Progresii aritmetice și geometrice

O progresie aritmetică este un șir în care diferența dintre termeni consecutivi este constantă (rația r). De exemplu: 2, 5, 8, 11... are rația r = 3.

Formula de recurență este simplă: an+1 = an + r. Iar termenul general se calculează cu formula: an = a1 + $n-1$r.

Când ai nevoie să calculezi suma primilor n termeni, folosește formula: Sn = $a1 + an$·n/2. Este ușor de reținut dacă o gândești ca media primului și ultimului termen înmulțită cu numărul de termeni.

În progresia geometrică, fiecare termen se obține înmulțind termenul anterior cu o constantă q numită rație. Formula termenului general este bn = b1·qn-1, iar suma primilor n termeni se calculează cu Sn = b1$qn-1$/$q-1$ pentru q≠1.

Rețineți! Trei numere A, B, C sunt în progresie aritmetică dacă 2B = A+C, iar în progresie geometrică dacă B² = A·C.

Logaritmi

Logaritmul reprezintă exponentul la care trebuie ridicată o bază pentru a obține un anumit număr: dacă aˣ = N, atunci x = logₐ N.

Pentru existența logaritmului, trebuie respectate trei condiții esențiale: baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar numărul (cantitatea) trebuie să fie pozitiv.

Cele mai importante proprietăți ale logaritmilor sunt:

• logₐ 1 = 0 și logₐ a = 1
• logₐ(x·y) = logₐ x + logₐ y (logaritmul unui produs)
• logₐ(x/y) = logₐ x - logₐ y (logaritmul unui raport)
• logₐ xⁿ = n·logₐ x (logaritmul unei puteri)

Funcția logaritmică f$x$ = logₐ x are comportament diferit în funcție de baza a:

• Dacă a > 1, funcția este strict crescătoare
• Dacă 0 < a < 1, funcția este strict descrescătoare

Important! Logaritmul zecimal (log₁₀ x) se notează lg x, iar logaritmul natural (logₑ x) se notează ln x, unde e ≈ 2,71 este numărul lui Euler.

Puteri și radicali

Puterea este o operație matematică fundamentală: aⁿ = a·a·...·a (de n ori). Învață proprietățile de bază:

• a⁰ = 1 (orice număr ridicat la puterea 0 este 1)
• aⁿ·aᵐ = aⁿ⁺ᵐ (înmulțirea puterilor cu aceeași bază)
• aⁿ/aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (împărțirea puterilor cu aceeași bază)
• (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ (puterea unei puteri)
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ (puterea negativă)

Radicalul este operația inversă ridicării la putere. Când lucrezi cu radicali de ordin par (precum √x), ține minte că expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau zero. Pentru radicalii de ordin impar (precum ∛x) nu există restricții de existență.

Proprietățile radicalilor sunt esențiale pentru simplificarea expresiilor:

• √a·√b = √(a·b) (produsul radicalilor)
• √a/√b = √(a/b) (raportul radicalilor)
• (√a)² = a (ridicarea la putere)
• ⁿ√xᵐ = x^(m/n) (exprimarea cu exponent fracționar)

Reține! Radicalul poate fi scris ca putere cu exponent fracționar: √x = x^$1/2$ și ∛x = x^$1/3$.

Numere complexe (forma algebrică)

Numărul complex se scrie ca z = a + bi, unde a este partea reală și b este partea imaginară. Unitatea imaginară i are proprietatea fundamentală i² = -1.

Când lucrezi cu numere complexe, ține minte:

• z este un număr real când Im$z$ = 0 $b = 0$
• z = 0 când a = 0 și b = 0 (ambele componente sunt nule)
• Două numere complexe sunt egale când părțile reale sunt egale și părțile imaginare sunt egale

Conjugatul numărului complex z = a + bi este z̄ = a - bi, iar modulul se calculează cu formula |z| = √$a² + b²$.

Când împarți două numere complexe, amplifică raportul cu conjugatul numitorului: z₁/z₂ = (a + bi$$c - di)/(c + di$$c - di) = (ac + bd)/$c² + d²$ + ((bc - ad)/$c² + d²$)i

Puterile lui i urmează un tipar ciclic: i, -1, -i, 1, i, -1, ...

Interesant! Ecuațiile de gradul II cu coeficienți reali pot avea soluții complexe când discriminantul este negativ: x₁,₂ = $-b ± i√(-Δ)$/2a.

Formule de calcul prescurtat și operații cu numere reale

Formulele de calcul prescurtat sunt esențiale pentru algebră:

• $a + b$² = a² + 2ab + b²
• $a - b$² = a² - 2ab + b²
• a² - b² = a - b$$a + b
• a³ - b³ = a - b$$a² + ab + b²
• a³ + b³ = a + b$$a² - ab + b²

Partea întreagă a unui număr real x, notată [x], reprezintă cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x. De exemplu, [3,7] = 3 și $-2,3$ = -3.

Partea fracționară a unui număr x, notată {x}, se calculează ca {x} = x - [x]. Aceasta este întotdeauna între 0 (inclusiv) și 1 (exclusiv).

Modulul unui număr real |x| reprezintă distanța de la x la 0 pe axa numerelor:

• |x| = x, dacă x ≥ 0
• |x| = -x, dacă x < 0

Sfat practic! Pentru a rezolva inecuații cu modul, folosește definițiile: |x| < a ⟺ -a < x < a și |x| > a ⟺ x < -a sau x > a.

Funcții - noțiuni de bază

O funcție f: A → B stabilește o corespondență între elementele din A (domeniul) și elementele din B (codomeniul), unde fiecărui element x din A îi corespunde un singur element f$x$ din B.

Graficul unei funcții conține puncte cu coordonate de forma (x, f$x$). Pentru a găsi intersecțiile cu axele:

• Intersecția cu Ox: rezolvă ecuația f$x$ = 0
• Intersecția cu Oy: calculează f(0)

Când vrei să găsești punctele de intersecție a două grafice, rezolvă ecuația f$x$ = g$x$ pentru a determina abscisa, apoi calculează ordonata corespunzătoare.

Compunerea funcțiilor se notează cu f∘g și se calculează (f∘g)$x$ = f(g$x$).

Recomandare! Când desenezi graficul unei funcții, marchează mai întâi intersecțiile cu axele, apoi adaugă alte puncte semnificative pentru a obține o imagine mai clară.

Funcții - proprietăți avansate

Funcțiile pare și impare au comportamente speciale:

• O funcție f este pară dacă f$-x$ = f$x$ pentru orice x din domeniu (graficul este simetric față de axa Oy)
• O funcție f este impară dacă f$-x$ = -f$x$ pentru orice x din domeniu (graficul este simetric față de origine)

O funcție este periodică dacă există un număr T > 0 astfel încât f$x + T$ = f$x$ pentru orice x din domeniu. Cea mai mică valoare pozitivă a lui T se numește perioadă principală.

Imaginea unei funcții f: A → B, notată Im f, reprezintă mulțimea valorilor f$x$ pentru toate elementele x din domeniul A.

O funcție este:

• Injectivă dacă elemente diferite din domeniu au imagini diferite
• Surjectivă dacă orice element din codomeniu este imaginea unui element din domeniu
• Bijectivă dacă este atât injectivă cât și surjectivă

O funcție monotonă păstrează sau inversează ordinea elementelor:

• Crescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
• Strict crescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Descrescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)
• Strict descrescătoare: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

Observație importantă! Doar funcțiile bijective au inversă. Pentru o funcție f bijectivă, inversa f⁻¹ satisface relațiile f(f⁻¹$x$) = x și f⁻¹(f$x$) = x.

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I are forma f$x$ = ax + b, unde a, b ∈ R și a ≠ 0. Reprezentarea sa grafică este o dreaptă.

Monotonia funcției depinde de valoarea coeficientului a:

• Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare
• Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare

Pentru a determina semnul funcției, rezolvă ecuația f$x$ = 0, obținând x = -b/a:

• La stânga punctului -b/a, funcția are semn contrar lui a
• În punctul -b/a, funcția este nulă
• La dreapta punctului -b/a, funcția are același semn cu a

Aplicație practică! Funcția de gradul I este folosită frecvent în modelarea relațiilor liniare din viața reală, cum ar fi calcularea costurilor în funcție de cantitate sau estimarea distanței parcurse în funcție de timp.

Funcția de gradul al II-lea

Funcția de gradul al II-lea are forma f$x$ = ax² + bx + c, unde a, b, c ∈ R și a ≠ 0. Graficul său este o parabolă.

Pentru a rezolva ecuația de gradul al II-lea ax² + bx + c = 0, calculezi discriminantul Δ = b² - 4ac:

• Dacă Δ > 0: două soluții reale distincte x₁,₂ = $-b ± √Δ$/(2a)
• Dacă Δ = 0: o soluție dublă x₁,₂ = -b/(2a)
• Dacă Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

Relațiile lui Viète leagă coeficienții ecuației de soluțiile sale:

• Suma rădăcinilor: x₁ + x₂ = -b/a
• Produsul rădăcinilor: x₁·x₂ = c/a

Pentru a forma o ecuație de gradul al II-lea cu rădăcinile cunoscute x₁ și x₂, folosește formula: x² - Sx + P = 0, unde S = x₁ + x₂ și P = x₁·x₂.

Sfat! Când analizezi semnul funcției de gradul al II-lea, identifică mai întâi rădăcinile reale (dacă există), apoi analizează semnul lui a pentru a determina comportamentul la infinit.

Proprietățile parabolei

Graficul funcției de gradul al II-lea (parabola) are un punct de extrem numit vârf, cu coordonatele V$-b/(2a), -Δ/(4a)$.

Comportamentul funcției depinde de semnul lui a:

• Dacă a < 0: parabola are un maxim, valoarea maximă fiind -Δ/(4a)
• Dacă a > 0: parabola are un minim, valoarea minimă fiind -Δ/(4a)

Axa de simetrie a parabolei are ecuația x = -b/(2a).

Poziția parabolei față de axa Ox depinde de discriminantul Δ:

• Dacă Δ > 0: parabola intersectează Ox în două puncte distincte
• Dacă Δ = 0: parabola este tangentă la Ox
• Dacă Δ < 0: parabola nu intersectează Ox

Monotonia funcției f$x$ = ax² + bx + c:

• Pentru a < 0: funcția este crescătoare pe $-∞, -b/(2a)$ și descrescătoare pe $-b/(2a), +∞$
• Pentru a > 0: funcția este descrescătoare pe $-∞, -b/(2a)$ și crescătoare pe $-b/(2a), +∞$

Aplicație practică! Mulți fenomeni din fizică urmează un model parabolic: traiectoria unui proiectil, dependența energiei potențiale de poziție sau forma unui cablu suspendat.