Funcții și proprietățile lor

Funcțiile matematice au proprietăți speciale care ne ajută să le înțelegem comportamentul. O funcție este pară când f$-x$ = f$x$, ceea ce înseamnă că graficul său este simetric față de axa Oy. Funcția este impară când f$-x$ = -f$x$, având simetrie față de origine.

Funcțiile injective sunt cele pentru care valori diferite din domeniu produc valori diferite în codomeniu. Simplu spus, dacă f(x₁) = f(x₂), atunci x₁ = x₂. Orice funcție strict monotonă (fie crescătoare, fie descrescătoare) este injectivă.

Funcțiile surjective sunt cele pentru care orice element din codomeniu are cel puțin un corespondent în domeniu. Când o funcție este atât injectivă, cât și surjectivă, o numim bijectivă, ceea ce înseamnă că are inversă.

💡 Reține: Funcțiile bijecive sunt singurele care pot fi inversate! Acestea creează o corespondență perfectă unu-la-unu între domeniu și codomeniu.

Relațiile lui Viete și proprietățile parabolei

Relațiile lui Viete sunt extrem de utile pentru analiza ecuațiilor de gradul al doilea. Pentru o ecuație ax² + bx + c = 0 cu soluțiile x₁ și x₂, avem două relații importante: x₁ + x₂ = -b/a și x₁ · x₂ = c/a. Acestea ne permit să lucrăm cu soluțiile fără să le calculăm explicit.

Forma graficului unei parabole (y = ax² + bx + c) depinde de semnul lui a. Când a < 0, parabola are un punct de maxim cu valoarea fₘₐₓ = -Δ/4a. Când a > 0, există un punct de minim cu valoarea fₘᵢₙ = -Δ/4a.

Poziția parabolei față de axa Ox este determinată de discriminantul Δ = b² - 4ac. Când Δ > 0, parabola intersectează axa Ox în două puncte. Pentru Δ = 0, parabola atinge axa Ox într-un singur punct (este tangentă). Dacă Δ < 0, parabola nu intersectează deloc axa Ox.

🔍 Important: Vârful parabolei are întotdeauna coordonatele V$-b/2a, -Δ/4a$, indiferent dacă este punct de maxim sau minim!

Centrul de greutate și geometria triunghiului

Centrul de greutate G al unui triunghi ABC este punctul în care suma vectorilor de poziție este zero: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$. Teorema lui Leibniz ne spune că pentru orice punct M din plan, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3 \overrightarrow{MG}$.

Teorema bisectoarei este un alt concept important: dacă D este un punct pe BC astfel încât AD este bisectoare, atunci $\overrightarrow{AD} = \frac{b}{b+c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b+c} \overrightarrow{AC}$. Aceasta ne ajută să calculăm coordonate și să rezolvăm probleme de geometrie.

În geometria analitică, lucrăm cu puncte și drepte în sistemul de coordonate. Mijlocul segmentului AB cu extremitățile A(x₁,y₁) și B(x₂,y₂) are coordonatele $M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$. Centrul de greutate al triunghiului ABC are coordonatele $G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$.

💪 Pro-tip: O dreaptă poate fi reprezentată atât în forma generală (ax + by + c = 0), cât și în forma explicită $y = mx + n$, unde m reprezintă panta dreptei!

Formule esențiale în geometria analitică

Distanța dintre două puncte A(x₁,y₁) și B(x₂,y₂) se calculează cu formula $d(A,B) = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$. Este una dintre cele mai folosite formule din geometria analitică.

Panta unei drepte ce trece prin punctele A și B se calculează cu formula $m_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Această pantă ne ajută să determinăm relațiile dintre drepte: două drepte sunt paralele când au aceeași pantă, și perpendiculare când produsul pantelor lor este -1.

Distanța de la un punct A(x₀,y₀) la o dreaptă d: ax + by + c = 0 este dată de formula $d(A,d) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Această formulă este utilă pentru calcularea înălțimilor în triunghi și multe alte probleme.

🧩 Truc util: Pentru a verifica dacă trei puncte A, B și C sunt coliniare, calculează determinantul $\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1\\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}$. Dacă rezultatul este 0, punctele sunt coliniare. Același determinant, împărțit la 2 și luat în valoare absolută, reprezintă aria triunghiului ABC!

Primitive: formule fundamentale pentru integrare

Calculul primitivelor este esențial în analiza matematică. Iată câteva formule de bază pe care trebuie să le știi:

Pentru funcții de forma putere, avem $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $unde n ≠ -1$. Pentru funcțiile exponențiale, folosim $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. În cazul special al funcției $\frac{1}{x}$, primitiva este $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

Pentru funcțiile trigonometrice, memorează aceste formule: $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ și $\int \cos x \, dx = \sin x + C$. De asemenea, $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$ și $\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$.

Funcțiile raționale de forma $\frac{1}{x^2 - a^2}$ au primitiva $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}| + C$, iar pentru $\frac{1}{x^2 + a^2}$ avem $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$.

📝 Reține: Constantele de integrare (C) apar mereu în calculul primitivelor! Nu uita să le adaugi la fiecare formulă când rezolvi exerciții.