Reprezentarea sa grafică este o dreaptă.

Monotonia funcției depinde de valoarea lui a:

  • Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare
  • Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare

Pentru a determina semnul funcției, rezolvi ecuația f(x) = 0, care dă x = -b/a. Apoi analizezi comportamentul funcției:

x-∞-b/a+∞
f(x)semn contrar lui a0semn a

Aplicații practice: Funcția de gradul I este esențială pentru modelarea multor fenomene din viața reală, cum ar fi costurile, distanțele și alte relații liniare. De asemenea, este baza pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, care apar frecvent în probleme practice.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Funcția de gradul al II-lea

Funcția de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c sunt numere reale și a ≠ 0. Graficul său este o parabolă.

Pentru ecuația asociată ax² + bx + c = 0, calculăm discriminantul Δ = b² - 4ac și analizăm:

  • Dacă Δ > 0: ecuația are două soluții reale distincte x₁ = −b−√Δ-b-√Δ/2a și x₂ = −b+√Δ-b+√Δ/2a
  • Dacă Δ = 0: ecuația are două soluții reale egale x₁ = x₂ = -b/2a
  • Dacă Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

Semnul funcției depinde de semnul lui a și de valorile rădăcinilor (dacă există).

Relațiile lui Viète pentru rădăcinile x₁ și x₂ sunt:

  • Suma rădăcinilor: S = x₁ + x₂ = -b/a
  • Produsul rădăcinilor: P = x₁·x₂ = c/a

Trucul rezolvării! Pentru a forma o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile x₁ și x₂ date, calculezi S și P, apoi scrii ecuația în forma x² - Sx + P = 0. Acest procedeu este foarte util în probleme de concurs.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Graficul funcției de gradul al II-lea

Parabola, graficul funcției de gradul al II-lea, are un punct extrem numit vârf (V), cu coordonatele: V−b/2a,−Δ/4a-b/2a, -Δ/4a

Comportamentul funcției depinde de semnul lui a:

  • Dacă a < 0, V este punct de maxim și funcția atinge valoarea maximă f_max = -Δ/4a
  • Dacă a > 0, V este punct de minim și funcția atinge valoarea minimă f_min = -Δ/4a

Axa de simetrie a parabolei are ecuația x = -b/2a, fiind paralelă cu axa Oy și trecând prin vârful parabolei.

Poziția parabolei față de axa Ox depinde de discriminantul Δ:

  • Dacă Δ > 0: parabola intersectează axa Ox în două puncte distincte
  • Dacă Δ = 0: parabola este tangentă la axa Ox oatingeı^ntr−unsingurpuncto atinge într-un singur punct
  • Dacă Δ < 0: parabola nu intersectează axa Ox

Vizualizează! Imaginea (domeniul de valori) funcției depinde de vârf: pentru a < 0, Im f = −∞,−Δ/4a],iarpentrua>0,Imf=[−Δ/4a,+∞-∞, -Δ/4a], iar pentru a > 0, Im f = [-Δ/4a, +∞. Monotonia funcției se schimbă la vârf, fiind crescătoare pe o parte și descrescătoare pe cealaltă.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Ecuații speciale

Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical:

  • Pentru √f(x) = g(x), impunem condițiile f(x) ≥ 0 și g(x) ≥ 0
  • Pentru ³√f(x) = g(x), nu avem condiții suplimentare pentru f(x)

Metoda de rezolvare implică ridicarea la putere pentru eliminarea radicalului:

  • Pentru √f(x) = g(x), ridicăm la pătrat: f(x) = g(x)²
  • Pentru ³√f(x) = g(x), ridicăm la cub: f(x) = g(x)³

Ecuațiile exponențiale implică necunoscuta în exponent:

  • a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x), pentru orice a > 0, a ≠ 1
  • a^f(x) = b ⟹ f(x) = log_a b

Ecuațiile logaritmice implică necunoscuta în argumentul logaritmului:

  • log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x), cu condiția f(x) > 0 și g(x) > 0
  • log_a f(x) = N ⟹ f(x) = a^N, cu condiția f(x) > 0

Atenție! La ecuațiile iraționale și logaritmice este obligatorie verificarea soluțiilor, deoarece prin ridicare la putere sau prin alte transformări pot apărea soluții străine care nu satisfac ecuația inițială.

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# LOGARITMI Definiție $a^x = N \Rightarrow x = log_a N$, unde $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$ Condițiile de existență ale logaritmului $log_

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

2

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Simulare completă ✓ Planuri de eseu

Simulare
Quiz
Flashcard-uri
Eseu

Cele mai populare conținuturi: Mathematical Reasoning

Evaluare națională

Matematică

MatematicăMatematică
8

Culegere

ajutatoare

LogicăLogică
12

Raporturi logice între termeni și clasificare

Notițe logică

LogicăLogică
12

Probleme EN subiectul 3 ex 1

Modele exerciții des întâlnite

MatematicăMatematică
8

Cele mai populare conținuturi la Matematică

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

MatematicăMatematică
12

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

MatematicăMatematică
12

Portofoliu geometrie clasele 5-8

Pdf cu tot ce trebuie sa știi la geometrie clasa 8

MatematicăMatematică
8

notite examen clasa a 8 a matematică

toata materia necesara pentru examenul din clasa a 8 a la algebra

MatematicăMatematică
8

Geometrie

conține formule importante care se dau la EN

MatematicăMatematică
8

Teorie Bac Mate

Teorie BAC Mate

MatematicăMatematică
10

Recapitulare Geometrie

Drepte, semidrepte, segment.Unghiuri

MatematicăMatematică
7

teorie evaluare nationala

formule

MatematicăMatematică
8

Geometrie Clasa a 8 a portofoliu

Portofoliu clasa a 8 a Geometrie

MatematicăMatematică
8

Cele mai populare conținuturi

Eseuri Bacalaureat Română

Eseuri bac română

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

eseul complet moara cu noroc

Limba și literatura românăLimba și literatura română
11

Eseu-,,Povestea lui Harap Alb”

eseul

Limba și literatura românăLimba și literatura română
9

Evaluare Nationala lb Romana

Tot ce trebuie sa stii pt examen

Limba și literatura românăLimba și literatura română
7

Eseu Povestea lui Harap Alb

Tema și viziunea despre lume

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Materie geografie

Bac geografie

GeografieGeografie
12

Materie BAC Anatomie + Genetica

Notite pentru examenul de bacaluareat la disciplina biologie: anatomie si genetica

BiologieBiologie
12

Eseu Plumb

schita plumb

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

MatematicăMatematică
12

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS