Unghiuri și relații între ele

Unghiurile sunt elementele de bază ale geometriei. Două unghiuri pot fi congruente (au măsuri egale), adiacente (au același vârf și o latură comună) sau opuse la vârf (au același vârf și laturile unuia sunt prelungirile laturilor celuilalt). Unghiurile opuse la vârf sunt întotdeauna congruente.

În funcție de măsură, unghiurile pot fi ascuțite (<90°), drepte $=90°$, obtuze (>90°), alungite (180°) sau nule (0°). Unghiurile care se completează la 90° sunt complementare, iar cele care se completează la 180° sunt suplementare.

Când două drepte sunt tăiate de o secantă, se formează perechi de unghiuri alterne interne, alterne externe și corespondente. Dacă dreptele sunt paralele, toate aceste perechi de unghiuri sunt congruente.

💡 Suma unghiurilor în jurul unui punct este întotdeauna 360°, iar suma unghiurilor într-un triunghi este 180°.

Triunghiuri și teoreme importante

Un triunghi poate fi isoscel (două laturi congruente), echilateral (toate laturile congruente) sau dreptunghic (un unghi drept). În triunghiul dreptunghic, laturile care formează unghiul drept sunt catetele, iar latura opusă este ipotenuza.

Triunghiurile pot fi congruente în mai multe situații, inclusiv cazurile specifice pentru triunghiuri dreptunghice: CU (catetă-unghi), IU (ipotenuză-unghi) și IC (ipotenuză-catetă). Două triunghiuri pot fi și asemenea, având unghiuri congruente și laturi proporționale.

Teoreme esențiale includ teorema lui Thales (dacă EF||BC, atunci AE/EB=AF/FC), teorema lui Pitagora $a²+b²=c²$ și teorema bisectoarei (dacă AD este bisectoare, AB/BD=AC/DC).

Linii importante în triunghi

Fiecare triunghi are patru tipuri de linii importante:

1. Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri congruente. Bisectoarele se intersectează în centrul cercului înscris (I).

2. Mediatoarea este perpendiculară pe mijlocul unei laturi. Mediatoarele se intersectează în centrul cercului circumscris (O).

3. Înălțimea este perpendiculara dintr-un vârf pe latura opusă. Înălțimile se intersectează în ortocentru (H).

4. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Medianele se intersectează în centrul de greutate (G), situat la 2/3 din vârf și 1/3 de la bază.

Patrulatere și proprietăți

Patrulaterele au diverse forme și proprietăți. Un paralelogram are laturile opuse paralele și congruente, unghiurile opuse congruente, iar diagonalele se intersectează la mijloc.

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept și are diagonalele congruente. Rombul este paralelogramul cu laturi alăturate congruente și are diagonalele perpendiculare. Pătratul combină proprietățile dreptunghiului și rombului.

Un trapez are două laturi paralele (baze) și poate fi isoscel (laturile neparalele sunt congruente) sau dreptunghic (are un unghi drept). Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu media lor aritmetică.

Formule de arie și alte relații

Pentru triunghi: A = (bh)/2 sau A = √$p(p-a)(p-b)(p-c)$ (formula lui Heron, unde p este semiperimetrul).

Pentru paralelogram: A = bh Pentru dreptunghi: A = Ll Pentru romb: A = (Dd)/2 Pentru trapez: A = $(B+b)h$/2

Pentru cerc: Lungime = 2πR, Aria = πR²

Pentru poligon regulat cu n laturi: măsura unghiului u = $(n-2)·180°$/n